2025年中考数学一轮复习——反比例函数

2025年中考数学一轮复习——反比例函数 一．选择题（共10小题） 1．（2024•德州）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）是某函数图象上的两点，当1＜x2＜x1＜2时，y2﹣y1＜0．该函数的解析式可能是（　　） A．y＝﹣2x B． C．y＝x2﹣x﹣1 D．y＝﹣x2﹣2x+1 2．（2024•重庆模拟）如图，△OAB为等腰三角形，AB＝OB，反比例函数过点B，若S△AOB＝4，则K为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．﹣8 3．（2024秋•岱岳区校级月考）如图，函数y1＝x﹣1和函数的图象相交于点M（m，1），N（n，﹣2），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜2 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2 4．（2024•民勤县校级三模）已知反比例函数的图象与函数的图象没有交点．若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1 5．（2024•淄博）如图所示，正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y＝的图象上，直线DG与x，y轴分别相交于点M，N．若这两个正方形的面积之和是，且MD＝4GN．则k的值是（　　） A．5 B．1 C．3 D．2 6．（2024•内黄县模拟）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且 x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 7．（2023秋•中山市校级期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣k（x﹣1）与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．（2024•湖南模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接AC交x轴于点D，若OD是△ABC的中位线，△ABC的面积为12，则k的值是（　　） A．﹣6 B．﹣12 C．6 D．12 9．（2024•二道区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，线段OA与反比例函数y＝（x＞0）相交于点A，将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到线段OB，点B恰好落在双曲线y＝（x＞0）上，则△ABO的面积为（　　） A．3 B． C． D．6 10．（2024•朝阳区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（m，4）在函数的图象上，点B的坐标为（0，2），连结AB，将线段AB平移得到线段CD，点C落在函数的图象上，点D落在x轴的正半轴上，OD＝1，则k的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 二．填空题（共5小题） 11．（2024•福州模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰Rt△AOB的直角边AB和斜边OB交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接AD，CD，若AD⊥OB，则△BCD的面积为 　 　． 12．（2024•宁波模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过矩形OABC的顶点B，点D为x轴负半轴上一点，连结DB交y轴于点E，交矩形OABC的对角线CA于点F，函数的图象经过点F，若△CDE的面积为2，△CEB的面积为4，则a＝　 　；b＝　 　． 13．（2024•武汉模拟）已知反比例函数，当x＞2时，则y的取值范围是 　 　． 14．（2024•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），是矩形OABC的顶点，点M，N分别为边AB，OC上的点，将矩形OABC沿直线MN折叠，使点B的对应点B'在边OA的中点处，点C的对应点C′在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k＝　 　． 15．（2024•南京模拟）如图，某药剂在空气中的浓度y（mg/m3）与时间x（min）之间先满足正比例函数的关系，再满足反比例函数的关系，且当x＝12时，y有最大值，最大值为a．则当时，x的值是 　 　． 三．解答题（共5小题） 16．（2024•宁波模拟）在同一个平面直角坐标系中，存在函数y1＝k1x+2+k1，函数（k1，k2是实数且k1≠0，k2≠0）． （1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（﹣1，m），B（2，n），求函数y1，y2的解析式． （2）若点C（1，a）在函数y2的图象上，点C先关于x轴对称，得点C′，再向左平移2个单位长度得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求k2的值． 17．（2024•成都模拟）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，a），B，是x轴上的一个定点，连接AC，BC． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）若经过点C的直线交线段AB于点Q，且，求tan∠QCO的值； （3）如图2，D是一次函数与x轴的交点，将直线AC沿x轴正半轴平移，平移过程中，直线在第一象限与反比例函数的图象交于点E（点E不与点A重合），与x轴交于点F．平移过程中，平面内是否存在某一点G，使得四边形DFEG是菱形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2024•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于A（m，6），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积． 19．（2024•淄博）如图，一次函数y＝k1x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（m，4），B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO＝2． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2＞的解集． 20．（2024•安阳模拟）如图，反比例函数的图象与过点（1，0）的直线AB相交于A，B两点．已知点A的坐标为（﹣1，3）． （1）求直线AB的解析式及反比例函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且S△PAB＝9，求点P的坐标． 2025年中考数学一轮复习——反比例函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2024•德州）已知P（x1，y1），Q（x2，y2）是某函数图象上的两点，当1＜x2＜x1＜2时，y2﹣y1＜0．该函数的解析式可能是（　　） A．y＝﹣2x B． C．y＝x2﹣x﹣1 D．y＝﹣x2﹣2x+1 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数与不等式（组）．版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；推理能力． 【答案】C 【分析】由已知条件可得到，当1＜x＜2时，函数y随x的增大而增大，据此分析个选项即可作出选择． 【解答】解：∵1＜x2＜x1＜2时，y2﹣y1＜0， ∴函数y随x的增大而增大， A．y＝﹣2x中，y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； B．y＝中，在第一象限y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； C．y＝x2﹣x﹣1中，其图象开口向上，对称轴为：直线x＝，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，故本选项符合题意； D．y＝﹣x2﹣2x+1中，其图象开口向下，对称轴为：直线x＝﹣1，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查正比例函数，反比例函数，二次函数的性质，掌握相关函数的增减性是解题的关键． 2．（2024•重庆模拟）如图，△OAB为等腰三角形，AB＝OB，反比例函数过点B，若S△AOB＝4，则K为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．﹣8 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】A 【分析】过点B作x轴的垂线，垂足为M，根据等腰三角形的性质求出△BOM的面积，再结合反比例函数系数k的几何意义即可解决问题． 【解答】解：过点B作x轴的垂线，垂足为M， ∵△ABO是等腰三角形，且AB＝BO，S△AOB＝4， ∴． 又∵点B在反比例函数y＝的图象上， ∴， 则|k|＝4． ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k＝﹣4． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及等腰三角形的性质，熟知反比例函数的图象与性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（2024秋•岱岳区校级月考）如图，函数y1＝x﹣1和函数的图象相交于点M（m，1），N（n，﹣2），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜2 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；推理能力． 【答案】B 【分析】先求出m、n的值，再根据函数图象即可求解． 【解答】解：∵M（m，1），N（n，﹣2）在函数y1＝x﹣1和函数上， ∴m＝2，n＝﹣1， 即M（2，1），N（﹣1，﹣2）， 则y1＜y2的范围如图中实线所示： 即x＜﹣1或 0＜x＜2． 故选：B． 【点评】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断，解题关键是结合函数图象解题． 4．（2024•民勤县校级三模）已知反比例函数的图象与函数的图象没有交点．若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】先根据两个函数没有交点，确定k的符号，再根据函数的增减性，进行判断即可． 【解答】解：∵函数经过一、三象限，反比例函数的图象与函数的图象没有交点， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∵、、在这个反比例函数的图象上， ∴点、在第二象限，点在第四象限， ∵， ∴y2＞y1＞0， ∴， ∴y3＜0， ∴y2＞y1＞y3， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数和正比例函数的图形与性质，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 5．（2024•淄博）如图所示，正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y＝的图象上，直线DG与x，y轴分别相交于点M，N．若这两个正方形的面积之和是，且MD＝4GN．则k的值是（　　） A．5 B．1 C．3 D．2 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】待定系数法；反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】设AE＝EF＝FG＝a，AB＝BC＝AD＝b，利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质得到a，b的关系式，再利用a2+b2＝求得a，b值，则点A坐标可求，最后利用待定系数法解答即可得出结论． 【解答】解：设AE＝EF＝FG＝a，AB＝BC＝AD＝b， 由题意得：a2+b2＝． ∵正方形ABCD与AEFG（其中边BC，EF分别在x，y轴的正半轴上）的公共顶点A在反比例函数y＝的图象上， ∴FG∥ED∥OM，∠NFG＝∠DCM＝90°， ∴∠NGF＝∠DMC， ∴△NFG∽△DCM， ∴， ∵MD＝4GN， ∴， ∴NF＝b． ∵FG∥ED， ∴△NFG∽△NED， ∴， ∴， ∴b2＝4a2， ∴， ∵a＞0， ∴a＝． ∴b＝． ∴A（，）， ∴k＝＝3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图形与性质，反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用线段的长度表示出点的坐标是解题的关键． 6．（2024•内黄县模拟）若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且 x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；推理能力． 【答案】C 【分析】根据反比例函数性质，反比例函数的图象分布在第二、四象限，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， 在每一象限y随x的增大而增大， 而x1＜x2＜0＜x3， ∴C点在第四象限，A、B点在第二象限， ∴y3＜0＜y1＜y2． 即y2＞y1＞y3． 故选：C． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键． 7．（2023秋•中山市校级期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣k（x﹣1）与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；几何直观；推理能力． 【答案】A 【分析】由函数y＝k（x﹣1）知直线必过点（1，0），即可排除B、C，然后根据函数的图象和系数的关系判断即可． 【解答】解：由函数y＝﹣k（x﹣1）知直线必过点（1，0），故B、C不合题意； A、由函数y＝﹣k（x﹣1）的图象可知k＞0，由函数的图象可知k＞0，故A符合题意； D、由函数y＝﹣k（x﹣1）的图象可知k＞0，由函数的图象可知k＜0，故D不合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数和反比例函数的图象的性质，掌握一次函数和反比例函数的图象的性质是解题的关键． 8．（2024•湖南模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接AC交x轴于点D，若OD是△ABC的中位线，△ABC的面积为12，则k的值是（　　） A．﹣6 B．﹣12 C．6 D．12 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形中位线定理．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】B 【分析】连接OA，根据中位线求出点O是线段BC的中点，利用中点求出△AOB＝6．再根据反比例函数图像上点的坐标特征求出k值即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵OD是△ABC的中位线， ∴点O是线段BC的中点， ∴S△AOB＝S△ABC＝＝6． ∵|k|＝2S△AOB＝2×6＝12． ∵反比例函数在二、四象限， ∴k＝﹣12． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义、三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点是关键． 9．（2024•二道区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，线段OA与反比例函数y＝（x＞0）相交于点A，将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到线段OB，点B恰好落在双曲线y＝（x＞0）上，则△ABO的面积为（　　） A．3 B． C． D．6 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】过点O作OH⊥AB于点H，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D，由旋转性质得OA＝OB，∠AOB＝45°，则AH＝BH，∠AOH＝∠BOH＝22.5°，由此可得点A，B关于直线OH对称，则直线OH是反比例函数（x＞0）的对称轴，进而得OH是∠COD的平分线，则∠COA＝∠AOH＝22.5°，∠DOB＝∠BOH＝22.5°，再证明△AOC和△AOH全等，△BOD和△BOH全等得S△OAB＝S△AOH+S△BOH，然后根据反比例函数比例系数的几何意义可得出△ABO的面积． 【解答】解：过点O作OH⊥AB于点H，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D，如图所示： 则∠ACO＝∠AHO＝∠BDO＝∠BHO＝90°， 由旋转的性质得：OA＝OB，∠AOB＝45°， ∵OH⊥AB， ∴AH＝BH，∠AOH＝∠BOH＝∠AOB＝22.5°， ∴点A，B关于直线OH对称， ∴直线OH是反比例函数（x＞0）的对称轴， ∴OH是∠COD的平分线， ∴∠COH＝∠DOH＝∠COD＝45°， ∴∠COA＝∠COH﹣∠AOH＝22.5°，∠DOB＝∠DOH﹣∠BOH＝22.5°， ∴∠COA＝∠AOH＝22.5°，∠DOB＝∠BOH＝22.5°， 在△AOC和△AOH中， ， ∴△AOC≌△AOH（AAS） ∴S△AOC＝S△AOH， 同理：△BOD≌△BOH（AAS）， ∴S△BOD＝S△BOH， ∴S△ABO＝S△AOC+S△BOD＝S△AOH+S△BOH， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△AOH＝S△BOH＝×6＝3， ∴S△ABO＝6． 故选：D． 【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义，图形的旋转变换及其性质，理解反比例函数的对称性是是解决问题的关键． 10．（2024•朝阳区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（m，4）在函数的图象上，点B的坐标为（0，2），连结AB，将线段AB平移得到线段CD，点C落在函数的图象上，点D落在x轴的正半轴上，OD＝1，则k的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】C 【分析】根据题意，先确定点A的平移特征，依据平移特征确定点C坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程求出m值继而计算出k值即可． 【解答】解：∵OD＝1， ∴D（1，0）， ∵点B（0，2）向下平移2个单位，再向右平移一个单位得到点D（1，0）， ∴点A（m，4）向下平移2个单位，再向右平移一个单位得到点D（m+1，2）， ∵C落在函数的图象上， ∴4m＝2（m+1）， 解得m＝1， ∴A（1，4）， ∵点A在反比例函数图象上， ∴k＝4． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及平移特征，熟练掌握平移法则是解答本题的根据． 二．填空题（共5小题） 11．（2024•福州模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象分别与等腰Rt△AOB的直角边AB和斜边OB交于点C，D，点A在x轴正半轴上，连接AD，CD，若AD⊥OB，则△BCD的面积为 　3　． 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形；反比例函数的图象；反比例函数的性质．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】3． 【分析】连接OC，作DE⊥OA轴于E，由等腰直角三角形的性质得出，由反比例函数k的几何意义得出，证明△ODE∽△OBA，得出S△OBA＝4S△ODE＝8，求出S△OBC＝S△OBA﹣S△OCA＝6，再由三角形中线的性质即可得出答案． 【解答】解：如图，连接OC，作DE⊥OA轴于E， ， ∵△AOB为等腰直角三角形，AD⊥OB， ∴点D为OB的中点， ∴， ∵点C、D是反比例函数上的点， ∴， ∵DE⊥OA，AB⊥OA， ∴DE∥AB， ∴△ODE∽△OBA， ∴， ∴S△OBA＝4S△ODE＝8， ∴S△OBC＝S△OBA﹣S△OCA＝8﹣2＝6， ∵OD＝BD， ∴， 故答案为：3． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数k的几何意义、相似三角形的判定与性质、与三角形中线有关的面积的计算等知识点，熟练掌握知识点并灵活运用是解此题的关键． 12．（2024•宁波模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过矩形OABC的顶点B，点D为x轴负半轴上一点，连结DB交y轴于点E，交矩形OABC的对角线CA于点F，函数的图象经过点F，若△CDE的面积为2，△CEB的面积为4，则a＝　12　；b＝　　． 【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】12； ． 【分析】根据四边形OABC是矩形，得出S矩形OABC＝2（S△CDE+S△CBE）＝12，从而根据反比例函数几何意义得出a＝12，再得出，证明△DAF∽△BCF，得出，如图，过F分别作y轴，x轴的垂线，垂足为M，N，则四边形ONFM是矩形，证明△CFM∽△CAO，△AFN∽△ACO，从而得出，根据即可求解． 【解答】解：∵点B在函数的图象上，四边形OABC是矩形， ∴S矩形OABC＝AB•CB＝2S△CBD＝2（S△CDE+S△CBE）＝2×（2+4）＝12，OA∥BC， ∴a＝12； 假设△CDB边DB上的高为h， 则， ∴， ∵OA∥BC， ∴△DAF∽△BCF， ∴， 如图，过F分别作y轴，x轴的垂线，垂足为M，N， 则四边形ONFM是矩形，ON∥MF，OM∥FN， ∴△CFM∽△CAO，△AFN∽△ACO， ∴， ∴． 故答案为：12，． 【点评】该题主要考查了反比例函数几何综合，矩形的性质，相似三角形的性质和判定，等知识点，解题的关键是数形结合． 13．（2024•武汉模拟）已知反比例函数，当x＞2时，则y的取值范围是 　0＜y＜1　． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】0＜y＜1． 【分析】根据反比例函数的增减性可求得答案． 【解答】解：∵在y＝中，k＝2＞0， ∴第一象限内，y随x的增大而减小， ∴当x＝2时，y有最大值1， ∴当x＞2时，则y的取值范围是0＜y＜1． 故答案为：0＜y＜1． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 14．（2024•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），是矩形OABC的顶点，点M，N分别为边AB，OC上的点，将矩形OABC沿直线MN折叠，使点B的对应点B'在边OA的中点处，点C的对应点C′在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k＝　　． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；坐标与图形变化﹣对称；翻折变换（折叠问题）．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力． 【答案】． 【分析】设B'C'交y轴于点E，MN交BB'于点F，过点C'作C'D⊥x轴于D，C'H⊥y轴于点H，则四边形ODC'H为矩形，根据折叠性质得：CN＝C'N，BM＝B'M，B'C'＝BC，MN是线段BB'的垂直平分线，设BM＝B'M＝t，则AM＝AB﹣BM＝，在△AB'M中，有勾股定理求出，则AM＝，点M，证明△OB'E和△AMB'相似，利用相似三角形的性质可求出OE＝，B'E＝，则C'E＝，再求出点F，利用待定系数法求出直线MF的表达式，则ON＝，进而得C'N＝CN＝，EN＝，在Rt△C'EN中，由三角形的面积公式可求出C'H＝，在Rt△B'C'D中，由勾股定理再求出C'D＝，则点C'，据此即可得出k的值． 【解答】解：设B'C'交y轴于点E，MN交BB'于点F，过点C'作C'D⊥x轴于D，C'H⊥y轴于点H，如图所示： 则四边形ODC'H为矩形， ∴OD＝C'H， 根据折叠性质得：CN＝C'N，BM＝B'M，B'C'＝BC，MN是线段BB'的垂直平分线，∠B'C'N＝∠BCN＝90°，∠MB'C'＝∠MBC＝90°， ∵点A（4，0），C是矩形OABC的顶点， ∴BC＝OA＝B'C'＝4，OC＝AB＝，∠MAB'＝90°， ∴点B的坐标为， 设BM＝B'M＝t，则AM＝AB﹣BM＝， ∵点B'是OA的中点， ∴OB'＝AB'＝2， 在△AB'M中，有勾股定理得：AM2+AB'2＝B'M2， 即， 解得：， ∴BM＝B'M＝，AM＝， ∴点M的坐标为， ∵∠MB'C'＝90°， ∴∠AB'M+∠OB'E＝90°， ∵∠EOB'＝90°， ∴∠OEB'+∠OB'E＝90°， ∴∠AB'M＝∠OEB'， 又∵∠EOB'＝∠MAB'＝90°， ∴△OB'E∽△AMB'， ∴OE：AB'＝B'E：B'M＝OB'：AM， 即， ∴OE＝，B'E＝， ∴C'E＝B'C'﹣B'E＝， ∵B，B'（2，0），MN是线段BB'的垂直平分线， ∴点F的坐标为， 设直线MF的表达式为：y＝ax+b，则点N的坐标为（0，b） 将点M，点F代入y＝ax+b，得：，解得：， ∴直线MF的表达式为：，点N， ∴ON＝， ∴C'N＝CN＝OC﹣ON＝，EN＝ON﹣OE＝， 在Rt△C'EN中，由三角形的面积公式得：S△C'EN＝EN•C'H＝C'N•C'E， 即， ∴C'H＝， ∴OD＝C'H＝， ∴B'D＝OB'+OD＝， 在Rt△B'C'D中，由勾股定理得：C'D＝， ∴点C'的坐标为， ∵点C'在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，灵活利用相似三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 15．（2024•南京模拟）如图，某药剂在空气中的浓度y（mg/m3）与时间x（min）之间先满足正比例函数的关系，再满足反比例函数的关系，且当x＝12时，y有最大值，最大值为a．则当时，x的值是 　8或18　． 【考点】反比例函数的应用．版权所有 【专题】运算能力． 【答案】8或18． 【分析】先利用待定系数法求出正比例函数和反比例函数的表达式，然后将分别代入两个表达式中，即可求出x的值． 【解答】解：设x＜12时，正比例函数的表达式为y＝k1x， 则a＝12k1， 解得， ∴正比例函数的表达式为． 设x＞12时，反比例函数的表达式为， 则， 解得k2＝12a， ∴反比例函数的表达式为． 当x＜12时，把代入得，， 解得x＝8． 当x＞12时，把代入得， ， 解得x＝18． 综上，当时，x的值是8 或18． 故答案为：8或18． 【点评】本题主要考查了利用待定系数法求正比例函数和反比例函数的表达式，以及已知因变量的值求相应的自变量的值，熟练掌握待定系数法及数形结合法是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 16．（2024•宁波模拟）在同一个平面直角坐标系中，存在函数y1＝k1x+2+k1，函数（k1，k2是实数且k1≠0，k2≠0）． （1）若函数y1和函数y2的图象交于点A（﹣1，m），B（2，n），求函数y1，y2的解析式． （2）若点C（1，a）在函数y2的图象上，点C先关于x轴对称，得点C′，再向左平移2个单位长度得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求k2的值． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力． 【答案】（1）函数y1，y2的解析式分别是：y1＝﹣x+1，， （2）k2＝﹣2． 【分析】（1）依题意，把A点坐标代入y1的解析式，求出m的值，从而得到A点坐标，代入y2，得到其解析式，再利用B点在y2图象上，从而得到B点坐标，即可得到y1的解析式； （2）根据C点的对称、平稳，得到D点坐标，代入y1的解析式，求出a的值，再把C点坐标代入y2，即可得到结果． 【解答】解：（1）∵函数y1和函数y2的图象交于点A（﹣1，m），B（2，n）， ∴A点在函数y1＝k1x+2+k1图象上， ∴m＝﹣k1+2+k1， 即m＝2， ∴A（﹣1，2）， ∵A点也在函数图象上， ∴2＝， ∴k2＝﹣2， ∴， ∵B点在函数y2的图象上，即把B点坐标代入y2函数解析式， ∴n＝＝﹣1， ∴B（2，﹣1）， ∵B点也在函数y1＝k1x+2+k1图象上， ∴﹣1＝2k1+2+k1， ∴k1＝﹣1， ∴y1＝﹣x+1， ∴函数y1，y2的解析式分别是：y1＝﹣x+1，； （2）∵点C（1，a）关于x轴对称，得点C′， ∴C′（1，﹣a）， 再向左平移2个单位长度得点D， ∴D（﹣1，﹣a）， ∵点D恰好落在函数y1的图象上， ∴﹣a＝﹣k1+2+k1， ∴a＝﹣2， 即C（1，﹣2）， ∵点C（1，﹣2）在函数y2的图象上， ∴﹣2＝， 即：k2＝﹣2． 【点评】本题考查了一次函数，反比例函数的性质，以及图象上点坐标特点，关键是充分应用点在函数图象上，则点坐标满足函数解析式． 17．（2024•成都模拟）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，a），B，是x轴上的一个定点，连接AC，BC． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）若经过点C的直线交线段AB于点Q，且，求tan∠QCO的值； （3）如图2，D是一次函数与x轴的交点，将直线AC沿x轴正半轴平移，平移过程中，直线在第一象限与反比例函数的图象交于点E（点E不与点A重合），与x轴交于点F．平移过程中，平面内是否存在某一点G，使得四边形DFEG是菱形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】反比例函数综合题．版权所有 【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1），B（3，4）； （2）； （3）平面内存在某一点G，使得四边形DFEG是菱形；G（8，4）． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，联立两个解析式求出点B的坐标； （2）根据，得到，求出AQ的长，设y＝﹣2x+10与x轴交于点H，过点A作AM⊥x轴，过点Q作QN⊥x轴，证明△HNB∽△HMA，进而求出QN，CN的长，利用正切的定义进行求解即可； （3）求出直线AC的解析式，设平移距离为m，求出平移后的解析式，进而求出F点的坐标，分点F在D点左侧和右侧，两种情况，结合菱形的性质，解直角三角形求出E点坐标，根据点E在双曲线上，列出方程求出m的值，进一步求出G点坐标即可． 【解答】解：（1）把A（2，a）代入y＝﹣2x+10，得：a＝﹣2×2+10＝6， ∴A（2，6） ∴k＝2×6＝12， ∴反比例函数的解析式为：， 联立， 解得：或， ∴B（3，4）； （2）∵， ∴， ∵A（2，6），B（3，4）， ∴， ∴， 设y＝﹣2x+10与x轴交于点H， ∴H（5，0）， ∴，OH＝5， ∴， 过点A作AM⊥x轴，过点Q作QN⊥x轴，则：AM＝6，OM＝2，如图1， ∴AM∥QN，HM＝OH﹣OM＝3， ∴△HNB∽△HMA， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）平面内存在某一点G，使得四边形DFEG是菱形；理由如下： ∵y＝﹣2x+10，当y＝0时，x＝5， ∴D（5，0）， 设直线AC的解析式为：y＝ax+b（k≠0）， 则：， 解得：， ∴， 设直线AC与y轴交于点N，当x＝0时，， ∴， 由勾股定理，得：， 设直线AC沿着x轴正半轴平移m个单位长度，则：平移后的直线的解析式为：， 当y＝0时，，解得：， ∴， 当点F在D点左侧时，则：，如图2， 过点E作EM⊥x轴， ∵平移， ∴EF∥AC， ∴∠EFM＝∠NCO， ∴，， 当四边形DFEG为菱形时，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵点E在反比例函数图象上， ∴，解得：m＝2.5或m＝0（舍去）； ∴，E（3，4）， ∴G（8，4）； 当F在D点右侧时，则：，如图3， 同法可得：， ∴， 解得：m＝2.5（舍去）或m＝0（舍去）； 故此种情况不存在； 综上：G（8，4）． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何图形，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，难度大，综合性强，计算量大，属于压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 18．（2024•长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于A（m，6），B（4，﹣3）两点，与y轴交于点C，连接OA，OB． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】推理能力． 【答案】（1），； （2）9． 【分析】（1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）根据三角形面积的和差，可得答案． 【解答】解：（1）∵点B（4，﹣3）在反比例函数 和一次函数 的图象上， ∴． 解得k＝﹣12，b＝3， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为． 答：反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）∵点A（m，6）在反比例函数 的图象上， ∴， 解得 m＝﹣2， ∴点A的坐标为（﹣2，6）， 把x＝0代入 得y＝3， ∴点C的坐标为（0，3）， ∴OC＝3， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC'； ＝ ＝9． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，三角形面积，求出两个函数解析式是解题的关键． 19．（2024•淄博）如图，一次函数y＝k1x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（m，4），B两点，与x，y轴分别相交于点C，D．且tan∠ACO＝2． （1）分别求这两个函数的表达式； （2）以点D为圆心，线段DB的长为半径作弧与x轴正半轴相交于点E，连接AE，BE．求△ABE的面积； （3）根据函数的图象直接写出关于x的不等式k1x+2＞的解集． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】函数的综合应用；应用意识． 【答案】（1）一次函数解析式为y＝2x+2，反比例函数解析式为y＝． （2）△ABE面积＝15． （3）当﹣2＜x＜0或x＞1时，k1x+2＞，即2x+2＞． 【分析】（1）由y＝k1x+2得D（0，2），由tan∠ACO＝2，C（﹣1，0），故一次函数解析式为y＝2x+2．过A作AM⊥x轴，由tan∠ACO＝＝2，得A（1，4），故反比例函数解析式为y＝． （2）过A作AN∥y轴，联立y＝2x+2和y＝得x2+x﹣2＝0，得B（﹣2，﹣2）．E（4，0），求出直线BE解析式为y＝x﹣，得N（1，﹣1），故△ABE面积＝（4+1）（4+2）＝15． （3）看图得：当﹣2＜x＜0或x＞1时，k1x+2＞，即2x+2＞． 【解答】解：（1）由y＝k1x+2得D（0，2）， ∵tan∠ACO＝2， ∴＝2， ∴C（﹣1，0）， 代入y＝k1x+2得k1＝2， ∴一次函数解析式为y＝2x+2． 过A作AM⊥x轴，如图1． ∴tan∠ACO＝＝2， ∵AM＝4， ∴CM＝2， ∴OM＝1， ∴A（1，4）， 代入y＝得k2＝4， ∴反比例函数解析式为y＝． （2）如图2：过A作AN∥y轴，交BE于N． 联立y＝2x+2和y＝得x2+x﹣2＝0， ∴x＝﹣2或1， ∴B（﹣2，﹣2）． ∴BD＝＝2， ∴DE＝DB＝2， ∴OE＝＝4， ∴E（4，0）， 设直线BE解析式为y＝mx+n， ∴， ∴m＝，n＝﹣， ∴直线BE解析式为y＝x﹣， ∴N（1，﹣1）， ∴△ABE面积＝（4+1）（4+2）＝15． （3）看图得：当﹣2＜x＜0或x＞1时，k1x+2＞，即2x+2＞． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题关键． 20．（2024•安阳模拟）如图，反比例函数的图象与过点（1，0）的直线AB相交于A，B两点．已知点A的坐标为（﹣1，3）． （1）求直线AB的解析式及反比例函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且S△PAB＝9，求点P的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有 【专题】反比例函数及其应用；应用意识． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，根据S△ACP+S△BCP＝S△ABP＝9，求得CP的长度，进而即可求得点P的坐标． 【解答】解：（1）把点A（﹣1，3）代入y＝（k＞0）得，3＝， 解得k＝﹣3， ∴反比例函数为y＝﹣； 设直线AB为y＝ax+b， 代入点（1，0），A（﹣1，3）得， 解得， ∴直线AB为y＝﹣x+； （2）联立方程组， 解得或， ∴A（﹣1，3），B（2，﹣）， 设直线AB与x轴相交于点C（1，0），如图， ∵S△ABP＝9， ∴S△ACP+S△BCP＝PC•（3+）＝9， ∴CP＝4， ∴点P的坐标为（﹣3，0）或（5，0）． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点的求法，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 考点卡片 1．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 2．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 3．反比例函数的图象 用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 4．反比例函数的性质 反比例函数的性质 （1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 5．反比例函数系数k的几何意义 比例系数k的几何意义 在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 6．反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 7．反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： ①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点； ②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点． 8．反比例函数的应用 （1）利用反比例函数解决实际问题 ①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． （2）跨学科的反比例函数应用题 要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． （3）反比例函数中的图表信息题 正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想． 9．反比例函数综合题 （1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 10．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 11．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 12．等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1． 13．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 14．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 15．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 16．坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 17．翻折变换（折叠问题） 1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换． 2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系． 首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数． 18．坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 19．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$