精品解析：期末素养评估卷 A(第一至第六章) 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

期末素养评估卷A（第一至第六章） （120分钟　150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 1，2，3，6 C. 2，3，4，5 D. 1，3，4，7 2. 下列事件中，是确定性事件的是（　　） A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 C. 投掷一枚骰子，向上一面的点数大于3 D. 任意画一个三角形，其外角和是360° 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且k为非负整数，则符合条件的k的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 为解决在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球的问题，小明画出如图所示的树状图．已知这些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球恰好是1个白球和1个黑球的结果共有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 5. 在x2□2xy□y2的空格□中,分别填上“+”或“-”,在所得的代数式中,能构成完全平方式的概率是( ) A. 1 B. C. D. 6. 某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x元，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中平分，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以大于长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接分别交于点E、F；第三步，连接，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点的坐标是，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，连结与相交于点H．给出下列结论， ①△ABE≌△DCF；②△DPH是等腰三角形；③；④， 其中正确结论的个数是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验（从中随机换出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为______．（填整十数） 12. 当x=______时，与的值相等． 13. 如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把球向远离灯的位置移动时，圆形阴影面积的大小的变化情况是________． 14. 如图，已知，若，，，则的长为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数的图象经过OABC的顶点C，则k=___． 16. 如图，在菱形中，，E，F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为_________．  三、解答题（共86分） 17. 解方程： 18. 如图，点E在正方形的边上，点F在边的延长线上，且．求证：． 19. 如图，在直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在x轴上方作的位似图形，与的相似比为，点A、B、C的对应点分别为； （2）在（1）的条件下，写出点的坐标． 20. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图． 解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 　 　人． （2）求被抽取学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图． （3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率． 21. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（）元． （1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出_____________个台灯（用含x的代数式表示）； （2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？ （3）台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？ 22. 如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足F． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）连接并延长交双曲线于点，连接，求的面积． 24. 如图，由绕点A按逆时针方向旋转得到，且点B的对应点D恰好落在的延长线上，相交于点P． （1）求的度数； （2）F是延长线上的点，且． ①判断和的数量关系，并证明； ②求证：． 25. 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点B、A，点P是y轴上一动点，PQ⊥AB于点Q，点A的坐标为（0，3）． （1）求直线AB的解析式； （2）若，求点P的坐标； （3）当P在y轴负半轴时，连接BP、OQ，分别取BP、OQ中点E、F，连接EF交PQ于点G，当OQBP时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末素养评估卷A（第一至第六章） （120分钟　150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 1，2，3，6 C. 2，3，4，5 D. 1，3，4，7 【答案】B 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 【详解】解：A.1：2≠3：4，故四条线段不成比例，不合题意； B.1：2=3：6，故四条线段成比例，符合题意； C.2：3≠4：5，故四条线段不成比例，不合题意； D.1：3≠4：7，故四条线段不成比例，不合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了比例线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段． 2. 下列事件中，是确定性事件的是（　　） A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 C. 投掷一枚骰子，向上一面的点数大于3 D. 任意画一个三角形，其外角和是360° 【答案】D 【解析】 【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，故A不符合题意； B．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件，故B不符合题意； C．投掷一枚骰子，向上一面的点数大于3是随机事件，故C不符合题意； D．任意画一个三角形，其外角和是360°是确定事件，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握其概念是解决此题关键． 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且k为非负整数，则符合条件的k的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到确定取值范围，结合k为非负整数，求解即可． 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵k为非负整数， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的一般式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 4. 为解决在甲、乙两个不透明口袋中随机摸球的问题，小明画出如图所示的树状图．已知这些球除颜色外无其他差别，根据树状图，小明从两个口袋中各随机取出一个球恰好是1个白球和1个黑球的结果共有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】A 【解析】 【分析】根据树状图展示的所有结果，找出恰好1个白球和1个黑球所占结果． 【详解】由树状图得，从两个口袋中各随机取出一个球共有6种等可能结果， 其中恰好1个白球和1个黑球只有1种结果． 故选：A． 【点睛】此题考查的是树状图的知识点，根据树状图展示的所有结果，找到符合条件的结果数是解题的关键． 5. 在x2□2xy□y2的空格□中,分别填上“+”或“-”,在所得的代数式中,能构成完全平方式的概率是( ) A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】能够凑成完全平方公式，则2xy前可是“－”，也可以是“＋”，但y2前面的符号一定是：“＋”，此题总共有(－，－)、(＋，＋)、(＋，－)、(－，＋)四种情况，能构成完全平方公式的有2种，所以概率为： . 故答案为C 点睛：让填上“＋”或“－”后成为完全平方公式的情况数除以总情况数即为所求的概率. 此题考查完全平方公式与概率的综合应用，注意完全平方公式的形式.用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比. 6. 某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x元，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据总利润=每盒的利润×销售量，而每盒的利润=售价-进价，再结合“每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份”即可得出答案． 【详解】解：每份盒饭涨价x元后，利润为(16+x-12)元， 销售量为(360-40x)盒， ∴可得方程为， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用．正确理解题意，根据题意找到等量关系是解题的关键． 7. 如图，在中平分，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接分别交于点E、F；第三步，连接，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质． 由基本作图得到垂直平分，则，，，再根据等腰三角形三线合一得到，则可判断四边形为菱形，所以，然后根据相似三角形的判定与性质可计算出． 【详解】解：由作法得垂直平分AD， ，，， 平分， ， ， ∴四边形为菱形， ， ， ， ， ， 解得：， ． 故选：B． 8. 正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点的坐标是，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形性质可得，，过点A作轴于点D，过点C作轴于点E，通过证明即可得出结论． 【详解】解 ：过点A作轴于点D，过点C作轴于点E， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A的坐标是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等是判定和性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形． 9. 如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】要求函数解析式只要求出点的坐标就可以，过点、作轴，轴，分别于、，根据条件得到，得到：，然后用待定系数法即可. 【详解】过点、作轴，轴，分别于、， 设点的坐标是，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 因为点在反比例函数的图象上，则， 点在反比例函数的图象上，点的坐标是， . 故选：. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，求函数的解析式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解析式. 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交于点，连结与相交于点H．给出下列结论， ①△ABE≌△DCF；②△DPH是等腰三角形；③；④， 其中正确结论的个数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】①利用等边三角形的性质以及正方形的性质得出∠ABE=∠DCF=30°，再直接利用全等三角形的判定方法得出答案； ②利用等边三角形的性质结合正方形的性质得出∠DHP=∠BHC=75°，进而得出答案； ③利用相似三角形的判定与性质结合锐角三角函数关系得出答案； ④根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD的面积=△BCP的面积+△CDP面积-△BCD的面积，得出答案． 【详解】∵△BPC是等边三角形， ∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD中， ∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°， 在△ABE与△CDF中，， ∴△ABE≌△DCF，故①正确； ∵PC=BC=DC，∠PCD=30°， ∴∠CPD=75°， ∵∠DBC=45°，∠BCF=60°， ∴∠DHP=∠BHC=18075°， ∴PD=DH， ∴△DPH是等腰三角形，故②正确； 设PF=x，PC=y，则DC=AB=PC=y， ∵∠FCD=30°， ∴即， 整理得： 解得：， 则，故③正确； 如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC， 设正方形ABCD的边长是4， ∵△BPC正三角形， ∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4， ∴∠PCD=30°， ∴， ， S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD ， ∴，故④正确； 故正确的有4个， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定等知识，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义表示出出FE及PC的长是解题关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验（从中随机换出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为______．（填整十数） 【答案】40 【解析】 【分析】由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33附近，据此可估计摸出球为红色的概率为0.33，再乘以球的总个数即可． 【详解】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33附近， 据此可估计摸出球为红色的概率为0.33， 所以袋中红色球的个数为120×0.33≈40（个）， 故答案为40． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 12. 当x=______时，与的值相等． 【答案】或6 【解析】 【分析】根据题意列出一元二次方程进行求解． 【详解】解： ， 解得，． 故答案是：或6． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． 13. 如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把球向远离灯的位置移动时，圆形阴影面积的大小的变化情况是________． 【答案】变小 【解析】 【分析】根据中心投影的特点：灯光下影子与物体离灯源距离有关，距离越大，影子越小即可得． 【详解】解：由中心投影的特点可知，当把球向远离灯的位置移动时，圆形阴影面积的大小的变化情况是变小， 故答案为：变小． 【点睛】本题考查了中心投影的特点和规律．解题的关键是熟练掌握中心投影的特点：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 14. 如图，已知，若，，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据，得：，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案：4 【点睛】此题考查平行线分线段成比例定理，属于基础题，解题的关键在于注意正确书写出比例关系． 15. 如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，1），B（1，2），反比例函数的图象经过OABC的顶点C，则k=___． 【答案】-2 【解析】 【分析】连接OB，AC，交点为P，根据O，B的坐标求解P的坐标，再根据平行四边形的性质：对角线互相平分即可求出则C点坐标，根据待定系数法即可求得k的值． 【详解】解：连接OB，AC，交点为P， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AP=CP，OP=BP， ∵O（0，0），B（1，2）， ∴P的坐标， ∵A（3，1）， ∴C的坐标为（-2，1）， ∵反比例函数（k≠0）的图象经过点C， ∴k=-2×1=-2， 故答案为-2． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，平行四边形的性质，求得C点的坐标是解答此题的关键． 16. 如图，在菱形中，，E，F分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为_________．  【答案】 【解析】 【分析】在的下方作，截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可． 【详解】解：如图，的下方作，截取，使得，连接，． 四边形是菱形，， ，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（共86分） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】该题考查了解一元二次方程，先移项，再提公因式，得到两个一元一次方程，解方程即可； 【详解】 ， ， 或， 18. 如图，点E在正方形的边上，点F在边的延长线上，且．求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，再证明即可得证． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ ∴． 19. 如图，在直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）以原点O为位似中心，在x轴上方作的位似图形，与的相似比为，点A、B、C的对应点分别为； （2）在（1）的条件下，写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，并延长到，使；连接，并延长到，使；连接，并延长到，使；再连接、、即可． （2）根据所画图形即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 解：由图可得点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了作图-位似变换，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 20. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图． 解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 　 　人． （2）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图． （3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率． 【答案】（1）80 （2）32人，图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用学生成绩在B：70≤x＜80组的人数除以20%，即可求解； （2）先求出学生成绩在C：80≤x＜90组的人数，即可求解； （3）把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁，根据题意，画树状图可得共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的学生共有：16÷20%＝80（人）， 故答案为：80； 小问2详解】 解：被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有：80﹣8﹣16﹣24＝32（人）， 补全的条形统计图如下所示： 【小问3详解】 把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁， 根据题意，画树状图如下： 共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种， ∴九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率为：． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，用树状图或列表法求概率，明确题意，从统计图中准确获取信息是解题的关键． 21. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（）元． （1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出_____________个台灯（用含x的代数式表示）； （2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？ （3）台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？ 【答案】（1） （2）这种台灯的售价应定50元，这时应进台灯500个 （3）台灯售价定为60元时，每月销售利润最大 【解析】 【分析】（1）根据“售价每上涨1元，其销售量就将减少10个”，即可解答； （2）根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可； （3）设每月销售利润为W，根据总利润=单件利润×数量，列出函数表达式，化为顶点式，根据二次函数的增减性，即可解答． 【小问1详解】 解：售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个台灯， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴这种台灯的售价为（元）， 销售数量为（个）， 答：这种台灯的售价应定50元，这时应进台灯500个． 【小问3详解】 解：设每月销售利润为W， ， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∵， ∴当时，售价为（元），W取最大值，此时， 答：台灯售价定为60元时，每月销售利润最大． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数表达式，熟练掌握二次函数性质． 22. 如图，在矩形中，，，点E在边上，，垂足为F． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质和矩形的性质，勾股定理： （1）先根据矩形的性质得，，然后利用得到，最后结合，即可证明； （2）先利用矩形的性质得到，再利用勾股定理得出，由得，可求出． 【小问1详解】 证明：四边形为矩形， ，， ， ， ， ，， ； 【小问2详解】 解：四边形为矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ，即， 解得， 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）连接并延长交双曲线于点，连接，求的面积． 【答案】（1）， （2）或 （3）8 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把的坐标代入求出点的坐标，把的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图象和的坐标即可得出答案； （3）过点作轴，交直线于，求出点的坐标，即可求得，然后根据，即可求出答案． 【小问1详解】 解：把代入得：， 反比例函数的解析式是， 代入反比例函数得：， 的坐标是， 把的坐标代入一次函数y＝k1x+b得：， 解得：， 一次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：从图象可知： ， 的的取值范围是当或； 【小问3详解】 解：过点作轴，交直线于， ， ，关于原点对称， ， 把代入得，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用． 24. 如图，由绕点A按逆时针方向旋转得到，且点B的对应点D恰好落在的延长线上，相交于点P． （1）求的度数； （2）F是延长线上的点，且． ①判断和的数量关系，并证明； ②求证：． 【答案】（1） （2）①，证明见解析②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，得出，进而得出，求出结果； （2）①由旋转的性质得出，，进而得出，再根据已知条件得出，最后得出结论即可； ②过点作交于点，得出，由全等得出，，最后得出结果． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可知，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①． 证明：由旋转的性质可知，，， 在中，， ∵，， ∴， 即， ∴． ②过点作交于点， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识，解题的关键是熟练运用这些性质． 25. 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点B、A，点P是y轴上一动点，PQ⊥AB于点Q，点A的坐标为（0，3）． （1）求直线AB的解析式； （2）若，求点P的坐标； （3）当P在y轴负半轴时，连接BP、OQ，分别取BP、OQ的中点E、F，连接EF交PQ于点G，当OQBP时，求证：． 【答案】（1）；（2）或；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入求解即可； （2）由题意易得，，∽，则根据题意可分①当点在轴的左侧时，②当点在轴的右侧时；然后根据相似三角形的性质可进行求解； （3）连接、，则有在中，是斜边边上的中线，可得，进而可证∽，则由，然后根据线段的等量关系可求解． 【详解】解：（1）∵直线经过点， ∴， ∴直线的解析式为； （2）在中，令，则，， 由（1）得：，，在中，由勾股定理得：， ①当点在轴的左侧时，如图， ∵，， ∴， 又， ∴∽， ∴， ∵， ∴． ∴，解得：， ∴， ∴点P的坐标为； ②当点在轴的右侧时， 同①可得：， ∴， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或； （3）如图，连接、． 在中，是斜边边上的中线， ∴，同理， ∴，即是等腰三角形． 又是的中线， ∴． ∴， ∵∥， ∴， 又， ∴∽， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及一次函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定及一次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$