2025年中考数学一轮复习——因式分解

2025年中考数学一轮复习——因式分解 一．选择题（共10小题） 1．（2024•宁波模拟）分解因式a2﹣4，正确的是（　　） A．（a+1）（a﹣4） B．（a﹣2）2 C．（a﹣2）（a+2） D．（2a﹣1）（2a+1） 2．已知正整数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，且a+b+c+d＝d2﹣c2+b2﹣a2，关于这个四元方程下列说法正确的个数是 （　　） ①a＝1，b＝2，c＝3，d＝4是该四元方程的一组解； ②连续的四个正整数一定是该四元方程的解； ③若d≤6，则该四元方程有5组解． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024•内江校级开学）如果a、b、c是三角形的三边长，那么代数式a2﹣2ab﹣c2+b2的值是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 4．（2024春•南山区校级期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为16＝52﹣32，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 5．（2024春•福田区校级期中）下列因式分解正确的是（　　） A．2x2﹣2＝2（x2﹣1） B． C．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1 D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2 6．（2024春•福田区校级期中）已知xy＝﹣3，x﹣y＝2，则代数式xy2﹣x2y的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1 7．（2024春•永寿县月考）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将x2﹣9因式分解的结果为（x﹣3）（x+3），取个人年龄作为x的值，当x＝13时，x﹣3＝10，x+3＝16，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将x3﹣x因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码，他设置的密码可能是（　　） A．151416 B．151515 C．141514 D．131415 8．（2023秋•宜宾期末）已知，直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，满足（a2﹣4b2）（a+2b）＝0且a2+b2＝5，则此直角三角形的面积为（　　） A．1 B． C．2 D． 9．（2024春•项城市校级月考）如果一个数a＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（　　） A．56 B．82 C．94 D．126 10．（2024春•碑林区校级期中）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 二．填空题（共5小题） 11．（2024秋•杨浦区校级月考）在实数范围内分解因式：﹣2x2+3xy+y2＝　 　． 12．（2024秋•呼兰区校级月考）把多项式2x2﹣50分解因式的结果是 　 　． 13．（2024秋•虹口区校级月考）若x3•y3＝﹣2，则（xy）3﹣（x2y2）3﹣（﹣x4y4）3＝　 　． 14．（2024春•开州区期中）若一个四位自然数A千位上的数字的2倍等于百位、十位、个位上的数字之和，则称A为“和数”，那么最小的“和数”为 　 　，已知一个四位自然数B＝1000a+100b+10c+3d（其中a，b，c，d均为整数，1≤a，b≤9且1≤c≤8，4≤d≤6）是“和数”，且能被6整除，将B的千位数字的4倍与百位数字的2倍的差记为Q（B），个位数字的2倍与十位数字的和记为P（B），则满足条件的的最小值为 　 　． 15．（2024•城厢区校级一模）若b+a＝3，则9﹣6a+a2﹣b2的值为 　 　． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•二道区校级月考）【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍． 【验证】求192﹣172的结果是8的几倍？ 【证明】证明两个连续奇数2n+1与2n﹣1（n为整数）的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍； 【延伸】两个连续偶数2m+2与2m（m为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出k的最小值． 17．（2024春•莘县期末）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题.【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：　 　；由图3可得等式：　 　； （2）利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　 　； （3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形（无空隙、无重叠地拼接），则x+y+z＝　 　； （4）如图4，若有4张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为ab的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 　 　． 18．（2024春•白塔区校级期中）阅读理解并解答： 我们把多项式a2+2ab+b2，a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． （1）例如：①＝（x+1）2+2， ∵（x+1）2是非负数，即（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2， 则这个代数x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是﹣1； ②3x2﹣12x+5＝3（x2﹣4x）+5＝3（x2﹣4x+4﹣4）+5＝3（x﹣2）2﹣12+5＝3（x﹣2）2﹣7， ∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0，∴3（x﹣2）2﹣7≥﹣7， 则这个代数式3x2﹣12x+5的最小值是 　 　，这时相应的x的值是 　 　； （2）知识再现：当x＝　 　时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 　 　； （3）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　 　时，y有最 　 　值（填“大”或“小”），这个值是 　 　； （4）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值． 19．（2024春•巨野县期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 20．（2024春•昌黎县期末）对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2＝x2+2ax+a2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． （1）请用上述方法把x2+4x+3分解因式； （2）多项式x2+10x+28有最小值吗？如果有，求出最小值是多少？此时x的值是多少？ 2025年中考数学一轮复习——因式分解 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024•宁波模拟）分解因式a2﹣4，正确的是（　　） A．（a+1）（a﹣4） B．（a﹣2）2 C．（a﹣2）（a+2） D．（2a﹣1）（2a+1） 【考点】因式分解﹣运用公式法．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】C 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：a2﹣4＝a2﹣22＝（a﹣2）（a+2）． 故选：C． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键． 2．已知正整数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，且a+b+c+d＝d2﹣c2+b2﹣a2，关于这个四元方程下列说法正确的个数是 （　　） ①a＝1，b＝2，c＝3，d＝4是该四元方程的一组解； ②连续的四个正整数一定是该四元方程的解； ③若d≤6，则该四元方程有5组解． A．0 B．1 C．2 D．3 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】新定义；整式；推理能力． 【答案】C 【分析】（1）将a＝1，b＝2，c＝3，d＝4代入检验即可； （2）设 a＝n，则 b＝n+1，c＝n+2，d＝n+3，代入方程检验即可判断； （3）根据正整数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，且 a+b+c+d＝d2﹣c2+b2﹣a2 中连续的四个正整数一定是该四元方程的解即 可写出四元方程的解，进而可判断． 【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝3，d＝4， ∴a+b+c+d＝1+2+3+4＝10，d2﹣c2+b2﹣a2＝42﹣32+22﹣12＝16﹣9+4﹣1＝10， ∴a+b+c+d＝d2﹣c2+b2﹣a2， ∴a＝1，b＝2，c＝3，d＝4是该四元方程的一组解；故①正确； 设a＝n，则b＝n+1，c＝n+2，d＝n+3， ∴a+b+c+d＝4n+6，d2﹣c2+b2﹣a2＝4n+6． ∴a+b+c+d＝d2﹣c2+b2﹣a2， ∴连续的四个正整数一定是该四元方程的解；故②正确； 正整数a，b，c，d满足a＜b＜c＜d，且 a+b+c+d＝d2﹣c2+b2﹣a2 中连续的四个正整数一定是该四元方程的解； ∴b＝a+1，d＝c+1， ∴a＝1，b＝2，解为1，2，3，4；1，2，4，5；1，2，5，6； a＝2，b＝3，解为2，3，4，5；2，3，5，6； a＝3，b＝4，解为3，4，5，6；共6组，则③错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查方程的解，解题关键是理解方程的解的定义． 3．（2024•内江校级开学）如果a、b、c是三角形的三边长，那么代数式a2﹣2ab﹣c2+b2的值是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【考点】因式分解的应用；三角形三边关系．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】B 【分析】把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断． 【解答】解：a2﹣2ab﹣c2+b2 ＝a2﹣2ab+b2﹣c2 ＝（a﹣b）2﹣c2 ＝（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]， ∵a、b、c是三角形的三边长， ∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0， ∴a2﹣2ab﹣c2+b2＜0，即a2﹣2ab﹣c2+b2的值是负数， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形三边关系，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解． 4．（2024春•南山区校级期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为16＝52﹣32，所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】B 【分析】设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，即可得答案． 【解答】解：设k是正整数， ∵（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1， ∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，A，C选项都是智慧数，不符合题意； ∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k， ∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以D选项是智慧数，不符合题意， B选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了平方差公式分解因式的应用，牢记a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键． 5．（2024春•福田区校级期中）下列因式分解正确的是（　　） A．2x2﹣2＝2（x2﹣1） B． C．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1 D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2 【考点】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用．版权所有 【专题】计算题；运算能力． 【答案】D 【分析】利用因式分解判断并选择． 【解答】解：2x2﹣2＝2（x2﹣1），因式分解不彻底，A选项不符合题意； x2﹣xy＝x（x﹣y），B选项因式分解错误，B选项不符合题意； x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1错误，没有全部做到因式分解，C选项不符合题意； ﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2，D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． 6．（2024春•福田区校级期中）已知xy＝﹣3，x﹣y＝2，则代数式xy2﹣x2y的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】计算题；整式；运算能力． 【答案】B 【分析】利用因式分解把代数式变形，再代入数值计算即可． 【解答】解：∵xy＝﹣3，x﹣y＝2， ∴xy2﹣x2y ＝xy（y﹣x） ＝﹣3×（﹣2） ＝6． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法和整体代入求值． 7．（2024春•永寿县月考）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将x2﹣9因式分解的结果为（x﹣3）（x+3），取个人年龄作为x的值，当x＝13时，x﹣3＝10，x+3＝16，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将x3﹣x因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码，他设置的密码可能是（　　） A．151416 B．151515 C．141514 D．131415 【考点】因式分解的应用；概率的意义；因式分解的意义．版权所有 【专题】因式分解；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】对多项式先进行因式分解，再代值求出每个因式的值，然后对因式的值排列组合即可得出答案． 【解答】解：x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1）， 当x＝15时，x+1＝16，x﹣1＝14， 故密码为151614或151416， 故选：A． 【点评】本题考查因式分解的应用，因式分解的意义，概率的意义，正确因式分解是解答的关键． 8．（2023秋•宜宾期末）已知，直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，满足（a2﹣4b2）（a+2b）＝0且a2+b2＝5，则此直角三角形的面积为（　　） A．1 B． C．2 D． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】A 【分析】利用已知条件变形得到a＝2b，5b2＝5，得到b＝1，a＝2b＝2，即可得到直角三角形的面积． 【解答】解：∵（a2﹣4b2）（a+2b）＝（a﹣2b）（a+2b）（a+2b）＝（a﹣2b）（a+2b）2，（a2﹣4b2）（a+2b）＝0， ∴（a﹣2b）（a+2b）2＝0， ∴a、b为直角三角形的两直角边， ∴（a+2b）2＞0， ∴a﹣2b＝0， 即a＝2b， ∵a2+b2＝（2b）2+b2＝5b2，a2+b2＝5， ∴5b2＝5， 解得b＝1（负值舍去）， ∴a＝2b＝2， ∴此直角三角形的面积为， 故选：A． 【点评】此题考查了平方差公式的应用、直角三角形的面积等知识，熟练掌握平方差公式是关键． 9．（2024春•项城市校级月考）如果一个数a＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，那么我们称这个数a为“奇差数”．下列数中为“奇差数”的是（　　） A．56 B．82 C．94 D．126 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】A 【分析】首先化简a＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，再看四个选项中，能够整除8的即为答案． 【解答】解：∵a＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n， ∴“奇差数”是8的倍数， A，56÷8＝7，能够被8整除，因此56是“奇差数”； B，82÷8＝10…2，不能够被8整除，因此82不是“奇差数”； C，94÷8＝11…6，不能够被8整除，因此94不是“奇差数”； D，126÷8＝15…6，不能够被8整除，因此126不是“奇差数”； 故选：A． 【点评】本题考查了平方差公式的应用，理解“奇差数”的定义，正确化简是解题关键． 10．（2024春•碑林区校级期中）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，则△ABC是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】计算题；运算能力． 【答案】A 【分析】先将原式变形为（a﹣b）（a﹣b+c）＝0，根据a，b，c分别是△ABC的三边长，a+c﹣b＞0，因此a﹣b＝0，即a＝b，即可得出结果． 【解答】解：∵ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2， ∴a2﹣2ab+b2＝c（b﹣a）， ∴（a﹣b）2＝﹣c（a﹣b）， ∴（a﹣b）2+c（a﹣b）＝0， ∴（a﹣b）（a﹣b+c）＝0， ∵a，b，c分别是△ABC的三边长，a+c﹣b＞0， ∴a﹣b＝0，即a＝b， ∴△ABC是等腰三角形， 故选：A． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．（2024秋•杨浦区校级月考）在实数范围内分解因式：﹣2x2+3xy+y2＝　　． 【考点】实数范围内分解因式；因式分解﹣十字相乘法等．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】． 【分析】令﹣2x2+3xy+y2＝0，将y看作常数，利用公式法解得x的值，继而求得答案． 【解答】解：令﹣2x2+3xy+y2＝0，将y看作常数， 则a＝﹣2，b＝3y，c＝y2， 那么Δ＝（3y）2﹣4×（﹣2）×y2＝17y2≥0， 则， ∴． 【点评】本题主要考查了多项式的因式分解，一元二次方程的解法，令﹣2x2+3xy+y2＝0，将y看作常数解得x的值，是解题的关键． 12．（2024秋•呼兰区校级月考）把多项式2x2﹣50分解因式的结果是 　2（x﹣5）（x+5）　． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．版权所有 【专题】计算题；整式；运算能力． 【答案】2（x﹣5）（x+5）． 【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解． 【解答】解：2x2﹣50 ＝2（x2﹣25） ＝2（x﹣5）（x+5）， 故答案为：2（x﹣5）（x+5）． 【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法和平方差公式法进行因式分解． 13．（2024秋•虹口区校级月考）若x3•y3＝﹣2，则（xy）3﹣（x2y2）3﹣（﹣x4y4）3＝　10　． 【考点】因式分解的应用；整式的混合运算—化简求值．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】10． 【分析】对所求式子进行整理，再利用整体代入法即可求出答案． 【解答】解：∵x3•y3＝﹣2， ∴（xy）3﹣（x2y2）3﹣（﹣x4y4）3 ＝x3y3﹣（x3y3）2+（x3y3）4 ＝﹣2﹣（﹣2）2+（﹣2）4 ＝﹣2﹣4+16 ＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查整式的运算，掌握整体代入法是解题的关键． 14．（2024春•开州区期中）若一个四位自然数A千位上的数字的2倍等于百位、十位、个位上的数字之和，则称A为“和数”，那么最小的“和数”为 　1002　，已知一个四位自然数B＝1000a+100b+10c+3d（其中a，b，c，d均为整数，1≤a，b≤9且1≤c≤8，4≤d≤6）是“和数”，且能被6整除，将B的千位数字的4倍与百位数字的2倍的差记为Q（B），个位数字的2倍与十位数字的和记为P（B），则满足条件的的最小值为 　　． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】整式；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“和数”的定义，得到最小“和数”百位、十位、个位上的数字之和最小且为2的正整数倍，故可得百位、十位、个位上的数字之和为2，则该自然数千位上的数字为 1，即可解答； 根据题意可得自然数B的千位数字为a，百位数字是b，十位数字是（c+l），个位数字是（3d﹣10），则Q（B）为（4a﹣2b），P（B）＝（c+6d﹣19），再利用能被 6 整除的数的特征，即可解答． 【解答】解：根据“和数”的定义，得到最小“和数”百位、十位、个位上的数字之和最小且为2的正整数倍， ∴百位、十位、个位上的数字之和为2， ∴该自然数千位上的数字为1， ∴最小的“和数”为1002， 根据题意可得自然数B的千位数字为a，百位数字是b，十位数字是（c+l），个位数字是（3d﹣10）， ∴Q（B）为（4a﹣2b），P（B）为（6d+c﹣19）， ∴， 根据“利数”定义得2a＝b+c+1+3d﹣10， ∵该“利数”能被6整除， ∴该“和数”为偶数且各位上的数字之和为3的倍数， ∵4≤d≤6，（3d﹣10）为偶数， ∴d＝4或6， ①当d＝4时，2a＝b+c+3， ∴＝， 令t＝c+5，则6s≤t≤13，原式＝＝2﹣， 当t＝6时，原式取到最小值为， ②当d＝6时，2a＝b+c+9， ∴＝＝， 令t＝c+17，则18s≤t≤25，原式＝＝2﹣， 当t＝18时，原式取到最小值为， 综上所述，的最小值为， 故答案为：1002；． 【点评】本题考查因式分解的应用以及数的整除性，关键是理解题意灵活应用所学知识． 15．（2024•城厢区校级一模）若b+a＝3，则9﹣6a+a2﹣b2的值为 　0　． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】方程与不等式；运算能力． 【答案】0． 【分析】求代数式的值，先整理9﹣6a+a2﹣b2得出（a﹣3）2﹣b2，再把b+a＝3代入计算，即可作答． 【解答】解：9﹣6a+a2﹣b2 ＝a2﹣6a+9﹣b2 ＝（a﹣3）2﹣b2， ∵b+a＝3， ∴a﹣3＝﹣b， 把a﹣3＝﹣b代入（a﹣3）2﹣b2， 得（﹣b）2﹣b2＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查了完全平方公式以及已知式子的值，熟练掌握完全平方公式是关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•二道区校级月考）【发现】两个连续奇数的平方差是8的整数倍． 【验证】求192﹣172的结果是8的几倍？ 【证明】证明两个连续奇数2n+1与2n﹣1（n为整数）的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍； 【延伸】两个连续偶数2m+2与2m（m为整数）的平方差还是8的整数倍吗？请说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果是8的整数倍，直接写出k的最小值． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】整式；推理能力． 【答案】【验证】192﹣172的结果是8的9倍； 【证明】证明见解析过程； 【延伸】两个连续偶数的平方差不是8的整数倍数， 若使得最后的结果是8的整数倍，加上正整数k的最小值为4． 【分析】【验证】：通过计算192﹣172＝72即可得出答案； 【证明】：应用因式分解的方法计算（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，据此可得出结论； 【延伸】：首先设两个连续的偶数分别为：2m+2，2m，再计算（2m+2）2﹣（2m）2＝4（2m+1），据此可得出答案． 【解答】解：【验证】∵192﹣172 ＝（19+17）×（19﹣17） ＝36×2 ＝72， ∴192﹣172是8的9倍； 【证明】（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1） ＝8n， ∴两个连续奇数2n+1，2n﹣1的平方差是8的整数倍； （2n+1）+（2n﹣1）＝2n+1+2n﹣1＝4n， ∵8n÷4n＝2， ∴两个连续奇数2n+1，2n﹣1的平方差等于这两个数的和的2倍； 【延伸】两个连续偶数的平方差不是8的整数倍． 理由如下： 设两个连续的偶数分别为：2m+2，2m， ∵（2m+2）2﹣（2m）2 ＝（2m+2+2m）（2m+2﹣2m） ＝4（2m+1）， ∴两个连续偶数的平方差不是8的整数倍数， ∵平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果是8的整数倍， 即：4（2m+1）+k＝8m+4+k， ∴若使得最后的结果是8的整数倍，加上正整数k的最小值为4． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用，关键是在有理数的运算和整式的运算中熟练应用完全平方公式和平方差公式． 17．（2024春•莘县期末）【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了完全平方和公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题.【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： （1）由图2可得等式：　（a+b）（2a+b）＝2a2+b2+3ab　；由图3可得等式：　a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝（a+b+c）2　； （2）利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　155　； （3）如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形（无空隙、无重叠地拼接），则x+y+z＝　9　； （4）如图4，若有4张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为ab的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 　（a+2b）　． 【考点】因式分解的应用；数学常识；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用图形面积相等公式； （2）把已知代入（1）中的公式； （3）利用面积公式展开可以得到面积关系（2a+b）（a+2b）＝2a2+2b2+5ab； （4）利用面积公式，根据整体与部分的关系可得：4a2+5b2+4ab＝a2+4ab+4b2+b2+3a2＝（a+2b）2+b2+3a2． 【解答】解：（1）利用长方形面积公式（a+b）（2a+b）＝2a2+b2+3ab， 利用正方形面积公式a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝（a+b+c）2； 故答案为：（a+b）（2a+b）＝2a2+b2+3ab；a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝（a+b+c）2； （2）由（1）得：若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝225﹣2×35＝155； 故答案为：155； （3）长方形面积为（2a+b）（a+2b）＝2a2+2b2+5ab可得：x＝2，y＝2，z＝5， 所以x+y+z＝9； 故答案为：9； （4）4a2+5b2+4ab＝a2+4ab+4b2+b2+3a2＝（a+2b）2+b2+3a2； 所以，正方形的边长最长是（a+2b）； 故答案为：（a+2b）． 【点评】本题考查用“等积法”解决多项式乘积的代数问题，渗透数形结合思想，用代数角度解决图形问题，也可以利用图形问题解决代数． 18．（2024春•白塔区校级期中）阅读理解并解答： 我们把多项式a2+2ab+b2，a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题． （1）例如：①＝（x+1）2+2， ∵（x+1）2是非负数，即（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2， 则这个代数x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是﹣1； ②3x2﹣12x+5＝3（x2﹣4x）+5＝3（x2﹣4x+4﹣4）+5＝3（x﹣2）2﹣12+5＝3（x﹣2）2﹣7， ∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0，∴3（x﹣2）2﹣7≥﹣7， 则这个代数式3x2﹣12x+5的最小值是 　﹣7　，这时相应的x的值是 　2　； （2）知识再现：当x＝　3　时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 　3　； （3）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　1　时，y有最 　大　值（填“大”或“小”），这个值是 　﹣2　； （4）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值． 【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】（1）﹣7；2； （2）3；3； （3）1；大；﹣2； （4）﹣6． 【分析】（1）根据解答过程即可求解； （2）根据x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3即可求解； （3）根据y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+3）＝﹣（x﹣1）2﹣2即可求解； （4）由题意得y＝x2﹣3x﹣5，则x+y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，即可求解． 【解答】解：（1）∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0，∴3（x﹣2）2﹣7≥﹣7， 则这个代数式3x2﹣12x+5的最小值是﹣7，这时相应的x的值是2， 故答案为：﹣7，2； （2）x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3， ∵（x﹣3）2是非负数，即（x﹣3）2≥0， ∴（x﹣3）2+3≥3， 当x＝3时，代数式x2﹣6x+12的最小值是3， 故答案为：3，3； （3）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+3）＝﹣（x﹣1）2﹣2， ∵（x﹣1）2是非负数，即（x﹣1）2≥0， ∴﹣（x﹣1）2≤0， ∴﹣（x﹣1）2﹣2≤﹣2， ∴当x＝1时，y有最大值，这个值是﹣2， 故答案为：1；大；﹣2 （4）∵﹣x2+3x+y+5＝0， ∴y＝x2﹣3x﹣5， ∴x+y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6， ∵（x﹣1）2是非负数，即（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2﹣6≥﹣6， 即：y+x的最小值为﹣6． 【点评】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式形式是解题关键． 19．（2024春•巨野县期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【考点】因式分解的意义．版权所有 【专题】阅读型；运算能力． 【答案】另一个因式为（x+4），k的值为20． 【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式． 【解答】解：设另一个因式为（x+a），得： 2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）， 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a ∴． 解得：a＝4，k＝20． 故另一个因式为（x+4），k的值为20． 【点评】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键． 20．（2024春•昌黎县期末）对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝x2+2ax﹣3a2+a2﹣a2＝x2+2ax+a2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． （1）请用上述方法把x2+4x+3分解因式； （2）多项式x2+10x+28有最小值吗？如果有，求出最小值是多少？此时x的值是多少？ 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】整式；运算能力． 【答案】（1）（x+3）（x+1）；（2）当x＝﹣5时，多项式x2+10x+28有最小值，最小值是3． 【分析】（1）仿照例题的做法解答即可； （2）利用例题的做法先将原式变形为x2+10x+28＝（x+5）2+3，再根据完全平方式的非负性解答． 【解答】解：（1）x2+4x+3 ＝x2+4x+4﹣4+3 ＝（x+2）2﹣1 ＝（x+2+1）（x+2﹣1） ＝（x+3）（x+1）； （2）x2+10x+28＝x2+10x+25+3＝（x+5）2+3， ∵（x+5）2≥0， ∴当（x+5）2＝0时，多项式x2+10x+28有最小值， ∴当x＝﹣5时，多项式x2+10x+28有最小值，最小值是3． 【点评】本题考查了因式分解的应用，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键． 考点卡片 1．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 2．数学常识 数学常识 此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等． 平时要注意多观察，留意身边的小知识． 3．多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 4．完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 5．整式的混合运算—化简求值 先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似． 6．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 7．因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 8．提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 9．因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 10．实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式． 例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解 x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣） 11．因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题． 2、利用因式分解解决证明问题． 3、利用因式分解简化计算问题． 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入． 2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 12．三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 13．概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）＝p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）＝1；不可能发生事件的概率P（A）＝0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． （5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$