精品解析：河南省南阳市唐河县文峰街道办事处中心学校（一初中）2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

河南省唐河县2023-2024学年九年级上学期月考数学试题 （考试时间：100分钟 试卷满分：125分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列方程中，一元二次方程是(　　) A. B. C. D. 3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是　　 A. B. 且 C. 且 D. 4. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 8. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ） A. B. C. D. 9. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，化简的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果为___． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 13. 已知一元二次方程的一个根为1，则______． 14. 已知，则的值为______． 15. 定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，已知a是的整数解． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 20. 如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为（篱笆的宽度忽略不计）．菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长；若不可能，说明理由． 21. 为加快城乡发展，我省持续推进美丽乡村建设．某村计划将一块长为18米、宽为12米的矩形场地建成绿化广场．如图，广场内部修建三条同样宽的小路，其中一条路与广场的长边平行，另外两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化．若绿化面积为140平方米，求小路的宽． 22. 根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题： 第1式：， 第2式：， 第3式：， 第4式：…… （1）根据规律填空：第5式： ； （2）求的值． 23. 某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量(单位：盒)是销售单价(单位：元/盒)的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元/盒，日销售量为盒． 销售单价/(元/盒) 日销售量/盒 （1）求乌馒头的日销售量与销售单价的函数解析式； （2）端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元； （3）当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润． 四、附加题 24. 阅读下面材料，并解决相关问题：如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前n行的点数之和为 ． （2）体验：三角点阵中前n行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500； （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省唐河县2023-2024学年九年级上学期月考数学试题 （考试时间：100分钟 试卷满分：125分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式的概念：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式． 【详解】解：A. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意； B. 是最简二次根式，符合题意； C. 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； D. 被开方数含有开得尽的因数不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的概念，解题的关键是能够看出被开方数中的能开得尽方的因数或因式． 2. 在下列方程中，一元二次方程是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为一元二次方程． 【详解】解：A、是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； B、当时，原方程无二次项，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意； C、原方程，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、原方程化简后得到，二次项抵消，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的识别，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是　　 A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义结合分式有意义的条件得出答案． 【详解】∵代数式有意义，∴x﹣1≥0，且x﹣2≠0， 解得：x≥1且x≠2． 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题的关键． 4. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案． 【详解】解：， 移项得， 二次项系数化1的， 配方得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是求无理数的取值范围，二次根式的加减运算，掌握求算术平方根的取值范围的方法是解决此题的关键．先求出，即可求出m的范围． 【详解】解：∵， ∵， ∴， 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相除，积的乘方，算术平方根，据此相关内容性质进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 8. 某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，得 即， 故选：B． 9. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 10. 已知，化简的结果为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果为___． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式计算后再加减即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义可得，解之即可求解，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 已知一元二次方程的一个根为1，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， 满足一元二次方程， ， 解得，． 故答案为：． 14. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 【详解】解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 故答案为：3． 15. 定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）9 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算以及零次幂，二次根式的性质化简，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据零次幂，二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算减法，即可作答． （2）先根据二次根式的性质化简，平方差公式，再运算加法，即可作答． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点选用适当的方法是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）移项后，提取公因式分解因式解方程即可． 【小问1详解】 解： 移项，得， 配方，得， 即， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， ∴或， 解得，． 18. 先化简，再求值：，已知a是的整数解． 【答案】，当时，原式；当时，原式； 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，一元一次不等式组的整数解，先通分括号内，再运算除法，化简得，根据分母不为0，得出或，再分别代入原式进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵a是的整数解， ∴ ∵ ∴ 则当时，； 则当时，； 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 20. 如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙，墙可利用的长度为（篱笆的宽度忽略不计）．菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长；若不可能，说明理由． 【答案】可能；边的长为14米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用等知识，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键，根据题意，列出方程．设，则，依题意，得：，解方程计算即可． 【详解】解：可能； 设，则，依题意，得： ， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，成立， 答：花园面积可能是，此时边的长为14米． 21. 为加快城乡发展，我省持续推进美丽乡村建设．某村计划将一块长为18米、宽为12米的矩形场地建成绿化广场．如图，广场内部修建三条同样宽的小路，其中一条路与广场的长边平行，另外两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化．若绿化面积为140平方米，求小路的宽． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设广场中间小路的宽为x米，根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设小路的宽为x米，由题意得： ， 解得：（不合题意，舍去)， 答：小路的宽为2米． 22. 根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题： 第1式：， 第2式：， 第3式：， 第4式：…… （1）根据规律填空：第5式： ； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出第5个式子即可； （2）先总结出规律第n式：，再化简原式的每个项，最后运算加减法，即可作答．． 本题主要考查数字型规律，平方差公式，二次根式的混合运算，关键是利用给出的式子找出规律． 【小问1详解】 解：依题意，得第1式：， 第2式：， 第3式：， 第4式：， ∴第5个式子为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）可得：第n式： ， 23. 某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量(单位：盒)是销售单价(单位：元/盒)的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元/盒，日销售量为盒． 销售单价/(元/盒) 日销售量/盒 （1）求乌馒头的日销售量与销售单价的函数解析式； （2）端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元； （3）当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润． 【答案】（1） （2）每盒降价元 （3）当销售单价定为元盒时，最大纯利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，一元二次方程，二次函数在销售利润中的应用，求二次函数的最大值，掌握销售问题中的等量关系式是解题的关键． （1）设，根据表格代入即可求解； （2）根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出方程即可求解； （3）设日销售纯利润为元，根据：销售量单件利润损耗费用销售总利润，列出函数关系式，并在范围内求最值即可． 【小问1详解】 解：设， 由题意得：， 解得：， ； 【小问2详解】 解：日销售量为盒， 把代入， 得：， 解得：， 即原来日销售单价为元， 设当日销售单价为元时，销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，， 为了使顾客获得最大实惠，销售单价应该定为元， 降价为：（元）， 答：当乌馒头每盒降价元时，商店每天获利为元； 【小问3详解】 解：设日销售纯利润为元，由题意得： ， ，， 当时，有最大值元， 答：当销售单价定为元盒时，日销售纯利润最大，最大纯利润为元． 四、附加题 24. 阅读下面材料，并解决相关问题：如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前n行的点数之和为 ． （2）体验：三角点阵中前n行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500； （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】（1） （2）不能 （3）20排 【解析】 【分析】（1）依次求出前为正整数）行点数之和，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 本题考查实际问题与一元二次方程：与图形有关的问题，图形变化的规律及列代数式，能根据所给点阵发现前行点数之和的变化规律是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题知， 三角点阵中前1行的点数之和为：1； 三角点阵中前2行的点数之和为：； 三角点阵中前3行的点数之和为：； 三角点阵中前4行的点数之和为：； ， ∴三角点阵中前行的点数之和为：． 故答案为： ． 【小问2详解】 解：不能． 依题意，令得， 解得， ∵为正整数， ∴三角点阵中前行的点数之和不能为500． 故答案为：不能． 【小问3详解】 解：由题知， 前排盆景的总数可表示为， 令得， 解得，． ∵为正整数， ∴， 即一共能摆20排． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $