3.3探索与表达规律第1课时（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（北师大版2024）

3.3 探索与表达规律 主讲： 北师大版（2024） 七年级 上册 第3章 整式及其加减 第1课时 学习目标 1.经历由一般到特殊的过程，体会代数推理的特点和作用；(重点） 2.能用代数式表示并借助代数式运算验证所探索规律的一般性.(难点） 新课导入 复习回顾 1.进行整式加减运算时，如果遇到括号要先________，再__________． 2．若多项式3x2－2xy－y2减去多项式M，所得的差是－5x2＋xy－2y2，则多项式M是(　　) A．8x2－3xy＋y2 B．2x2＋xy＋3y2 C．－8x2＋3xy－y2 D．－2x2－xy－3y2 去括号 合并同类项 A 新课导入 情境引入 观察图中所示的日历图，你能发现日历图中的数有什么规律吗? 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 例如，日历图中，左右相邻的两个数相差1；上下相邻的两个数相差7. 还有其他规律吗？ 新课讲授 探究一：日历图中的数字规律 根据图中的日历图，回答下列问题： (1)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系? 解：(1)图中蓝色方框中九个数之和 =90=9×10. 套色方框中的9个数之和是该方框正中间数的9倍. 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 新课讲授 a 用代数式表示: 设正中间数为a，请用a表示出其他数. a-7 a+8 a-8 a+6 a-6 a+7 a-1 a+1 则9个数的和为： (a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7) +(a+8) = ______ 9a 结论:方框中九个数之和=9×正中间的数. (2)这个关系对其他这样的方框成立吗?你能用代数式表示这个关系吗? 新课讲授 (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗? 为什么? 都成立. 其他月份的日历仍然可以用以上方法表示出：方框中九个数之和=9×正中间的数. 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 新课讲授 (4)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗?用代数式表示. 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (4)答案不唯一，例如，如下图所示： a a-7 a+8 a-8 a+6 a-6 a+7 a-1 a+1 第一行和第三行的6个数之和=(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a+6)+(a+7)+(a+8) =6a 第二行3个数之和=(a-1)+a+(a+1) =3a 因此，套色方框中第一行和第三行的6个数之和是第二行3个数和的2倍. 新课讲授 尝试·思考： (1)图中所示的日历图中，能否使框中9个数的和为144?180呢?为什么? 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 解:假设方框正中间的数为a，框中9个数的和为9a，使得9a=144，所以a=16. 在图中能找到这样的方框，所以能使框中9个数的和为144. 当9a=180，所以a=20. 在图中不能找到这样的方框，所以不能使框中9个数的和为180. 新课讲授 (2)在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为80，这个月的第一个星期日是几号? 解:假设这个月的第一个星期日是m号 则m+(m+7)+(m+7+7)+(m+7+7+7)+(m+7+7+7+7)=80 所以m=2， 所以这个月的第一个星期日是2号. 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 新课讲授 思考·交流： (1)如图，如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？它们有什么共同规律? 规律: 十字形中五数之和=5×中间数 图中十字形框中5个数之和=70=14×5. 如图所示的十字型框，设正中间数为a: 则五个数之和=a+(a-7)+(a+7)+(a-1)+(a+1)=5a a a-7 a+7 a-1 a+1 新课讲授 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (2)如果改为H形框呢，你能发现哪些规律？ 规律: “H”形中七数之和=7×中间数 a a-8 a+8 a+6 a-6 a-1 a+1 图中H形框中7个数之和=63=9×7. 如图所示的H形框，设正中间数为a: 则五个数之和=a+(a-8)+(a+8)+(a-1)+(a+1)+(a-6)+(a+6)=7a 新课讲授 (3)你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？与同伴进行交流. “X”形 规律: “X”形中五数之和=5×中间数 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 新课讲授 日历图中数字规律的求解方法： 知识归纳 设中间的数为a，并用含a的代数式表示各个被框数，计算它们的和，进而解决问题． 1.下图是某年的月历表，用一个圈竖着圈住三个数，当你任意圈出一竖列上相邻的三个数时，这三个数的和不可能是(　 　) A．72   B．60   C．27   D．