三重教育2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

姓名： 准考证号： 秘密★启用前 三重教育2024-2025学年高一年级阶段性考试 数学试题 (考试时间120分钟，满分150分) 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区 域内。 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑 色笔迹签字笔写在答题卡上 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合A={xx=2k-1,k∈N},B={-1,0,1,2,3,则A∩B= A.{1,3} B.{0,1,3 C.{-1,1,3} D.{-1,0,1,2,3} 2.已知集合A={xx2+4x+3>0,集合B={xx(2024-x)≥0，则 A.AUB=A B.AUB=R C.A∩B=A D.A∩B=☑ 3.若x∈R.则下列选项中，使“x2<4”成立的一个必要不充分条件为 A.x<1 B.-1<x<1 C.-2<x<2 D.-3<x<3 高一数学试题 第1页（共4页） 4.命题“所有五边形的内角和都是540°”的否定为 A.存在一个五边形，其内角和是540° B.存在一个五边形.其内角和不是540° C.所有不是五边形的多边形内角和都不是540° D.所有五边形的内角和都不是540 5.下列命题是真命题的是 A.3E N,4x<-5 B.3x∈Q,x2-x-3=0 C.Hx∈R,Vx2>0 D.Vx ER,x2-x+1>0 6.已知实数，6满足1<6，则 a A.ab>I B.ab <I C.a'b>a D.a'b <1 7.满足{(1,0)，(0,1)}CP≤{(0,0)，(1,0)，(0,1)，(1,1)}的集合P的个数为 A.8 B.4 C.3 D.2 8.已知实数m>0,n>0,且满足mm=4m+n,则m+n的最小值为 m n A.3 B.2W5 C.v85 D.2√2+3 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知a<b<0<c,则下列结论中正确的有 A.be ac B.a>b C.b>a D.c>a 高一数学试题 第2页（共4页） 10.已知集合A={xEN1<x<4},B={x∈R(x+2)(mx+1)=0},则下列命题正确 的是 A.3m∈R,使AUB有两个元素 B.3m∈R,A∩B=O C.若A∩B有一个元素，则实数m的取值集合为 D.若AUB有三个元素，则实数m的取值集合为2 11 ，-2，-3 ,类比基本不等式：“当a>0,b>0时，0么≥√ab,当且仅当a=6时，等号成立”，可 得出结论：a+6+c≥ac,当且仅当a=b=c时，等号成立，若0<r<6,根据上述 3 结论判断-x3+6x的值可能是 A.31 B.32 C.33 D.34 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.设全集U={xx<1},集合A={xx≤0}，则CA= 13.已知集合A={x∈Rkx2-x+=0,k∈R}中只有一个元素，则k值构成的集合为 14.已知实数x,y,z满足x2+y2+4z2=1,则当3xy+z取得最小值时，z= 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知1<x+y<3,3<x-y<6.求 (1)x+y的取值范围： x-Y (2)x+5y的取值范围. 16.(15分)已知集合A={xa+1≤x≤2a-3},B={xx<0,或x>8. (1)若a=6,求AUB: (2)若AC(A∩B),求实数a的取值范围. 高一数学试题 第3页（共4页） 17.(15分)已知正实数a,b满足6=a+3 a-1 求 (1)a+b的最小值： (2+名的最小值. a 18.(17分)已知不等式x2+ax+b<0的解集为{xa<x<4}. (1)求a,b的值： (2)若对一切x>1,都有不等式x2+ax+b≥(t+1)x-t-14恒成立，求实数t的最 大值。 19.(17分)若集合A具有以下性质，则称集合A是“好集”： ①0∈A,1eA:②若，y∈A,则x-y∈A:③若x∈A且x≠0，则1∈A (1)判断有理数集Q是否是“好集”，并说明理由： (2)设集合A是“好集”，求证：号eA (3)对任意的一个“好集”A,求证：若x,y∈A,则xy∈A. 高一数学试题 第4页（共4页）三重教育2024-2025学年高一年级阶段性考试 数学试题参考答案 一、单选题 1.【答案】C 【解析】由题意可知，集合A = { }|x x = 2k - 1，k ∈ N 为-1和正奇数组成的集合， 又B = { }-1，0，1，2，3 ，所以A ⋂ B = { }-1，1，3 .故选C. 2.【答案】A 【解析】由题意，得A = { }|x x > -1，或x < -3 ，B = { }|x 0 ≤ x ≤ 2024 ，所以B ⊆ A，即A ⋃ B = A. 故选A． 3.【答案】D 【解析】解 x2 < 4，得-2 < x < 2.由{ }x |-2 < x < 2 ⫋ { }x |-3 < x < 3 ，所以“-3 < x < 3”是使“x2 < 4”成立的一个必 要不充分条件 .故选D． 4.【答案】B 【解析】显然其否定为“存在一个五边形，其内角和不是540°”.故选B. 5.【答案】D 【解析】对于选项A，由4x < -5，得 x < - 54，显然不存在自然数小于- 5 4，A错误； 对于选项B，由 x2 - x - 3 = 0，解得 x = 1 ± 132 ，显然是两个无理数，B错误； 对于选项C，当 x = 0时， x2 = 0，C错误； 对于选项D，x2 - x + 1 = ( )x - 12 2 + 34 > 0，显然恒成立，D正确 .故选D. 6.【答案】C 【解析】取a = -1，b = 1，显然A错误；取a = 2，b = 1，显然B，D都错误； 对于选项C，由 1 a < b，得 1 a - b = 1 - ab a < 0，即a ( )1 - ab < 0，所以a - a2b < 0，即a2b > a.故选C. 7.【答案】B 【解析】显然 P = { }(1，0)，(0，1) ，或者 P = { }(0，0)，(1，0)，(0，1) ，或者 P = { }(1，0)，(0，1)，(1，1) ，或者 P = { }(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1) .所以满足题意的集合P共4个 .故选B. 8.【答案】A 【解析】由mn = 4m + n m + n ，得m + n = 4m + n mn = 1 m + 4 n . 因 为 m > 0，n > 0， 所 以 m + n > 0，n m > 0，4m n > 0 . 所 以 ( )m + n 2 = ( )m + n ( )1m + 4n = 5 + nm + 4mn ≥ 5 + 2 4 = 9，即m + n ≥ 3，当且仅当 n m = 4m n 时，等号成立，此时m = 1，n = 2，( )m + n min = 3.故选A. 二、多选题 9.【答案】ABD 【解析】对于选项A，因为 b > a，所以 b - a > 0，又因为 c > 0，所以 bc - ac = ( )b - a ⋅ c > 0，即 bc > ac， 故A正确； 对于选项B，由a < b < 0，得ab > 0且 b - a > 0，所以 1 a - 1 b = b - a ab > 0，即 1 a > 1 b ，故B正确； 对于选项C，由a < b < 0，得 b - a > 0且 b + a < 0，所以 b2 - a2 = ( )b - a ( )b + a < 0，即 b2 < a2，故C错误； 对于选项D，由a < 0 < c，得 c3 > 0且a3 < 0，即 c3 > a3，故D正确 .故选ABD. 高一数学答案 第1页（共4页） 10.【答案】BC 【解析】显然，A = { }2，3 ，-2 ∈ B. 对于选项A，A ⋃ B中至少有三个元素2，3，-2，故A错误； 对于选项B，取m = 0，则A ⋂ B = ∅，故B正确； 对于选项C，若A ⋂ B有一个元素，则2 ∈ B，或3 ∈ B，即2m + 1 = 0，或3m + 1 = 0，得m = - 12，或m = - 1 3， 故C正确； 对于选项D，若A ⋃ B有三个元素，则A ⋃ B = { }-2，2，3 ，此时m = 0，或 12，或 - 1 2，或 - 1 3， 故D错误 .故选BC. 11.【答案】AB 【解析】-x3 + 6x2 = x2( )6 - x = 4 × x2 × x 2 × ( )6 - x ≤ 4 æ è ç ç ç çç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ x 2 + x 2 + 6 - x3 3 = 32， 当且仅当 x 2 = x 2 = 6 - x时，即 x = 4时，( )-x3 + 6x2 max = 32. 故选AB. 三、填空题 12.【答案】{x | 0 < x < }1 【解析】由补集定义可得 ∁U A = {x | 0 < x < }1 .故答案为：{x | 0 < x < }1 . 13.【答案】{ }- 12，0，12 【解析】（1）当 k = 0时，A = { }0 ，显然满足题意； （2）当 k ≠ 0时，Δ = ( )-1 2 - 4 × k × k = 0，解得 k = ± 12.所以 k值构成的集合为{ }- 12，0，12 . 故答案为：{ }- 12，0，12 . 14.【答案】- 112 【解析】若3xy + z取得最小值，显然 x，y异号且 z < 0. 由 x2 + y2 + 4z2 = 1，得 1 - 4z2 = x2 + y2 ≥ 2 | x |y = -2xy，即 xy ≥ 1 - 4z2-2 = 2z2 - 1 2，当且仅当 x = -y时，等号 成立 . 故3xy + z ≥ 6z2 + z - 32 = 6 ( )z + 112 2 - 3724，当且仅当 z = - 112时，3xy + z取得最小值 . 此时 x2 + y2 = 3536且 x = -y，即 x = 7012 ，y = - 7012 或 x = - 7012 ，y = 7012 .故正确答案为:- 1 12 . 四、解答题 15.【解析】 （1）因为3 < x - y < 6，所以 16 < 1 x - y < 13.………………………………………………………………………3分 又因为1 < x + y < 3，所以1 × 16 < x + y x - y < 3 × 13，即 1 6 < x + y x - y < 1， 所以 x + y x - y的取值范围是( )16，1 .…………………………………………………………………………………5分 （2）设 x + 5y = m ( )x + y + n ( )x - y = ( )m + n x + ( )m - n y，…………………………………………………8分 则{m + n = 1，m - n = 5，解得m = 3，n = -2.所以 x + 5y = 3( )x + y - 2 ( )x - y .……………………………………10分 由1 < x + y < 3，得3 < 3( )x + y < 9. 由3 < x - y < 6，得-12 < -2 ( )x - y < -6.……………………………………………………………………12分 所以-12 + 3 < x + 5y < -6 + 9，即-9 < x + 5y < 3，所以 x + 5y的取值范围是( )-9，3 .……………………13分 高一数学答案 第2页（共4页） 16.【解析】 （1）若a = 6，则A = { }|x 7 ≤ x ≤ 9 .所以A ⋃ B = { }x | x < 0，或x ≥ 7 .……………………………………………4分 （2）若A ⊆ ( A ⋂ )B ，则A ⊆ B.………………………………………………………………………………………6分 当a + 1 > 2a - 3，即a < 4时，A = ∅满足题意；…………………………………………………………………9分 当a + 1 ≤ 2a - 3，即a ≥ 4时，由A ⊆ B，得2a - 3 < 0，或a + 1 > 8， 解得a < 32，或a > 7，即a > 7.……………………………………………………………………………………13分 综上，实数a的取值范围是{ }|a a < 4，或a > 7 .…………………………………………………………………15分 17.【解析】 （1）由 b = a + 3 a - 1，得a + b + 3 = ab.………………………………………………………………………………1分 因为a > 0，b > 0，所以a + b + 3 = ab ≤ ( )a + b2 2，……………………………………………………………3分 令 t = a + b，得 t + 3 ≤ t24，解得 t ≥ 6，或t ≤ -2（舍），故a + b ≥ 6，……………………………………………5分 当且仅当a = b时，等号成立，即a = b = 3时，( )a + b min = 6.……………………………………………………6分 （2）由 b = a + 3 a - 1，得ab - 3 = a + b. 因为a > 0，b > 0，所以ab - 3 = a + b ≥ 2 ab，…………………………………………………………………8分 令m = ab，得m2 - 3 ≥ 2m，解得m ≥ 3，或m ≤ -1（舍），故ab ≥ 9，…………………………………………10分 当且仅当a = b时，等号成立 .……………………………………………………………………………………11分 1 a + 1 b = a + b ab = ab - 3 ab = 1 - 3 ab .………………………………………………………………………………13分 因为ab ≥ 9，所以1 - 3 ab ≥ 23，当且仅当a = b时，等号成立， 即当a = b = 3时，( )1a + 1b min = 23 .………………………………………………………………………………15分 18.【解析】 （1）因为不等式 x2 + ax + b < 0的解集为{ }|x a < x < 4 ，所以 x2 + ax + b = 0的两实根分别为a，4.…………2分 由韦达定理，得a + 4 = -a，a × 4 = b，…………………………………………………………………………6分 解得a = -2，b = -8.………………………………………………………………………………………………8分 （2）由 x2 + ax + b ≥ ( )t + 1 x - t - 14，得 x2 - 2x - 8 ≥ tx + x - t - 14 = t ( )x - 1 + x - 14. 根据题意，可知当 x > 1时，t ≤ x2 - 3x + 6 x - 1 恒成立 .……………………………………………………………10分 令 y = x 2 - 3x + 6 x - 1 = ( )x - 1 2 - ( )x - 1 + 4 x - 1 = x - 1 + 4 x - 1 - 1 ≥ 2 ( )x - 1 ⋅ 4 x - 1 - 1 = 3，……………14分 当且仅当 x - 1 = 4 x - 1 （x > 1），即 x = 3时，等号成立 .………………………………………………………16分 所以 t ≤ 3，即 t的最大值为3.……………………………………………………………………………………17分 19.【解析】 （1）有理数集Q是“好集”.……………………………………………………………1分 理由是：0 ∈ Q，1 ∈ Q，对任意 x ∈ Q，y ∈ Q，都有 x - y ∈ Q，且 x ≠ 0时，1 x ∈ Q.故有理数集Q是“好集”. ………………………………………………………………………………………………………………………3分 高一数学答案 第3页（共4页） （2）证明：因为A是“好集”， 由①知0 ∈ A，1 ∈ A，由②知0 - 1 = -1 ∈ A，……………………………………………………………………4分 所以1 -（-1）= 2 ∈ A，由③知 12 ∈ A，故 1 2 -（-1）= 3 2 ∈ A.……………………………………………………6分 （3）证明：因为集合A是“好集”，所以0 ∈ A. 若 x，y ∈ A，则0 - y ∈ A，即-y ∈ A，所以 x - ( )-y ∈ A，即 x + y ∈ A.（*）………………………………………8分 若 x，y中有0，1时，显然有 xy ∈ A.………………………………………………………………………………9分 下 设 x，y 中 不 存 在 0，1，由 定 义 得 x - 1 ∈ A， 1 x - 1 ∈ A， 1 x ∈ A，所 以 1 x - 1 - 1 x = 1 x ( )x - 1 ∈ A，则 x ( )x - 1 ∈ A.由（*）得 x ( )x - 1 + x = x2 ∈ A，同理 y2 ∈ A.………………………………………………………12分 若 x + y = 0或 x + y = 1，显然( )x + y 2 ∈ A.…………………………………………………………………13分 若 x + y ≠ 0且 x + y ≠ 1，显然 ( )x + y 2 ∈ A，可得 2xy = ( )x + y 2 - x2 - y2 ∈ A，所以 12xy ∈ A.由（*）得 1 xy = 12xy + 1 2xy ∈ A，所以 xy ∈ A.………………………………………………………………………………………16分 综上，若 x，y ∈ A，则 xy ∈ A．…………………………………………………………………17分 高一数学答案 第4页（共4页）