精品解析：山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高三上学期开学检测数学试题

新泰市紫光实验中学2024年开学检测 高三数学试题 一、选择题(共40分) 1. 当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 2. 直线与曲线恰有1个公共点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 3. 如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 若数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 圆关于直线对称，则实数（ ） A. 1 B. -3 C. 1或-3 D. -1或3 7. 在等差数列中，已知，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 已知函数的图像如图所示，是的极值点，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(共18分) 9. 下列各对事件中，、是相互独立事件的有（　　） A. 掷枚质地均匀的骰子一次，事件“出现的点数为奇数”，事件“出现的点数为偶数” B. 袋中有个红球，个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件“第次摸到红球”，事件“第次摸到红球” C. 分别抛掷枚相同的硬币，事件“第枚为正面”，事件“两枚结果相同” D. 一枚硬币掷两次，事件“第一次为正面”，事件“第二次为反面” 10. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为，半径为 B. 圆的圆心为，半径为 C. 圆的圆心为，半径为 D. 圆的圆心为，半径为 11. 下列结论正确的是（ ） A. 已知点在圆上，则的最大值是4 B. 已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离 D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 三、填空题(共10分) 12. 已知，两点到直线的距离相等，则__________． 13. 若对一切恒成立，则的最大值为__________. 四、双空题(共5分) 14. 用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，，.若，，则________；若，则________. 五、解答题（共77分） 15. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. （1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 16. 已知直线 l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得|取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由. 17. 为了庆祝新中国成立75周年，在国庆期间我市某社区举办了一次有奖答题活动．给出10个问题，要求参赛者依次作答10道试题，每答对一题得1分，答错一题或放弃作答扣1分，获得6分（含6分）以上可得奖品．某居民参加了此次答题活动，若该人已经完成了前5道题的作答，且都答对．剩下的每道题他做对的概率均为． （1）当时，求该居民最终恰好得到8分的概率． （2）记该居民答对道题且获得奖品的概率为，求． 18. 已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. （1）若是线段的中点，求直线的方程； （2）若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰市紫光实验中学2024年开学检测 高三数学试题 一、选择题(共40分) 1. 当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定曲线所表示的图形，再根据数形结合得出实数的取值范围. 【详解】直线恒过点， 由可得，等式两边平方得， 曲线表示圆的上半圆，作出示意图如下： 当直线与半圆相切时，即直线与半圆相切时， 有，解得， 当直线过时，，解得， 要想曲线与直线有个相异交点， 数形结合得到：实数的取值范围是. 故选：D. 2. 直线与曲线恰有1个公共点，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】画出直线与曲线的图象，数形结合可得答案. 【详解】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象， 当直线与曲线相切时， 则圆心到直线的距离为， 可得（正根舍去）， 当直线过时，， 如图，直线与曲线恰有1个公共点，则或. 故选：D. 3. 如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量线性运算即可求解. 【详解】由题意可得 . 故选：A. 4. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当,两式做差整理求解即可. 【详解】因为， 当，两式做差得： ， 故，当，，符合；故. 故选：D 5. 若数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令可求得的值，当时， 由可得，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出的值，即可得解. 【详解】当时，，可得， 当时， 由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，则， 因此，. 故选：D. 6. 圆关于直线对称，则实数（ ） A. 1 B. -3 C. 1或-3 D. -1或3 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程即可求解. 【详解】的圆心坐标为， 因为圆关于直线对称， 所以圆心在直线上，也即， 解得：或. 当时，可得：，符合圆的方程； 当 时，可得：，配方可得：，舍去. 故选：B 7. 在等差数列中，已知，，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由，可得，公差， 故，解得， 故选：A 8. 已知函数的图像如图所示，是的极值点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象先确定函数解析式，在利用导函数及韦达定理计算即可. 【详解】由函数的图象可知：， 解得， 所以，可得， 由韦达定理及极值点的定义得， 所以. 故选：B. 二、多项选择题(共18分) 9. 下列各对事件中，、是相互独立事件的有（　　） A. 掷枚质地均匀的骰子一次，事件“出现的点数为奇数”，事件“出现的点数为偶数” B. 袋中有个红球，个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件“第次摸到红球”，事件“第次摸到红球” C. 分别抛掷枚相同的硬币，事件“第枚为正面”，事件“两枚结果相同” D. 一枚硬币掷两次，事件“第一次为正面”，事件“第二次为反面” 【答案】CD 【解析】 【分析】利用独立事件的定义可判断AC选项；利用事件的关系可判断BD选项. 【详解】对于A选项，掷枚质地均匀的骰子一次，事件“出现的点数为奇数”， 事件“出现的点数为偶数”，则事件“出现的点数为奇数且为偶数”， 所以，，又因为，所以，， 所以，、不相互独立，A不满足； 对于B选项，袋中有个红球，个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次， 事件“第次摸到红球”，事件“第次摸到红球”， 由题意可知，事件的发生影响事件的发生，故、不相互独立，B不满足； 对于C选项，分别抛掷枚相同的硬币，事件“第枚为正面”，事件“两枚结果相同”， 则事件“两枚硬币都正面向上”，则， 又因为，，则， 所以，、相互独立，C满足； 对于D选项，一枚硬币掷两次，事件“第一次为正面”，事件“第二次为反面”， 第一次为正面对第二次的结果不影响，因此，、相互独立，D满足. 故选：CD. 10. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为，半径为 B. 圆的圆心为，半径为 C. 圆的圆心为，半径为 D. 圆的圆心为，半径为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆的标准方程特征即可求得圆心和半径. 【详解】圆的圆心为，半径为，A正确； 圆的圆心为，半径为，B错误； 圆的圆心为，半径为，C正确； 圆的圆心为，半径为，D错误． 故选：AC. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 已知点在圆上，则的最大值是4 B. 已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离 D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】利用三角代换可判断A；求出直线所过定点，结合图形可判断B；利用点到直线的距离公式可判断C；转化为两圆相交问题可判断D. 【详解】A选项，因为点在圆上， 所以， 当时，取得最大值4，故A正确； B选项，由，所以，即直线过点， 因为直线和线段相交，故只需或，故B错误； C选项，圆的圆心到直线的距离， 而点是圆外一点，所以， 所以，所以直线与圆相交，故C错误； D选项，与点的距离为1的点在圆上， 由题意知圆与圆相交， 所以圆心距，满足，解得，故D正确. 故选：AD 三、填空题(共10分) 12. 已知，两点到直线的距离相等，则__________． 【答案】1或2 【解析】 【分析】根据题意利用点到直线的距离公式列式求解即可. 【详解】由题意可得：，即， 可得或，解得或. 故答案为：1或2. 13. 若对一切恒成立，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，再构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，即可得解. 【详解】由题意可得对一切恒成立， 令，则， 当时，，故在上单调递减， 此时在上无最小值，不符合题意， 当时，令，有，令，有， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 即，则， 令，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 当满足题意，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而得到，即可得，再构造函数，求出其最大值即可得. 四、双空题(共5分) 14. 用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，，.若，，则________；若，则________. 【答案】 ①. ， ②. 【解析】 【分析】当，时，利用构造法可得出数列是等比数列，求出，进而得出；当时，由题目中的递推关系式可得，，，即可求解. 【详解】当，时，，即， 则数列是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即. 当时，，即，且， 故，故，故， ∴，，所以，所以. 因为，所以 由，可得：，，. 因为，所以，，则. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合，数列的通项公式及前项和.利用构造法即可求解第一空；借助递推关系式得出，，是解答第二空的关键. 五、解答题（共77分） 15. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. （1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 P 期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结果； （2）根据甲、乙答对题数为二项分布及独立事件的概率求出每轮答题中取得胜利的概率，再由二次函数的性质求出结果. 【小问1详解】 由题意知，的可能取值有0，1，2，3，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P . 【小问2详解】 因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”, 则 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，由二次函数可知当时取最大值， 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为. 16. 已知直线 l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得|取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由. 【答案】存在，， 【解析】 【分析】设，根据坐标运算可转化为关于的二次函数，利用二次函数的最值求解即可. 【详解】假设直线l上存在一点，使得取得最小值，如图， 则， 因为，所以当，即点P的坐标为时， 取得最小值，且最小值为. 17. 为了庆祝新中国成立75周年，在国庆期间我市某社区举办了一次有奖答题活动．给出10个问题，要求参赛者依次作答10道试题，每答对一题得1分，答错一题或放弃作答扣1分，获得6分（含6分）以上可得奖品．某居民参加了此次答题活动，若该人已经完成了前5道题的作答，且都答对．剩下的每道题他做对的概率均为． （1）当时，求该居民最终恰好得到8分的概率． （2）记该居民答对道题且获得奖品的概率为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，若该居民最终恰好得到8分，得到答对9道，答错或放弃1题，即可求解； （2）根据题意，该人要获得奖品，则他获得6分（含6分）以上，得到可能得10分，8分或6分三种情况分别求得相应的概率，即可得到答案. 【小问1详解】 根据题意，该人已经完成了前5道题的作答，且都答对， 若该居民最终恰好得到8分，则参赛者共答对9道，答错或放弃1题， 所以概率为. 【小问2详解】 根据题意，该人要获得奖品，则他获得6分（含6分）以上， 当10道试题都答对时，得分为10分，概率为， 当答对9道，答错或放弃1道时，得分为8分，概率为， 当答对8道，答错或放弃2道时，得分为6分，概率为， 综上可得：. 18. 已知椭圆的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. （1）若是线段的中点，求直线的方程； （2）若直线经过点（点在点之间），直线与直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】（1） （2） 不妨设的直线方程为， 联立，消去整理得， 由韦达定理得， 所以， 因为， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）利用中点弦问题求解即可； （2）利用韦达定理得到再根据斜率的坐标表示可得，结合韦达定理可证明. 【小问1详解】 设，则有， 且，作差可得， 所以， 由点斜式得，， 整理得即为直线的方程. 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，且，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，在区间内单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导后进行分类讨论，求出单调区间即可； （2），得，然后进行参变分离，构造新函数，借助导数求最值即可. 【小问1详解】 由题意得的定义域为， 当时，，所以在区间内单调递减； 当时，令（2），得， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上，当时，在区间内单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，由，得， 整理得，即. 令 则， 由（1）知，当时，的最小值为， 即恒成立， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减. 故当时，取得最大值，即， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $