三重教育2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题

姓名」 准考证号 6如国，M是三棱维PC的底国△AC的重心，若= 秘密★启用前 ,B+z心，R),谢x+y+:的值为 三重教育2022-2023学年10月高二月考试卷 人 数学试题 c D,1 注意事项： 2.如图，平行六面体ABC)-A,B,CD,的联面cD是边长为1的正 1.答程丽，考生务必将自己的蛙名，津考缸号填写在本试隧相成的位置 方彩，且LA,A0=乙4，A-6.44,-2,刚线段4C,的长为 2,全那器案在容题卡上完成，答在木试圆上无效 A.6 长vT6 3.国答选释题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 C.可 h.2v3 黑。加活改动，用榨皮擦干净后，再选徐其他答案杯号。国答非选择想时，将答案用05m 嘴色笔透签字笔写在答题卡上 &已知直线：y=子+2.直线%屋直线，绕点P叫-2，)通时针旋转459划钱的直线， 4,考试结k后，将本试题和容题卡一并父何 申直线的方程是 5 A.y=+3 B.y=31+习 仁1=-红t7 D.3=x+7 第I卷选择题（共60分） 二达择要（本题共4小聪，挥小题3分，共20分，在每小聪输出的选项中，有多理符合跑 目要求，全溶选对的得5分，部分选对的得2分，有选情的得0分，) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分、北40分，在每小题给出的四个选项中.具有一项 丝.已知直线上V3主一￥+3=0，下列结论不正确的是 是符合题目要求的，) 1.直线2-列-6-0在第上的截距为 A直线的阁斜角为三 A2 且.-2 C3 D.-3 B.直线的达向量为(3， 2.正方体A沙-A,C,B,中，￡，P分别为DG,B,的中点，期并 C.直线的方向向量为1，v3 面直线AB与F心所成角的余点值为 A晋 Itvs 取钱的斜率为-v了 1如图.在正四棱柱ACD-AB,GD,中，DC=D4=2.D,=4.点E C.2v3 D.2v3 在亡，G上，且求=1，则下列说法正确的是 15 15 AA,D⊥E 3.”用=“是”直线：（精-4*my+0与直线：思（和+2-2-0互相看直"的 昌，异面线A,D与B,片所成角的正切值为2 A充分不必要济计 ,必要不充分条件 G,充要条件 D,既不充分也不必要条外 C,AC⊥半mD国 4a(1,.3,(-1,+,-22,(,5x,若，6r三向量共面，则实数x 直藏E与平霸，E所成角的E范值为2网 A.2 B.3 Cs 21 D.15 5如果AB>G,C<0,那么直线·+C=0不经过的象限是 11.已知直线过点3.4).点4{-2.21.州4，-2)到的离相幕，侧2的方程可能是 A第一象限 且第二象限 A.x-2y+2=0 R2r*y-2-0 G.第三象限 D.第四象限 C.24+3-8-=0 10.2-3+6-0 高二数学试通第1项（其+到） 高二数学试题第2项（其4真 2知图，已担正方体AGD-ABG,D,中，F为线段BC的中点，5为线段A,G上的动点， 1从，(12分)正方形AGD的边长为1，DL平而A,且P-, 用下列国个结论正确的是 E.F分别为AB.C的中点， A存在点B,使F∥D (1)求点D到平面EF的离： 程.三陵修鼠一ACE的体积随动点的度化面变化 (2求直线AC到平而P华F的距离， C,存在点E.使直线EF与A0,所成的角为6 D作在点E,使EF⊥平面ARCD 第Ⅱ卷非选择题（共90分）】 2亚.(12分)在平面直角坐标系x仍中，△A的顶点A的童标为(-4.2)，A8边上的中线 三、填空置（本大题其4小题，每小题5分，长20分，把答案填可在答题卡中的局线上，） CW所在的直线方程为y+1-0,LR的角平分提所在的直线方程为2年中2-0 以过点0.-1，朝务角为子的直线的斜程式方型为 (1求点罪的坐杯 (2求直线G的方程 4已知直线34+3-0与6+r+3m-0互相平行，期它1之同的距离是 5.已知点4-5-1,0)，-2，-2,2》，若在直线4B上存在一东E.使得派0为第 点，明点E的坐标为 16若函数x)=v-2年+2+v-8+25,谢它的最小值为】 2L,(12分)已知直线：(2+wx+1-3+m+1-m=0,月/与轴面华结交于友A,与，轴正 四，解答露（共0分.解答应写出文字说明，明过程成演算骤.） 半轴交于点县，)为坐标原点， 17,《1h分已每△AC的三个顶点生标分别为A-2,-4),队2,4).65，-11 (1求证：无论m为例实数，直找国过一定点妈 (1)若直线过点香且与线段C相交，求直线/斜料的象值范圆： (2)求△04B宜积的量小值 (2)求边4B上的高所在直线的一般式方程 22.(12分)已期直三棱AC4:G,中.侧值A4,&为正为形，4-C=2,E,P分划为 AC和C,的中点，D为棱AB上的点，BF⊥AB (1E训：F⊥DE: 器12分)如图，在四棱维P-ACB中，长面ACD为正方形，且 (2)当B,D为何值时，平而B,C,C与平而DFE夹角的正弦值最小？ 控PL靠面AD,A-2在5，P,分是P,Pp,B的 中点，心为DF的中点 《1)正明：平面BBF: 《2)求P℃与平而5F所成角的止弦值 高二数学试通第3项（其+到） 高二数学试题第4项（其4真）1. B 【详解】当 x=0时，y=-2，所以纵截距是-2. 故选B． 2. D 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， A1 D1 C1 B1 E D C F B A x y z 因为E，F分别为D1C1，BB1的中点，易知A（2，0，0），E（0，1，2），C（0，2，0），F（2，2，1）， 所以   AE=（-2，1，2）， CF=（2，0，1），所以 cos〈 AE， CF〉=   AE· CF ||  AE · ||  CF =- 2 5 15 . 因为异面直线AE与FC所成角为锐角， 所以异面直线AE与FC所成角的余弦值为 2 5 15 . 故选D. 3. A 【详解】∵直线 l1：（m-4）x+my+1=0与直线 l2：mx+（m+2）y-2=0互相垂直， ∴（m-4）m+m（m+2）=0，∴2m2-2m=0，∴m=0或m=1， ∴“m=1”是“直线 l1：（m-4）x+my+1=0与直线 l2：mx+（m+2）y-2=0互相垂直”的充分不必要条件 . 故选A． 4. C 【详解】∵a=（1，-1，3），b=（-1，4，-2），∴a与 b不共线， 又∵a，b，c三向量共面，所以存在实数m，n，使 c=ma+nb，即{m - n = 1，-m + 4n = 5，3m - 2n = x， 解得n=2，m=3，x=5． 故选C． 5. C 【详解】由题设，直线方程可写成 y=-A B x- C B ，又AB>0，BC<0， ∴-A B <0，-C B >0，故该直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限 . 故选C. 6. A 【详解】 PM= PA+ AM=- AP+23( )12  AB + 12  AC =- AP+13 AB+13 AC， ∴x=-1，y=z=13. ∴x+y+z=- 1 3. 故选A. 7. B 【详解】 ||  AC1 2=（ AB+ BC+ CC1）2=（ AB+ AD+ AA1）2 = AB2+ AD2+ AA12+2 AB· AD+2 AB· AA1+2 AD· AA1 =1+1+4+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°=10，所以AC1= 10 . 故选B. 8. D 【详解】设直线 l1的倾斜角为 θ，则 tanθ=12， 秘密★启用前 三重教育2022-2023学年10月高二月考试卷 数学参考答案及评分标准 高二数学试题答案 第1页（共6页） 又直线 l2是直线 l1绕点P（-2，1）逆时针旋转45°得到的直线，所以直线 l2的倾斜角为 θ+45°， 故直线 l2的斜率为 tan（θ+45°）= tanθ + tan 45°1 - tanθ × tan 45°= 1 2 + 1 1 - 12 × 1 =3， 故直线 l2的方程是 y-1=3（x+2），即 y=3x+7. 故选D． 9. ABD 【详解】由题意可得直线 l的斜率 k= 3，故直线 l的倾斜角为 π3，故A，D不正确，C正确； 与 l垂直的直线斜率为- 33 ，所以与 l垂直的直线的一个方向向量为( )1，- 33 ， 又（ 3，1）与( )1，- 33 不平行，故B不正确． 故选ABD． 10. ACD 【详解】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为 x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， A1 D1 B1 C1 B DA C E x y z 则A1（2，0，4），B1（2，2，4），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（0，2，1）， 对于A，∵ A1D=（-2，0，-4）， BE=（-2，0，1）， ∴ A1D· BE=0，∴ A1D⊥ BE，A正确； 对于B，∵ A1D=（-2，0，-4）， BB1=（0，0，4），设异面直线A1D与B1B所成角为 θ， ∴cosθ= ||   A1D· BB1 ||  A1D · ||  BB1 = 162 5 × 4= 2 5 5 ，∴tanθ= 1 2，B错误； 对于C，∵ A1C=（-2，2，-4）， DE=（0，2，1）， DB=（2，2，0），∴{   A1C· DE = 0，   A1C· DB = 0， ∴{A1C ⊥ DE，A1C ⊥ DB，又DE∩DB=D，DE，DB⊂平面DBE，∴A1C⊥平面DBE，C正确； 对于D，∵ A1D=（-2，0，-4）， DE=（0，2，1），设平面A1DE的法向量为n=（x，y，z）， ∴{   A1D·n = -2x - 4z = 0，   DE·n = 2y + z = 0， 令 y=1，则 z=-2，x=4，∴n=（4，1，-2）， 又   BE=（-2，0，1），∴ || cos  BE，n = ||   BE·n ||  BE · || n = 10 5 × 21 = 2 105 21 ， 即直线BE与平面A1DE所成角的正弦值为 2 105 21 ，D正确 . 故选ACD. 11. BC 【详解】当直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 x=3，此时点A到直线 l的距离为 5，点B到直线 l的距离为 1，不符合题意； 高二数学试题答案 第2页（共6页） 当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y-4=k（x-3），即 kx-y+4-3k=0， ∵点A（-2，2），B（4，-2）到直线 l的距离相等， ∴ || -2k - 2 + 4 - 3k k2 + 1 = || 4k + 2 + 4 - 3k k2 + 1 ，解得 k=- 2 3，或 k=2. 当 k=-23 时，直线 l的方程为 y-4=- 2 3（x-3），整理得2x+3y-18=0， 当 k=2时，直线 l的方程为 y-4=2（x-3），整理得2x-y-2=0. 综上，直线 l的方程可能为2x+3y-18=0或2x-y-2=0. 故选BC． 12. CD 【详解】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为 x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱 长为 2，则 F（1，2，1），D（0，0，0），B（2，2，0），A（2，0，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2），因为 E在线段 A1C1上运动， 设 E（m，2-m，2）（0≤m≤2），则  EF=（1-m，m，-1）， BD=（-2，-2，0），若EF∥BD，则  EF=t BD（t≠0）， 则-1=t×0，显然无解，故A错误； 因为 A1C1∥AC，AC⊂平面 ACB1，A1C1⊄平面 ACB1，所以 A1C1∥平面 ACB1，因为 E在线段 A1C1上运动，故 E到平面 ACB1的距离不变，所以VE - ACB1 为定值，不随动点E的变化而变化，而VB1 - ACE=VE - ACB1，故三棱锥B1-ACE的体积不 随动点E的变化而变化，故B错误；   AD1=（-2，0，2），设直线EF与AD1所成角为 θ， 则 cosθ= || cos  AD1， EF = | | | | | | | | （-2，0，2）·（1 - m，m，- 1） 8 · 2m2 - 2m + 2 = ||m - 2 2 m2 - m + 1， 令 cosθ=12，解得m=1，故当E为A1C1中点时，直线EF与AD1所成的角为60°，故C正确； 设平面AB1C1D的法向量为n=（x，y，z），则{n·   DA = 2x = 0， n· AB1 = 2y + 2z = 0，令 y=1，得 x=0，z=-1，故n=（0，1，-1）， 因为当m=1，即E为A1C1中点时，（1-m，m，-1）=（0，1，-1），即  EF=n，故EF⊥平面AB1C1D，故D正确 . A B F D E B1 C1D1 A1 C z y x 故选CD. 13. y=- 3x-1 【详解】由题可得纵截距为-1，斜率 k=- 3，所以斜截式方程为 y=- 3x-1. 14. 3 【详解】由两直线平行，得 36= -4 m ≠ 33m，得m=-8，两直线即为6x-8y+6=0，6x-8y-24=0，其距离d= || -24 - 6 62 + ( )-8 2 =3. 15. ( )- 83，- 43，23 【详解】由题可得  AB=（1，-1，2），设 E（x，y，z），由  AE=λ AB，λ∈R，得（x+3，y+1，z）=λ（1，-1，2）= （λ，-λ，2λ），可得E（λ-3，-λ-1，2λ），又 OE⊥ AB，得（λ-3）+（-1）（-λ-1）+2×2λ=0，解得λ=13 . 故E( )- 83，- 43，23 . 16. 5 【详解】f（x）= x2 - 2x + 2+ x2 - 8x + 25 = ( )x - 1 2 + ( )0 - 1 2+ （x - 4）2 + (0 - 3)2 . 令P（x，0），A（1，1），B（4，3），显然 f（x）表示的是点P到点A与到点B的距离之和，因为点A（1，1）关于 x轴的对称 点A′的坐标为（1，-1），所以 f（x）的最小值为 || A′B = （1 - 4）2 +（-1 - 3）2=5. 17.解：（1）因为 kAB=-4 - 4-2 - 2=2，……………………………………………………………………………………（1分） kAC=-4 - ( )-1-2 - 5 = 3 7，………………………………………………………………………………………………（2分） 所以 l斜率的取值范围是 é ë ê ù û ú 3 7，2 .………………………………………………………………………………（4分） 高二数学试题答案 第3页（共6页） （2）由（1）得 kAB=2， 故边AB上的高所在直线的斜率为 -12，………………………………………………………………………（6分） 由点斜式得 y+1=-12（x-5），……………………………………………………………………………………（8分） ∴边AB上的高所在直线的一般式方程为 x+2y-3=0. ………………………………………………………（10分） 18.（1）证明：如图1，取AE中点M，连接MG，MH， A H B C D G FE P M 图1 ∵E，F分别是PA，PD的中点，∴EF∥AD， 又G，M分别是DF，AE的中点，∴MG∥EF∥AD， ∵MG⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴MG∥平面BEF. …………………………………………………………（2分） 同理，M，H分别是AE，AB的中点，∴MH∥EB， ∵MH⊄平面BEF，EB⊂平面BEF，∴MH∥平面BEF. 又∵MG⋂MH=M，MG⊂平面MHG，MH⊂平面MHG， ∴平面MHG∥平面BEF. ………………………………………………………………………………………（4分） ∵GH⊂平面MHG，∴GH∥平面BEF. …………………………………………………………………………（5分） （2）解：如图2，以A为坐标原点， AB， AD， AP的方向分别为 x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz， A H B C D G FE P y x z 图2 设AB=2，则B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，4），E（0，0，2），F（0，1，2）， ………………………………………（7分） 可得   BE=（-2，0，2）， BF=（-2，1，2）， PC=（2，2，-4）， 设平面BEF的法向量为m=（x，y，z）， 可得{m·   BE = 0， m· BF = 0，即{-2x + 2z = 0，-2x + y + 2z = 0， ……………………………………………………………………（9分） 令 x=1，得m=（1，0，1）， ………………………………………………………………………………………（10分） 故 cos m， PC = m·   PC ||m · ||  PC = -2 2 × 2 6 =- 3 6 ，………………………………………………………………（11分） 即PC与平面BEF所成角的正弦值为 3 6 ．…………………………………………………………………（12分） 高二数学试题答案 第4页（共6页） 19. 解：（1）以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为 x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则P（0， 0，1），A（1，0，0），D（0，0，0），E( )1，12，0 ，F( )12，1，0 ， P C D E A B F y x z 所以   EF=( )- 12，12，0 ， PE=( )1，12，- 1 ， DE=( )1，12，0 ， ………………………………………………………（2分） 设平面PEF的法向量为n=（x，y，z），则{n·   EF = 0， n· PE = 0，即 ì í î ïï ïï - 12 x + 1 2 y = 0， x + 12 y - z = 0. 令 x=2，则 y=2，z=3，所以n=（2，2，3），…………………………………………………………………………（4分） 所以点D到平面PEF的距离为 ||  DE·n || n = || 2 + 14 + 4 + 9 = 3 17 17 . ………………………………………………（6分） （2）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC． …………………………………………………………（8分） 又因为AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF，所以AC∥平面PEF. …………………………………………………（10分） 因为   AE=( )0，12，0 ，所以点A到平面PEF的距离为 ||   AE·n || n = 117 = 17 17 . 所以直线AC到平面PEF的距离为 1717 . ……………………………………………………………………（12分） 20. 解：（1）设点B的坐标为（a，b），则AB中点M的坐标为( )a - 42 ，b + 22 . ………………………………………（1分） 依题意可知，点B在直线2x+y-2=0上，点M在直线 x-y+1=0上， 则有{2a + b - 2 = 0，a - 42 - b + 22 + 1 = 0，解得{a = 2，b = -2，…………………………………………………………………（3分） 故点B的坐标为（2，-2）. ………………………………………………………………………………………（4分） （2）设点A关于直线2x+y-2=0的对称点为A′， 则A′在直线BC上 . 设点A′的坐标为（x，y），则AA′的中点坐标为( )x - 42 ，y + 22 . 则有 ì í î ïï ïï y - 2 x + 4 ×（-2）= -1， 2· x - 42 + y + 2 2 - 2 = 0， 解得 ì í î ïï ïï x = 125 ， y = 265 ， ……………………………………………………………（7分） 故点A′的坐标为( )125 ，265 . ……………………………………………………………………………………（9分） 故直线A′B的斜率为 k= 26 5 -（-2） 12 5 - 2 =18. ………………………………………………………………………（10分） 所以直线A′B的方程为 y+2=18（x-2），………………………………………………………………………（11分） 高二数学试题答案 第5页（共6页） 化简得18x-y-38=0， 即直线BC的方程为18x-y-38=0. ……………………………………………………………………………（12分） 21.（1）证明：将直线 l的方程化为m（x+y-7）+2x-3y+1=0，………………………………………………………（1分） 解方程组{x + y - 7 = 0，2x - 3y + 1 = 0，……………………………………………………………………………………（3分） 解得{x = 4，y = 3，故直线 l恒过定点M（4，3）.………………………………………………………………………（4分） （2）解：由题意可知直线 l斜率存在，设其为 k，且 k<0，则直线 l的方程为 y-3=k（x-4）. ……………………（5分） 故A( )4 - 3k，0 ，B（0，-4k+3），…………………………………………………………………………………（6分） 则△OAB的面积S=12·OA·OB= 1 2( )4 - 3k（-4k+3）=12( )24 - 9k - 16k .…………………………………………（8分） 由 k<0，则-9 k -16k≥2 ( )- 9k ·（-16k）=24，……………………………………………………………………（10分） 当且仅当-9 k =-16k，即 k=-34 时，等号成立 . 故△OAB面积的最小值为 12×（24+24）=24. …………………………………………………………………（12分） 22. 解：因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB. ……………………………………（1分） ∵A1B1∥AB，BF⊥A1B1，∴BF⊥AB，又BB1∩BF=B，∴AB⊥平面BCC1B1． 所以BA，BC，BB1两两垂直． …………………………………………………………………………………（2分） 以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图． A1 D C1 B1 F E A C B z x y ∴B（0，0，0），A（2，0，0），E（1，1，0），F（0，2，1）. 由题设D（a，0，2）（0≤a≤2）. ……………………………………………………………………………………（4分） （1）证明：因为  BF=（0，2，1）， DE=（1-a，1，-2），所以  BF· DE=0×（1-a）+2×1+1×（-2）=0，所以BF⊥DE. ……（5分） （2）解：设平面DFE的法向量为m=（x，y，z）， 因为   EF=（-1，1，1）， DE=（1-a，1，-2），所以{m·   EF = 0， m· DE = 0，即{-x + y + z = 0，(1 - a ) x + y - 2z = 0. 令 z=2-a，则m=（3，1+a，2-a）. …………………………………………………………………………………（6分） 因为平面BB1C1C的一个法向量为   BA=（2，0，0）， ……………………………………………………………（7分） 设平面BB1C1C与平面DEF的夹角为 θ， 则 || cosθ = ||m·   BA ||m · ||  BA = 6 2 × 2a2 - 2a + 14 = 3 2a2 - 2a + 14． ………………………………………………（9分） 当a=12 时，2a2-2a+14取最小值为 27 2 ，………………………………………………………………………（10分） 此时 cosθ取最大值为 327 2 = 63 ． …………………………………………………………………………（11分） 所以（sinθ）min= 1 - ( )63 2 = 33 ，此时B1D= 1 2． ……………………………………………………………（12分） 高二数学试题答案 第6页（共6页）