精品解析：四川省达州市渠县第二中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试题

四川省达州市渠县第二中学2024-2025学年八年级上学期期中 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（每题4分 共40分） 1. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 估计的值在（ ）． A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 3. 若式子有意义，则的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 教育部办公厅中小学2021下发了“五项管理”文件．小明将写有“五项管理”的四张卡片分别放入平面直角坐标系中，如图，“管”字卡片遮住的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 6. 一个正数的两个平方根分别是与，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 7. 下列说法其中正确的个数（ ） ①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是，用式子表示是；④负数没有立方根． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，点D是AC边上一点，且DE⊥AB，连接DB．若AC＝6，BC＝3，则CD的长（　　） A. B. C. D. 9. 如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. ________． 12. 一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形最长边上的高等于______． 13. 若有意义，则_______． 14. 在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，且P点到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则点P的坐标为___________． 15. 如图，四边形中，，，E、F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为______． 三、解答题（共90分） 16. 计算题 （1） （2） （3） （4） 17. 已知的平方根是，的立方根是4，求． 18. 已知的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断的形状． 19. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简． 20. 已知点，分别根据下列条件求的值． ①点P在x轴上； ②点Q的坐标为，直线轴； ③点P在一三象限角平分线上． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 22. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 23. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点 B在x轴的正半轴上，点A在y轴正半轴上，的面积为4，且． （1）求点 B 的坐标； （2）过点A作的垂线，点C在直线的下方垂直y轴于点D，当时，求点C的坐标； （3）在（2）条件下，连接，点E为中点，求长度． 24. 已知， （1）求的值 （2）若的小数部分为，的小数部分为，求的值． （3）分母有理化拓展运用： 25. 如图，长方形沿直线翻折，使点C落在点处，点B落在点处． （1）如图1，当延长恰好经过点A时，交于点H．已知H为中点． ①求证：． ②若，．求和的长． （2）如图2，当与点A重合时，作，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县第二中学2024-2025学年八年级上学期期中 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一、选择题（每题4分 共40分） 1. 下列算式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选C． 2. 估计的值在（ ）． A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【详解】因为3的平方是9，4的平方是16，即=3，=4， 因为9<11<16， 所以估计的值在3和4之间， 故正确的选项是C． 3. 若式子有意义，则的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式与二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选：C． 4. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，根据勾股定理逆定理，以及有一个角是90度的三角形是直角三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、， 设，则：，故为直角三角形，不符合题意； B、， 设，则：，故为直角三角形，不符合题意； C、，， ∴， ∴，故为直角三角形，不符合题意； D、， ∴，故不是直角三角形，符合题意； 故选D． 5. 教育部办公厅中小学2021下发了“五项管理”文件．小明将写有“五项管理”的四张卡片分别放入平面直角坐标系中，如图，“管”字卡片遮住的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标特点解答即可． 【详解】解：由图可知“管”字卡片位于坐标系中第三象限， 而选项中，（-2，-3）位于第三象限， 故选：A． 【点睛】本题主要考查点的坐标，掌握平面直角坐标系内各象限内点的坐标特点是解题的关键． 6. 一个正数的两个平方根分别是与，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， 解得， 故选：A． 7. 下列说法其中正确的个数（ ） ①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③16的平方根是，用式子表示是；④负数没有立方根． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，无理数，平方根和立方根，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：实数和数轴上的点是一一对应的；故①正确； 无理数是无限不循环小数，包括开方开不尽的数，故②错误； 16的平方根是，用式子表示是，故③错误； 负数有立方根，故④错误； 故选B． 8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，点D是AC边上一点，且DE⊥AB，连接DB．若AC＝6，BC＝3，则CD的长（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，根据勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵点E是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD， 则CD=AC-AD=6-BD， 在Rt△BCD中，BD2=CD2+BC2，即BD2=（6-BD）2+32， 解得，BD=， ∴AD=， ∴CD=AC-AD=6-=， 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 9. 如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与平移，根据图形，得到是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，再根据点的平移规则，左减右加，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：观察图形可知，是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， ∴点M的对应点的坐标为， 故选C． 10. 如图，在长方体透明容器（无盖）内的点处有一滴糖浆，容器外点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为，宽为，高为，点距底部，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】沿着上面和棱将A点翻折至处，分三种情况讨论，利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可． 【详解】解：沿着上面和棱将A点翻折至处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm，3cm，7cm， 将容器展开： ∵ ∴蚂蚁需爬行的最短距离是 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能分类讨论是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. ________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了无理数大小比较和化简绝对值， 根据绝对值的定义，一个数的绝对值是非负的．由于，因此，故其绝对值为其相反数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为． 12. 一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形最长边上的高等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．根据勾股定理的逆定理，可以判断题目中三角形的形状，然后等面积法即可得到这个三角形中最长边上的高的长度． 【详解】解：∵， ∴三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形， 设这个三角形中最短边上的高为h， 则， 解得 故答案为：． 13. 若有意义，则_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：16 14. 在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，且P点到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，则点P的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查象限内点的符号特征，点到坐标轴的距离，根据第一象限内点的横纵坐标均为正，点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵点P在第一象限内，且P点到x轴的距离是3，到y轴的距离是2， ∴， ∴点P的坐标为； 故答案为：． 15. 如图，四边形中，，，E、F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题，根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于E，交于F， 则即为的周长最小值．作延长线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共90分） 16. 计算题 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）先根据乘法公式去括号，再计算加减法即可； （3）先把方程两边同时开方，再解方程即可； （4）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开立方，再解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴或， ∴或； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程，熟知相关计算法则是解题的关键． 17. 已知的平方根是，的立方根是4，求． 【答案】121 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是4， ∴， ∴， ∴ 18. 已知的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断的形状． 【答案】为等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查非负性和三角形的分类，根据非负性求出的值，进而判断出的形状即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 19. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【解析】 【分析】利用数轴判断得出：，，，，进而化简即可． 【详解】解：如图所示： ∴，， 则原式 ． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用二次根式的性质化简二次根式是解题关键． 20. 已知点，分别根据下列条件求的值． ①点P在x轴上； ②点Q的坐标为，直线轴； ③点P在一三象限角平分线上． 【答案】①；②；③ 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，根据轴上的点的纵坐标为0，平行于轴的直线上的点的横坐标相同，一三象限角平分线上的点的横纵坐标相同，分别求出的值即可． 【详解】解：①∵点P在x轴上， ∴， ∴； ②∵点Q的坐标为，直线轴， ∴， ∴； ③∵点P在一三象限角平分线上， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图， ∴即为所求； （2），，； （3）． 【解析】 【分析】（）根据轴对称图形定义即可作图， （）根据点的位置即可求点坐标； （）利用长方形面积减去三个直角三角形面积即可求解； 本题考查了作图-轴对称变换、图形与点的坐标、求三角形面积，熟练掌握轴对称的性质作图是解题的关键． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴关于轴对称的，，； 【小问3详解】 解：的面积为： ． 22. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】（1） 海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ，，，， 是直角三角形，， 由三角形面积相等可得：， 即， ， 以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域， 海港受台风影响． （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，利用直角三角形的等面积法求高．找到台风影响海港的临界位置是解题关键． （1）用勾股定理的逆定理证是直角三角形，再用等面积法求到的距离，将该距离与进行比较，判断海港是否受影响． （2）以“台风中心到海港的距离等于”为临界状态，确定台风移动路径上的两个临界位置、，结合（1），用勾股定理算出临界位置到的距离，由对称性得，最后用“影响路段长度台风移动速度”得到持续时间． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 根据勾股定理，， ，， ， ， 台风中心移动的速度为， ， 台风影响海港持续的时间为． 答：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点 B在x轴的正半轴上，点A在y轴正半轴上，的面积为4，且． （1）求点 B 的坐标； （2）过点A作的垂线，点C在直线的下方垂直y轴于点D，当时，求点C的坐标； （3）在（2）条件下，连接，点E为中点，求长度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由及，即可得到答案； （2）先证明，得到，，即可得到答案； （3）连接并延长交于点F，先证明，得到，连接OE，可得，得到，过点E作于H， 可证得 ，，过点E作于K，求得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 连接并延长交于点F， ∵， ∴， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过点E作于H， ∴，， ∴， ∴， 过点E作于K， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质、点的坐标，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 24. 已知， （1）求的值 （2）若的小数部分为，的小数部分为，求的值． （3）分母有理化拓展运用： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，无理数的估算，分母有理化： （1）先分母有理化求解的值，再求解的值，再把原式化为，再代入求值即可； （2）先判断，得到的值，再代入计算即可； （3）先分母有理化得到，再把所求式子裂项并计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ； 【小问3详解】 解：（n为正整数） ， ∴ ． 25. 如图，长方形沿直线翻折，使点C落在点处，点B落在点处． （1）如图1，当延长恰好经过点A时，交于点H．已知H为中点． ①求证：． ②若，．求和的长． （2）如图2，当与点A重合时，作，若，求的值． 【答案】（1） 【小问1】①证明：∵长方形， ∴，， ∵翻折， ∴， ∵恰好经过点A， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； ②5，12 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据得，根据H是的中点得，利用AAS证明三角形全等即可；②设，在中，根据勾股定理得，，进行计算得出，即可得，，根据四边形是长方形得，，，设，则，，根据勾股定理得，，计算得，即可得； （2）过点F作于点H，根据，可以假设，，则，根据，可得四边形是长方形，即可得，，由翻折变换的性质可知，根据得，则，即可得，则，根据勾股定理得，根据得，根据得，即可得． 【小问1详解】 ①略 ②由翻折变换的性质可知，，， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， ， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理得，， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：如图2所示，过点F作于点H， ∵， ∴可以假设，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴四边形是长方形， ∴，， 由翻折变换的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，翻折变换，二次根式的运算等知识，综合性强，难度较大，属于压轴题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $