2025年中考数学一轮复习——一元二次方程

2025年中考数学一轮复习——一元二次方程 一．选择题（共10小题） 1．（2024•河北模拟）已知m，n是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（　　） 嘉嘉： ①解方程x2﹣3x﹣4＝0； ②化简3mn﹣m+（m﹣n﹣5mn）； ③将步骤①中的解，代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为﹣． 淇淇： ①用韦达定理求出m+n，mn的值； ②化简3mn﹣m+（m﹣n﹣5mn）； ③将步骤①中的m+n，mn的值代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为． A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 2．（2024•宁波模拟）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝m，BC＝，以点C为圆心，CB长为半径画圆弧，交AC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画圆弧，交AB于点E，连接BD．则图中下列线段的长一定是关于x的一元二次方程x2+nx＝m2的一个根的是（　　） A．AE B．BE C．CD D．BD 3．（2024秋•武汉月考）已知m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个根，则（m+1）（n+1）的值（　　） A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1 4．（2023秋•沈丘县校级月考）已知实数m，n在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程mx2+x+n＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 5．（2024•鹤壁模拟）对于任意4个实数 a，b，c，d定义一种新的运算＝ad﹣bc，例如：＝4×6﹣2×1＝22，则关于x的方程＝0的根的情况为（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 6．（2024•南岗区校级一模）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有81台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染x台，下面所列方程正确的是（　　） A．x2＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x （x+1）＝81 7．（2024•长沙县一模）若关于x的方程x2﹣2x﹣4m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（2024•凉州区一模）若关于x的方程ax2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（　　） A．a＝1，c＝3 B．a＝﹣2，c＝﹣4 C．a＝﹣1，c＝3 D．a＝5，c＝1 9．（2024春•宣州区校级期中）电影《热辣滚烫》讲述了宅家多年的女孩杜乐莹（由贾玲饰演）在遇到拳击教练昊坤（由雷佳音饰演）后，如何克服生活挑战，重拾自我，开启全新人生的故事．2024年春节（2月10日）一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约4亿元，以后每月票房按相同的增长率增长，历时2个月，至4月10最后一天公映，累计票房收入达34.6亿元，若把平均每月的增长率记作x，则方程正确的为（　　） A．4（1+x）＝34.6 B．4（1+x）2＝34.6 C．4+4（1+x）2＝34.6 D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝34.6 10．（2024秋•鼓楼区校级月考）若m，n是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，则m2+3m+n的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 二．填空题（共5小题） 11．（2024秋•杨浦区校级月考）若三个整数a、b、c使得方程ax2+bx+c＝0的两个根为a，b，则a+b+c的值为　 　． 12．（2024秋•杨浦区校级月考）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0有且只有一个实数解，则m应满足条件 　 　． 13．（2024秋•韩城市月考）一元二次方程x2﹣49＝0的正根是 　 　． 14．（2024•新疆）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 　 　． 15．（2024•巴中）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 　 　． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•云州区校级月考）用适当的方法解下列方程： （1）x（3x﹣6）＝（x﹣2）2； （2）x2+2x﹣120＝0． 17．（2024•凉州区二模）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵．如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？ 18．（2024秋•杨浦区校级月考）已知关于x的两个一元二次方程：方程①：；方程②：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0． （1）若方程①和②只有一个方程有实数根，求整数k； （2）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a的值． 19．（2024•宁波模拟）已知一次函数y1＝mx+n（mn≠0）． （1）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣n＝0必有两个不相等的实数根，试说明一次函数y1＝mx+n的图象过第一和第二象限． （2）在（1）的条件下，已知另一函数y2＝nx+m的图象与y1图象的交点在第四象限，求不等式y1＞y2的解． 20．（2023秋•临泽县期末）如图，有一面积为300m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为50m，求鸡场的长与宽各为多少米？ 2025年中考数学一轮复习——一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024•河北模拟）已知m，n是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，求代数式的值，嘉嘉和淇淇分别给了不同的解题思路，下列说法正确的是（　　） 嘉嘉： ①解方程x2﹣3x﹣4＝0； ②化简3mn﹣m+（m﹣n﹣5mn）； ③将步骤①中的解，代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为﹣． 淇淇： ①用韦达定理求出m+n，mn的值； ②化简3mn﹣m+（m﹣n﹣5mn）； ③将步骤①中的m+n，mn的值代入到步骤②化简后的结果中，解得代数式的值为． A．嘉嘉，淇淇都对 B．嘉嘉对，淇淇不对 C．嘉嘉不对，淇淇对 D．嘉嘉，淇淇都不对 【考点】根与系数的关系；整式的加减．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据题意，对嘉嘉和淇淇的解题思路依次进行判断即可． 【解答】解：嘉嘉的思路， ①解方程x2﹣3x﹣4＝0得， x1＝﹣1，x2＝4． ②化简3mn﹣m+（m﹣n﹣5mn）得， ． ③由①知， m+n＝﹣1+4＝3，mn＝﹣1×4＝﹣4， 所以原式＝＝． 故嘉嘉的思路正确． 淇淇的思路， ①由韦达定理可知， m+n＝，mn＝． ②化简3mn﹣m+（m﹣n﹣5mn）得， ． ③由①知， 原式＝＝． 故淇淇的思路正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及整式的加减，熟知一元二次方程根与系数的关系及整式的加减法则是解题的关键． 2．（2024•宁波模拟）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝m，BC＝，以点C为圆心，CB长为半径画圆弧，交AC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画圆弧，交AB于点E，连接BD．则图中下列线段的长一定是关于x的一元二次方程x2+nx＝m2的一个根的是（　　） A．AE B．BE C．CD D．BD 【考点】解一元二次方程﹣公式法；勾股定理．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系即可得到结论． 【解答】解：在直角三角形ABC中， AB＝m，BC＝n 则AC＝， AE＝AD＝AC﹣CD＝AC﹣BC＝， 对方程x2+nx＝m2，有x2+nx﹣m2＝0， x＝ ＝ 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 3．（2024秋•武汉月考）已知m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个根，则（m+1）（n+1）的值（　　） A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1 【考点】根与系数的关系．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n＝﹣3，mn＝﹣1，代入整理后的代数式，即可求解． 【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个根， ∴m+n＝﹣3，mn＝﹣1， ∴（m+1）（n+1）＝mm+m+n+1＝﹣1﹣3+1＝﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系，关键是一元二次方程性质的掌握． 4．（2023秋•沈丘县校级月考）已知实数m，n在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程mx2+x+n＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【考点】根的判别式；实数与数轴．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】B 【分析】根据数轴可知n＞0，m＜0，计算一元二次方程根的判别式即可求解． 【解答】解：根据数轴可得n＞0，m＜0，则mn＜0， ∵mx2+x+n＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4mn＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点评】本题考查了根的判别式，实数与数轴，关键是一元二次方程性质的应用． 5．（2024•鹤壁模拟）对于任意4个实数 a，b，c，d定义一种新的运算＝ad﹣bc，例如：＝4×6﹣2×1＝22，则关于x的方程＝0的根的情况为（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【考点】根的判别式；实数的运算．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】先根据新定义得到x•（x﹣k）﹣2×4＝0，再把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：根据题意得x•（x﹣k）﹣2×4＝0， 整理得x2﹣kx﹣8＝0， ∵Δ＝（k）2﹣4×1×（﹣8）＝k2+32＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 6．（2024•南岗区校级一模）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有81台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染x台，下面所列方程正确的是（　　） A．x2＝81 B．1+x2＝81 C．1+x+x2＝81 D．1+x+x （x+1）＝81 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；应用意识． 【答案】D 【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这（x+1）台电脑又感染给了x（1+x）台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染． 【解答】解：每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，列方程得： 1+x+x（1+x）＝81， 即（1+x）2＝81． 故选：D． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键． 7．（2024•长沙县一模）若关于x的方程x2﹣2x﹣4m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点】根的判别式．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有实数根可得Δ≥0，直接求解即可． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣4m＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4m）≥0， 解得m≥﹣． 故选：C． 【点评】此题考查一元二次方程根的判别式，解题关键是一元二次方程有实数根即Δ≥0． 8．（2024•凉州区一模）若关于x的方程ax2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（　　） A．a＝1，c＝3 B．a＝﹣2，c＝﹣4 C．a＝﹣1，c＝3 D．a＝5，c＝1 【考点】根的判别式．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝9﹣4ac＞0，然后对各选项进行判断即可． 【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， A、若a＝1，c＝3，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣12＝﹣3＜0，不符合题意； B、若a＝﹣2，c＝﹣4，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣32＝﹣23＜0，不符合题意； C、若a＝﹣1，c＝3，Δ＝b2﹣4ac＝9+12＝21＞0，符合题意； D、若a＝5，c＝1，Δ＝b2﹣4ac＝9﹣20＝﹣11＜0，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 9．（2024春•宣州区校级期中）电影《热辣滚烫》讲述了宅家多年的女孩杜乐莹（由贾玲饰演）在遇到拳击教练昊坤（由雷佳音饰演）后，如何克服生活挑战，重拾自我，开启全新人生的故事．2024年春节（2月10日）一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约4亿元，以后每月票房按相同的增长率增长，历时2个月，至4月10最后一天公映，累计票房收入达34.6亿元，若把平均每月的增长率记作x，则方程正确的为（　　） A．4（1+x）＝34.6 B．4（1+x）2＝34.6 C．4+4（1+x）2＝34.6 D．4+4（1+x）+4（1+x）2＝34.6 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】D 【分析】设平均每天票房的增长率为x，根据一元二次方程增长率问题，列出方程即可求解． 【解答】解：设平均每天票房的增长率为x， 根据题意得：4+4（1+x）+4（1+x）2＝34.6， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 10．（2024秋•鼓楼区校级月考）若m，n是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，则m2+3m+n的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【考点】根与系数的关系．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】C 【分析】由m，n是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，得m2＝2026﹣2m，m+n＝﹣2，将所求式子变形后整体代入即可． 【解答】解：∵m，n是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根， ∴m2+2m﹣2026＝0，m+n＝﹣2， ∴m2＝2026﹣2m， ∴m2+3 m+n ＝2026﹣2m+3m+n ＝2026+m+n ＝2026﹣2 ＝2024， 故选：C． 【点评】本题考查了根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程的性质． 二．填空题（共5小题） 11．（2024秋•杨浦区校级月考）若三个整数a、b、c使得方程ax2+bx+c＝0的两个根为a，b，则a+b+c的值为　18　． 【考点】根与系数的关系．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】18． 【分析】先通过根与系数之间的关系得到，，再通过计算a2+ab得出a的解，进而得出b与c的解，进而可得到答案． 【解答】解：∵a与b是方程ax2+bx+c＝0的两个根，故通过韦达定理可得到，， 故， ∴， ∵b为整数， ∴a+1＝1或a+1＝﹣1， 故a＝0（舍），a＝﹣2， ∴b＝4， ∴，故c＝16， ∴a+b+c＝18， 故答案为：18． 【点评】本题考查了根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系是解题关键． 12．（2024秋•杨浦区校级月考）已知关于x的方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0有且只有一个实数解，则m应满足条件 　m＝﹣1　． 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】m＝﹣1． 【分析】分两种情况讨论：当m2﹣1＝0时；当m2﹣1≠0时，根据一元二次方程根的判别式即可求解． 【解答】解：当m2﹣1＝0，时，m＝±1， 当m＝﹣1时，原方程为﹣4x+1＝0，解得，符合题意； 当m＝1时，方程左边＝1，右边＝0，不成立，不符合题意； 当m2﹣1≠0，即m≠±1时， ∵方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0有且只有一个实数解， ∴Δ＝4（m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＝﹣8m+8＝0， 解得m＝1，不符合题意， 综上，当m＝﹣1时，方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0有且只有一个实数解， 故答案为：m＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 13．（2024秋•韩城市月考）一元二次方程x2﹣49＝0的正根是 　7　． 【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】7． 【分析】利用直接开平方法解方程，确定方程的根即可． 【解答】解：根据题意，得x2﹣49＝0， 解得x1＝7，x2＝﹣7， 故正根为x＝7， 故答案为：7． 【点评】本题考查了直接开平方法解方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 14．（2024•新疆）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 　k＜　． 【考点】根的判别式．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根可得Δ＝9﹣4k＞0，再解即可． 【解答】解：由题意得： Δ＝9﹣4k＞0， 解得：k＜， 故答案为：k＜． 【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 15．（2024•巴中）已知方程x2﹣2x+k＝0的一个根为﹣2，则方程的另一个根为 　4　． 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：令方程的另一个根为m， 因为方程的一个根为﹣2， 所以﹣2+m＝2， 解得m＝4， 所以方程的另一个根为4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2024秋•云州区校级月考）用适当的方法解下列方程： （1）x（3x﹣6）＝（x﹣2）2； （2）x2+2x﹣120＝0． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）x1＝2，x2＝﹣1；（2）x1＝10，x1＝﹣12． 【分析】（1）方程移项整理后，利用因式分解法求出解即可； （2）因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）x（3x﹣6）＝（x﹣2）2， 方程整理得：3x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝0， 分解因式得：（x﹣2）（3x﹣x+2）＝0， 则x﹣2＝0，3x﹣x+2＝0， 解得：x＝2或x＝﹣1． ∴x1＝2，x2＝﹣1； （2）x2+2x﹣120＝0 分解因式得：（x﹣10）（x+12）＝0， 则x﹣10＝0或x+12＝0， 解得：x＝10或x＝﹣12， ∴x1＝10，x1＝﹣12． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法．熟练掌握解一元二次方程是关键． 17．（2024•凉州区二模）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵．如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？ 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【专题】其他问题． 【答案】见试题解答内容 【分析】每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，所以多种x棵树每棵桃树的产量就会减少2x个（即是平均产1000﹣2x个），桃树的总共有100+x棵，所以总产量是（100+x）（1000﹣2x）个．要使产量增加15.2%，达到100×1000×（1+15.2%）个． 【解答】解：设多种x棵树，则（100+x）（1000﹣2x）＝100×1000×（1+15.2%）（0＜x＜100）， 整理，得：x2﹣400x+7600＝0，（x﹣20）（x﹣380）＝0， 解得x1＝20，x2＝380． ∵果园有100棵桃树，380＞100， ∴x2＝380不合题意，故舍去． 答：应多种20棵桃树． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键找出桃树的增加量与桃子总产量的关系． 18．（2024秋•杨浦区校级月考）已知关于x的两个一元二次方程：方程①：；方程②：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0． （1）若方程①和②只有一个方程有实数根，求整数k； （2）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a的值． 【考点】根的判别式；一元二次方程的解．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力． 【答案】（1）﹣3；（2）5． 【分析】（1）计算第2个方程的判别式得，利用判别式的意义可判断方程②总有实数根，于是可判断此时方程①没有实数根，然后方程①没有实数根列出关于k的不等式求解即可； （2）把x＝a分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值． 【解答】解：（1）对于方程②：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0， ∵ ＝4k2+12k+13 ＝（2k+3）2+4＞0， ∴无论k为何值时，方程②总有实数根， ∴方程②总有实数根， ∵方程①、②只有一个方程有实数根， ∴此时方程①没有实数根， 对于方程①：， ． ∴ 或，解不等式组 ，得无解；解不等式组 ，得﹣4＜k＜﹣2， ∴整数k的值为﹣3； （2）根据a是方程①和②的公共根， ∴③，a2+（2k+1）a﹣2k﹣3＝0④ ∴③×2得：（2+k）a2+（2k+4）a﹣2＝0⑤， ⑤+④得：（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k＝5， 代数式＝（a2+4a﹣2）k+3a2+5a＝（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k＝5． 故代数式的值为5． 【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 19．（2024•宁波模拟）已知一次函数y1＝mx+n（mn≠0）． （1）已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣n＝0必有两个不相等的实数根，试说明一次函数y1＝mx+n的图象过第一和第二象限． （2）在（1）的条件下，已知另一函数y2＝nx+m的图象与y1图象的交点在第四象限，求不等式y1＞y2的解． 【考点】根的判别式；一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数与一元一次不等式．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；一次函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）见解析； （2）不等式y1＞y2的解集为x＜1． 【分析】（1）关于x的一元二次方程x2+mx﹣n＝0的解，可看作抛物线y＝x2与直线y＝﹣mx+n的交点，判断出n＞0，据此即可说明结论成立； （2）根据两直线的交点情况求得n＞0，m＜0，推出m﹣n＜0，由y1＞y2，得到mx+n＞nx+m，据此求解即可． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣n＝0必有两个不相等的实数根， ∴Δ＝m2+4n＞0， 关于x的一元二次方程x2+mx﹣n＝0的解，可看作抛物线y＝x2与直线y＝﹣mx+n的交点， 根据题意得，抛物线y＝x2与直线y＝﹣mx+n必有两个不同的交点， ∴n＞0， ∴一次函数y1＝mx+n的图象过第一和第二象限； （2）∵y2＝nx+m，n＞0， ∴直线y2＝nx+m一定经过第一、三象限， ∵直线y2＝nx+m与y1＝mx+n图象的交点在第四象限， ∴直线y2＝nx+m一定经过第一、三、四象限， ∴m＜0， ∴m﹣n＜0， ∵y1＞y2， ∴mx+n＞nx+m， 整理得（m﹣n）x＞m﹣n， ∴x＜1， 即不等式y1＞y2的解集为x＜1． 【点评】本题考查了一次函数的性质，根的判别式，一次函数的图象，一次函数与一元一次不等式，关键是一次函数性质的熟练掌握． 20．（2023秋•临泽县期末）如图，有一面积为300m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为50m，求鸡场的长与宽各为多少米？ 【考点】一元二次方程的应用．版权所有 【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识． 【答案】鸡场的长为20米，宽为15米． 【分析】设鸡场与墙垂直的边长为x米，则与墙平行的边长为（50﹣2x）米，根据鸡场是面积为300m2的长方形，列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设鸡场与墙垂直的边长为x米，则与墙平行的边长为（50﹣2x）米， 由题意得：x（50﹣2x）＝300， 整理得：x2﹣25x+150＝0， 解得：x1＝15，x2＝10， 当x＝15时，50﹣2x＝20＜25，符合题意； 当x＝10时，50﹣2x＝30＞25，不符合题意，舍去； 答：鸡场的长为20米，宽为15米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 考点卡片 1．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 2．实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 3．整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 4．一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 5．一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 6．解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 7．解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 8．解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 9．根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 10．根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 11．由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 12．一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 13．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 14．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 15．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 16．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$