40 新课讲授 D 新课讲授 探究二：数式变化中的规律 观察下列等式，找出规律填空： 新课讲授 探索数字或数式变化规律的方法： 知识归纳 对于有关数字和数式的规律问题，首先要认真观察，从给出的有限的几个数和数式入手，观察数与数之间的规律及数式本身存在的规律，把等式横向、纵向分别进行比较，找出其中的不变部分与变化部分，数与其式子的序号之间的关系，然后找出其中的变化规律． 新课讲授 2.仔细观察下列各组数,按你发现的规律填空: (1) 1,2,3,4, , ,第n个数是 . (2) 2,4,6,8, , ,第n个数是 . (3) ,,,, , ,第n个数是 . (4)-1,4,-7.10, , ,第2n个数是 . (5)观察下列一组数：,···.它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第k个数是 . 5 6 n 10 12 2n -13 16 6n-2 新课讲授 探究三：图形变化中的规律 下面是用棋子摆成的“小房子”.摆第n个这样的“小房子”呢?你是如何得到的? … （1）（2） （3）（4） 图案编号 （1） （2） （3） （4） （5） … 棋子颗数 … （2）摆第n个图案需要 颗棋子. 5 11 17 23 29 (6n-1) （3）摆第100个这样的“小房子”需要 枚棋子. 599 +6 +6 +6 +6 （1）填写下表： 5+6(n-1)=6n-1 新课讲授 知识归纳 探索图形类变化规律的方法： 1.先观察图形的变化趋势，观察相邻两个图形的变化量与位置序号有怎样的关系； 2.然后运用从特殊到一般的探索方式，找出变化规律，并用含n的代数式表示出来； 3.最后用代入法求出特殊情况下的数值． 新课讲授 3.下图是用棋子摆成的“H”字，第一个“H”字有7颗棋子． (1)摆成第二个“H”字需要 颗棋子,第三个“H”字需要 颗棋子. (2)按这样的规律摆下去，摆成第10个“H”字需要几颗棋子？第n个呢？ 12 17 解：(2)摆成第10个“H”字需要52颗棋子， 摆成第n个“H”字需要7＋5(n－1)＝(5n＋2)颗棋子． 典例分析 例1:将从1开始的正整数按一定规律排列，如图所示． (1)数40排在第____行，第____列． 解：(1)因为40÷9＝4……4，所以数40排在第5行第4列． 5 4 (2)探究如图中的“＋”字框中的5个数，设这5个数中间的数为a. ①最小的数为 ，最大的数为 ． a－9 a＋9 (2)①设中间的数为a，其他四个数分别为a－9，a－1，a＋1，a＋9，则最小的数为a－9，最大的数为a＋9. 典例分析 ②根据题意可得a－9＋a－1＋a＋a＋1＋a＋9＝240，所以a＝48. ②若这5个数的和是240，求出这5个数中间的数． ③这5个数的和可能是2025吗，若能，求出这5个数中间的数；若不能，请说明理由． ③不能．理由：根据题意可得a－9＋a－1＋a＋a＋1＋a＋9＝2025，则a＝405. 因为405÷9＝45，所以405是第9列的最后一个数，所以这5个数的和不可能是2025. 例2：下图中图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③，按这个方法继续下去，请你根据每个图中三角形的个数的规律， 猜想第n个图中三角形的个数是(　　) A．n＋1 B．2n＋1 C．2n＋3 D．4n－3 典例分析 D 解析：图①中三角形的个数为1＝4×1－3； 图②中三角形的个数为5＝4×2－3； 图③中三角形的个数为9＝4×3－3；…… 可以发现，第n个图形中三角形的个数就是4与n的乘积减去3. 按照这个规律，第n个图形中共有三角形的个数为4n－3.故选D. 学以致用 2.如图所示，第①个图形中共有1个小平行四边形，第②个图形中共有5个小平行四边形，第③个图形中共有11个小平行四边形……则第⑩个图形中小平行四边形的个数是(　　) A．54 B．110 C．19 D．109 C D 学以致用 4.观察图中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为________(n是正整数)． 3.已知：(1)9×1＋0＝9； (2)9×2＋1＝19； (3)9×3＋2＝29； (4)9×4＋3＝39；…. 根据前面的式子构成的规律写出第(n)个式子是____________________(n是正整数)． 9n＋(n－1)＝10n－1 (n＋1)2 学以致用 5.图中的数阵由全体奇数排成． (1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？ (2)移动平行四边形框，框内的九个数之和能等于2024吗？2025呢？若能，请写出这九个数中最小的一个；若不能，请说出理由． 解：(1)平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍． (2)不能等于2020，能等于2025.不妨设框中间的数为n，这九个数按大小顺序依次为(n－18)，(n－16)，(n－14)，(n－2)，n，(n＋2)，(n＋14)，(n＋16)，(n＋18)． 显然，其和为9n. 因为2024不能被9整除，所以这九个数之和不能为2024. 若和为2025,则中间数可能为225,在第13行左起第5个,最小的数为225-18＝207. 课堂小结 探索与表达规律1 日历图中的数字规律 数式变化中的规律 图形变化中的规律 设中间的数为a,并用含a的代数式表示各个被框数,计算它们的和，进而解决问题． 首先要认真观察，从给出的有限的几个数和数式入手,观察数与数之间的规律及数式本身存在的规律,把等式横向、纵向分别进行比较,找出其中的不变部分与变化部分,数与其式子的序号之间的关系,然后找出其中的变化规律． 1.先观察图形的变化趋势，观察相邻两个图形的变化量与位置序号有怎样的关系； 2.然后运用从特殊到一般的探索方式，找出变化规律，并用含n的代数式表示出来； 3.最后用代入法求出特殊情况下的数值． 作业布置 习题3.3：1，2题. 感谢聆听 1．已知下列一组数：1，，，，，…，则第n(n是正整数)个数为(　　) A. B. C. D. $$