精品解析：福建省泉州市鲤城区泉州五中2024—2025学年上学期第二次月考九年级数学试卷

福建省泉州市鲤城区泉州五中初三上学期数学第二次月考试卷 （测试时间：120分钟；全卷满分：150分）（2024.10.25） 一、选择题（共10小题每小题4分，共40分） 1. 以下事件属于必然事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 旭日东升 2. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则的正弦值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的3倍 C. 不变 D. 不能确定 4. 已知两个三角形相似，它们的对应高之比为，则它们的周长比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，则cosB==（　　） A. B. C. D. 6. ∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象过点和，有以下结论：；；；；.其中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，则_____． 12. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是______． 13. 已知三点都在二次函数的图像上，则的大小关系为________． 14. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为__________． 15. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD=3AE，CF=6，则AC的长为_____． 16. 如图，正方形ABCD的边长为，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积= ． 三、解答题（共10小题） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 如图，平分，D为上一点，．若D为中点，，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，请解答下列问题： （1）以原点O为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为； （2）求出的面积． 20. 如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若． （1）求的长； （2）求的正切值． 21. 某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ； （2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率． 22. 台风会引起城市积涝、山体滑坡等严重灾害，为降低台风贝碧嘉的影响，A市实时跟踪其运动状态，气象站测得台风中心在其正南方向800千米的B处，以60千米/时的速度向北偏西的方向移动，已知距台风中心500千米范围内是受台风影响的区域． （1）A市是否会受到台风的影响？请说明理由； （2）如果A市受这次台风影响，那么影响的时间有多长？ 23. 为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． （1）求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； （2）待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点处，并说明理由； （3）若消防员从点前进米到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，直接写出的值， ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 24. 已知，过点A作，，垂足分别为F，G，连接． （1）如图1：延长、，与直线相交于M、N，若、分别是的外角平分线，试说明：； （2）如图2，若、分别是的内角平分线，则线段与三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想； （3）如图3，若为的内角平分线，为的外角平分线，直接写出线段与三边的数量关系是 ． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）． （1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省泉州市鲤城区泉州五中初三上学期数学第二次月考试卷 （测试时间：120分钟；全卷满分：150分）（2024.10.25） 一、选择题（共10小题每小题4分，共40分） 1. 以下事件属于必然事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 旭日东升 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查事件的分类问题，理解必然事件的概念，必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，和不可能事件统称为确定事件，由此即可求解． 【详解】解：根据必然事件的定义，“旭日东升”是每天必然发生的事件， 故选：D． 2. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：C． 3. 在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的3倍，则的正弦值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的3倍 C. 不变 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义解答即可． 【详解】解：∵中，，将各边长度都扩大为原来的3倍，其比值不变， ∴的正弦值不变． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数的表示以及求值，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 4. 已知两个三角形相似，它们的对应高之比为，则它们的周长比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对应高之比等于相似比，周长之比等于相似比解答即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：相似三角形的对应高之比为， ∴相似三角形的相似比为， ∴它们的周长比为， 故选：． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，则cosB==（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键． 6. ∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接CD，再利用勾股定理分别计算出AD、AC、BD的长，然后再根据勾股定理逆定理证明∠ADC=90°，再利用三角函数定义可得答案． 【详解】连接CD，如图： ，CD=，AC= ∵，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC==． 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是证明∠ADC=90°． 7. 如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了，此时小球距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角函数—坡度问题，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．过点作，垂足为，根据题意可得，，设，则，由勾股定理，列方程即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为， 根据题意得：，， 设，则， 由勾股定理， 得：， 解得：（负值已舍去）， 故选：D． 8. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象的综合．本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致即可判断． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项正确； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，即，，故本选项错误． 故选：B． 9. 如图，中，，，点B的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，当点O对应点C在上时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点D作轴于点E，证明是等边三角形，即得出，，从而可求出，再结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点D作轴于点E， ∵， ∴． 由旋转的性质可知，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查旋转变换，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，坐标与图形等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 10. 如图，二次函数的图象过点和，有以下结论：；；；；.其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用图象信息即可判断；根据时， 即可判断；根据是方程 的根，结合两根之积即可判断；根据两根之和可得代入即可判断，根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， ∵时，， ∴，即，故正确， ∵二次函数的图象过点和， ∴，， ∴ ∴，故正确， ∵， ∴， ∴， ∵ ，故正确， 当时，， 又∵图象过点和， ∴当时，，， 则 ∴ ∴，故正确， 综上正确， 故选：． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，掌握如果四条线段a，b，c，d满足，则四条线段a，b，c，d称为比例线段．根据成比例线段的定义可得出，求解即可． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴，即， ∴ 故答案为：8． 12. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键； 根据公式计算即可． 【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，一共有种等可能性，黑色棋子，有种等可能性， ∴摸到黑色棋子的概率是， 故答案为： 13. 已知三点都在二次函数的图像上，则的大小关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据解析式可得图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为，由离对称轴越远，值越小即可求解． 【详解】解：二次函数， ∴，顶点坐标为，对称轴为， ∵， ∴二次函数图象开口向下， 点在函数图象上， ∴， ∵离对称轴越远函数值越小， ∴， 故答案为：． 14. 如图，的顶点在抛物线上，将绕点O顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点P，则点P的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意求得P的纵坐标是解题的关键．先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得， 且轴，从而求得的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得的坐标． 【详解】解：的顶点在抛物线上， ， 解得， 抛物线为， 点， 将绕点顺时针旋转， 得到， 点 在轴上，且， 轴， 点的纵坐标为2， 代入， 得， 解得， 故答案为． 15. 如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD=3AE，CF=6，则AC的长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】利用“一锐角为30°的直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”，通过等量代换可得. 【详解】 解： AC与DE相交于G，如图， ∵为等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°， ∵DE⊥AE， ∴∠AGE=30°， ∴∠CGD=30°， ∵∠ACB=∠CGD+∠D， ∴∠D=30°， ∴CG=CD， 设AE=x，则CD=3x，CG=3x， 在中，AG=2AE=2x， ∴AB=BC=AC=5x， ∴BE=4x，BF=5x﹣6， 在中，BE=2BF， 即4x=2（5x﹣6），解得x=2， ∴AC=5x=10． 故答案为10． 【点睛】直角三角形的性质，30°所对的直角边等于斜边的一半为本题的关键. 16. 如图，正方形ABCD的边长为，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积= ． 【答案】8． 【解析】 【分析】首先连接DF，由四边形ABCD是正方形，可得△BFN∽△DAN，又由E，F分别是AB，BC的中点，可得=2，△ADE≌△BAF（SAS），然后根据相似三角形的性质与勾股定理，可求得AN，MN的长，即可得MN：AF的值，再利用同高三角形的面积关系，求得△DMN的面积． 【详解】连接DF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD=BC=， ∴△BFN∽△DAN， ∴， ∵F是BC的中点， ∴， ∴AN=2NF， ∴， 在Rt△ABF中， ∴， ∵E，F分别是AB，BC的中点，AD=AB=BC， ∴， ∵∠DAE=∠ABF=90°， 在△ADE与△BAF中， ， ∴△ADE≌△BAF（SAS）， ∴∠AED=∠AFB， ∴∠AME=180°-∠BAF-∠AED=180°-∠BAF-∠AFB=90°． ∴， ∴， ∴． 又， ∴． 故答案为：8． 三、解答题（共10小题） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数的混合运算，因式分解法求一元二次方程， （1）根据特殊角的三角函数值的计算方法得出三角函数值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）移项，提取公因式，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 移项得， 提取公因式得，， ∴， ∴或， 解得，． 18. 如图，平分，D为上一点，．若D为中点，，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，由中点的定义可得出，证明，由相似三角形的性质得出，代入即可得出． 【详解】解：∵D为中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，请解答下列问题： （1）以原点O为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为； （2）求出的面积． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）10 【解析】 【分析】此题考查画位似图形，求三角形的面积，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键： （1）根据位似的性质确定对应点，顺次连线即可得到； （2）利用“割补法”求面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 20. 如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若． （1）求的长； （2）求的正切值． 【答案】（1）7 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质： （1）根据锐角三角函数可得的长，从而得到的长，再由，可得，即可求解； （2）过点A作于点F，根据，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ， ∴． 【小问2详解】 解：过点A作于点F，如图所示． ∵是边上的中线， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． 21. 某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ； （2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案； （2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，画好树状图，利用概率公式计算即可． 【详解】解：（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为， 故答案为： （2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为， 画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级的有种可能， 所以：两名同学均来自八年级的概率 【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，以及利用画树状图求解复杂的随机事件的概率，掌握求概率的基本方法是解题的关键． 22. 台风会引起城市积涝、山体滑坡等严重灾害，为降低台风贝碧嘉的影响，A市实时跟踪其运动状态，气象站测得台风中心在其正南方向800千米的B处，以60千米/时的速度向北偏西的方向移动，已知距台风中心500千米范围内是受台风影响的区域． （1）A市是否会受到台风的影响？请说明理由； （2）如果A市受这次台风影响，那么影响的时间有多长？ 【答案】（1） A市会受到台风的影响，理由如下： 过点A作于点C， 在中，，千米， 千米500千米， A市会受到台风的影响； （2）A市受这次台风影响的时间为10小时 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用和含角的直角三角形，根据题意正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作于点C，根据题意得出的长，进而得出答案； （2）以点A为圆心，500千米为半径画圆交于点D、E，首先求出的长，进而得出的长，因此可求得A市受这次台风影响的时间． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点A为圆心，500千米为半径画圆交于点D、E， 在中，（千米）， （千米）， A市受这次台风影响的时间为：（小时） 23. 为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． （1）求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； （2）待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点处，并说明理由； （3）若消防员从点前进米到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，直接写出的值， ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 【答案】（1）； （2）能达点处，理由如下： 由题意知，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移个单位得到 ， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令，可得， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线经过， ∴水流能到达点处； （3）． 【解析】 【分析】（）根据函数项点坐标且过，可设抛物线解析式为，再用待定系数法解答即可求解； （）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，求出的值即可判断求解； （）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解； 本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得消防员第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为，将点代入得， ， 解得， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得，消防员从点前进到点(水流从点射出)处，可以看成把第一次抛物线向左平移个单位得到， ∴消防员到点处时水流所在抛物线的解析式为， ∵水流未达到最高点且恰好到达点处， ∴过点，且对称轴， ∴， 将点代入得，， 解得或（不合，舍去）， ∴， 故答案为：． 24. 已知，过点A作，，垂足分别为F，G，连接． （1）如图1：延长、，与直线相交于M、N，若、分别是的外角平分线，试说明：； （2）如图2，若、分别是的内角平分线，则线段与三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想； （3）如图3，若为的内角平分线，为的外角平分线，直接写出线段与三边的数量关系是 ． 【答案】（1） 解：∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据证明，推出，，同理，，然后根据中位线的性质即可得出答案； （2）延长，，与直线分别交于点M，N，与（1）类似可以证出答案； （3）延长，，与直线分别交于点M，N，与（1）方法类同即可证出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：猜想：． 证明：如图2，延长，，与直线分别交于点M，N． ∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． 【小问3详解】 解： 如图3，延长，，与直线分别交于点M，N． ∵， ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴，． 同理，，， ∴是的中位线， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的性质和判定，三角形中位线的判定以及性质等知识点，解此题的关键是作辅助线构造全等三角形求解． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a、b为常数，）． （1）若抛物线与轴交于、两点，求抛物线对应的函数表达式； （2）如图，当时，过点、分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接．求证：平分； （3）当，时，过直线上一点作轴的平行线，交抛物线于点．若的最大值为4，求的值． 【答案】（1） （2） 解：连接， ， ． 当时，，即点，当时，，即点． ，， ，，， 在中，． ， ， ． ， ． ． 平分． （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，根据题意，求得，，进而求出，，利用勾股定理求出，求出，从而得到，结合平行线的性质即可证明结论； （3）设，则，，求出当时，，得到点在的上方，设，故，其对称轴为，分为和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：分别将，代入， 得， 解得． 函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，则，． 当时，． 令， 解得，． ， ， 点在的上方（如图1）． 设， 故， 其对称轴为，且． ①当时，即． 由图2可知： 当时，取得最大值． 解得或（舍去）． ②当时，得， 由图3可知： 当时，取得最大值． 解得（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $