精品解析：山东省聊城市冠县清华园学校2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

2024－2025学年冠县汇文学校八年级数学第一次月考试题 （总分：120分 时间：120分钟） 一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列六个图形中是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握轴对称图形的定义，即可完成． 如果一个图形沿着一条直线对折后两端完全重合，这样的图形叫轴对称图形． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可得第一、三、四、五个图形都是轴对称图形， 故选：D． 2. 下列代数式中是分式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义：如果A、B（B不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A称为分子，B称为分母，根据分式的概念判断即可，掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、中，分母不含字母，故不是分式，该选项不符合题意； B、符合分式的概念，该选项符合题意； C、，分母是个无理数，不是字母，故不是分式，该选项不符合题意； D、分母中不含字母，故不是分式，该选项不符合题意； 故选：B． 3. 两个三角形如果具备有下列条件： ①三条边对应相等 ②两条边和夹角对应相等 ③两条边和其中一条边的对角对应相等 ④两个角和一条边对应相等 ⑤三个角对应相等 那么一定能判定两个三角形全等的是（ ） A. ①②④ B. ①②③④ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.根据三角形全等的判定定理分别进行分析即可． 【详解】①三条边对应相等，可利用定理判定两个三角形全等； ②两条边和夹角对应相等, 可以利用判定两个三角形全等； ③两条边和其中一条边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等； ④两个角和一条边对应相等利用或判定两个三角形全等； ⑤.三个角对应相等,不能判定两个三角形全等； 故选：A. 4. 如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三个角的角平分线的交点 C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理， 根据三角形三边的垂直平分线的交点的特点解答即可． 【详解】解：因为三角形三条边的垂直平分线交于一点，且到三个顶点的距离相等， 所以供奶站应建在三条边的垂直平分线的交点． 故选：A． 5. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 6. 如图，在中，，，，一条线段，，两点分别在线段和的垂线上移动，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 以上答案都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是解题的关键．先根据题意得到，则以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，只有和两种情况，由此利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是的垂线， ∴， ∵以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，只有和两种情况， 当， ∴； 当， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理．先利用等腰三角形等边对等角的性质得出，再根据作图步骤得出直线是线段的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质得到，进而求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 根据作图痕迹，可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 8. 如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ①和③ 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去． 故选：C． 9. 如果将分式中都扩大到原来的倍，则分式的值（ ） A. 扩大到原来的倍 B. 扩大到原来的倍 C. 缩小到原来的 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论，解题的关键是掌握分式的基本性质． 【详解】解：当都扩大到原来的倍后， 原式 ， 则分式缩小到原来的， 故选：C． 10. 如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理；由折叠的性质可得，，可得，由三角形内角和定理可得，即可求的度数． 【详解】解：将沿，翻折，顶点，均落在点处， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 11. 如图，已知点P在射线上，，垂足分别为A，C，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点D在的平分线上 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题主要考查了角平分线判定和全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． 根据得出点在的平分线上，再证明和即可证明． 【详解】解：∵， ∴是的角平分线， ∴点在的平分线上，故B正确， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故C正确， ∴，故D正确． 故选：A． 12. 如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①；②；③；③，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①②③④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定方法是解题的关键．由等腰直角三角形的性质可得，利用判定，可得，．则，即；再利用判定，得出，可得，连接．因为是等腰直角三角形，即．又因为，那么垂直平分．即．在中，是斜边，是直角边，所以．即． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形． ．故①正确； 在和中，，，且， ， 在和中， ， ， ，， ， ；故②正确； 平分， ． 在和中， ， ， ． 又， ；故④正确； 连接． 是等腰直角三角形， 又， 垂直平分， ， 在中，是斜边，是直角边， ， ， ．故③错误． 故选：B 二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 若分式，则x的值为______． 【答案】－1 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件，需同时满足分子等于零，分母不等于零，先求解分子得到的可能取值，再排除使分母为零的取值，即可得到最终结果． 【详解】解：由题意可得 解，得，即， 由，得， ． 14. 已知点与点关于x轴对称，则_______，_________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程求解即可． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， 解得：，． 故答案为：3，． 15. 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，根据题意画出图形以及分类讨论是解题的关键． 分等腰三角形是锐角三角形或钝角三角形两种情况，分别根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：①如图：当三角形为锐角三角形时， ∵，，为高，即，， ∴， ②如图：当三角形为钝角三角形时， ∵，，为高，即， ∴， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 16. 如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，由翻折变换的性质可知，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴． 17. 如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，是直线上的一动点，则的周长的最小值为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．连接，先根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长为，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵直线是中边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取最小值，最小值为， ∴的最小值为， 即的周长的最小值为10， 故答案为：10． 18. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为_____厘米/秒时，能够使与全等． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据题意，分两种情况：当时，与全等，或时，与全等，分别求解即可. 【详解】解：设点运动时间为秒，则，， ， 当时，与全等， 此时，， 解得， ， 此时，点的运动速度为（厘米/秒）， 当时，与全等， 此时，， 解得， 点的运动速度为（厘米/秒）． 故答案为：2或3． 三、解答题（共6个小题，总分66分） 19. 如图，已知为等边三角形，点D、E分别在、边上，且，与相交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ， 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，再根据定理即可得证； （2）先根据三角形全等的性质可得，再根据三角形的外角性质求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）已证：， ， ． 20. 如图所示，，P是的中点，且平分，连接． （1）试说明平分； （2）线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】（1） 证明：过点作，垂足为E，如图所示： ∵平分， ∴， ∵，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵是中点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分；（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． （2） 解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵，（角平分线定义）， ∴， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理和它的逆定理．根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）由题意过点作，垂足为E，先求出，再求出，从而证明平分； （2）根据题意利用两直线平行同旁内角互补可得，从而求证两直线垂直． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）求出的面积； （3）在轴上画出点，使的值最小，并写出点的坐标不写作法，保留作图痕迹 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） （3） 如图所示，点P即为所求， 点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是周围轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出点、、点的坐标，然后描点，顺次连接、、即可； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 略 22. 如图，是的角平分线，分别是和的高． （1）试说明垂直平分； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）4 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论； （2）根据列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 23. 如图，在等腰中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：在等腰中，，， ，， ． 又交的延长线于点， ， ， ， 又为的中点， ， 即， 在和中， ， ， ． 又， ， 即； （2）等腰三角形， 理由如下： 连接，如图， 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形，且是的平分线， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）欲求证，先证明，需证明，证明即可． （2）要判断的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，利用等腰三角形三线合一可证是中垂线，则易证，则，从而判断其形状． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 【答案】（1）； （2）结论仍然成立； 理由：如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，推出，，再证明，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，，再证明，推出，可得． 【详解】解：（1）， ， 在和中 ， ， ，， ∵，， ∴， ∴ ， 在和中 ， ， ， ， ； 故答案为：． （2） 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年冠县汇文学校八年级数学第一次月考试题 （总分：120分 时间：120分钟） 一、单选题（共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列六个图形中是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列代数式中是分式的为（ ） A. B. C. D. 3. 两个三角形如果具备有下列条件： ①三条边对应相等 ②两条边和夹角对应相等 ③两条边和其中一条边的对角对应相等 ④两个角和一条边对应相等 ⑤三个角对应相等 那么一定能判定两个三角形全等的是（ ） A. ①②④ B. ①②③④ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤ 4. 如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三个角的角平分线的交点 C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点 5. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，一条线段，，两点分别在线段和的垂线上移动，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 以上答案都不对 7. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ①和③ 9. 如果将分式中都扩大到原来的倍，则分式的值（ ） A. 扩大到原来的倍 B. 扩大到原来的倍 C. 缩小到原来的 D. 不变 10. 如图，将沿、翻折，顶点A，B均落在点O处，且与重合于线段，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，已知点P在射线上，，垂足分别为A，C，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. 点D在的平分线上 C. D. 12. 如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①；②；③；③，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①②③④ D. ①③ 二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 13. 若分式，则x的值为______． 14. 已知点与点关于x轴对称，则_______，_________． 15. 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为________． 16. 如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则________． 17. 如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，是直线上的一动点，则的周长的最小值为_________． 18. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为_____厘米/秒时，能够使与全等． 三、解答题（共6个小题，总分66分） 19. 如图，已知为等边三角形，点D、E分别在、边上，且，与相交于点F． （1）求证：； （2）求的度数． 20. 如图所示，，P是的中点，且平分，连接． （1）试说明平分； （2）线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于轴对称的，并写出的坐标； （2）求出的面积； （3）在轴上画出点，使的值最小，并写出点的坐标不写作法，保留作图痕迹 22. 如图，是的角平分线，分别是和的高． （1）试说明垂直平分； （2）若，求的长． 23. 如图，在等腰中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 24. 【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $