浙江省杭州市上城区景芳中学2023—2024学年上学期期中考试八年级数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市上城区景芳中学八年级（上）期中数学试卷 一、选择题。（10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．（3分）下列长度（单位的线段不能组成三角形的是　　 A．3，3，3 B．3，5，5 C．3，4，5 D．3，5，8 3．（3分）已知图中的两个三角形全等，则的度数是　　 A． B． C． D． 4．（3分）如果等腰三角形的两边长分别3和6，则它的周长为　　 A．9 B．12 C．15 D．12或15 5．（3分）在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的　　 A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边中垂线的交点 6．（3分）不等式的解集在数轴上表示为　　 A． B． C． D． 7．（3分）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是　　 A． B． C． D． 8．（3分）在中，，，边上的高，则另一边等于　　 A．10 B．8 C．6或10 D．8或10 9．（3分）如图，，点，分别在，上运动（不与点重合），平分，的反向延长线与的平分线交于点，在，的运动过程中，的度数　　 A．变大 B．变小 C．等于 D．等于 10．（3分）如图，，，，四个点顺次在直线上，，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．连结，，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则与需满足　　 A． B． C． D． 二、填空题。（6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）已知：△的三个内角满足，则△是 　　三角形．（填“锐角”、“直角”、“钝角” 12．（4分）请用不等式表示“的4倍与3的和不大于2”：　　． 13．（4分）如图，，要使，还需添加一个条件是 　　（只需写出一种情况） 14．（4分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 　　． 15．（4分）已知关于的不等式的解集是，则的取值范围是 　　． 16．（4分）等边中，射线上有一点，连结，以为边向上作等边，连结和，下列结论：①；②与直线夹的锐角为；③当在射线上时，总有；④当时，，正确的结论序号有 　　． 三、解答题。（8小题，共66分） 17．（6分）小英解不等式的过程如下，其中有一个步骤出现错误，请指出这个错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：①， 去括号得：②， 移项得：③， 合并同类项得：④， 两边都除以得：⑤． 18．（8分）如图，已知，，． （1）用直尺和圆规作出的角平分线交于点，作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，若，求的度数． 19．（8分）解不等式，并把解集表示在数轴上． （1）； （2）． 20．（10分）如图，已知△的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将△向下平移6个单位得△，画出图形，并直接写出点的坐标； （2）作△关于轴的轴对称图形，得△，画出图形，并直接写出点的坐标． 21．（10分）如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，试求的长． 22．（12分）如图，已知在△中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求的长． （2）出发几秒钟后，恰好平分△的周长． （3）当为何值时，△为等腰三角形？ 23．（12分）已知：和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，摆放和时（点、、在同一条直线上，点在上），连接、．求线段与的数量关系，位置关系．（直接写出答案） （2）如图2，摆放和时，连接、，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图3，摆放和时，连接、．若有，试求的度数． 2023-2024学年浙江省杭州市上城区景芳中学八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题。（10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（3分）下列长度（单位的线段不能组成三角形的是　　 A．3，3，3 B．3，5，5 C．3，4，5 D．3，5，8 【分析】判断三角形能否构成，关键是看三条线段是否满足：任意两边之和是否大于第三边，但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较． 【解答】解：，能构成三角形，故此选项不合题意； ，能构成三角形，故此选项不合题意； ，能构成三角形，故此选项不符合题意； ，不能构成三角形，故此选项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和小于最大的数就可以． 3．（3分）已知图中的两个三角形全等，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案． 【解答】解：图中的两个三角形全等， 与，与分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角， ． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应角相等是解题的关键． 4．（3分）如果等腰三角形的两边长分别3和6，则它的周长为　　 A．9 B．12 C．15 D．12或15 【分析】由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的周长的定义计算即可求解． 【解答】解：等腰三角形的两边长分别是3和6， ①当腰为6时，三角形的周长为：； ②当腰为3时，，三角形不成立； 此等腰三角形的周长是15． 故选：． 【点评】此题主要考查了三角形的周长的计算，也利用了等腰三角形的性质，同时也利用了分类讨论的思想． 5．（3分）在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的　　 A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边中垂线的交点 【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【解答】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边中垂线的交点上． 故选：． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键． 6．（3分）不等式的解集在数轴上表示为　　 A． B． C． D． 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：去括号得，， 移项得，， 系数化为1得，． 在数轴上表示为： ． 故选：． 【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键． 7．（3分）如图，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】．由作法知，可判断；．由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断；由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断；．由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到，可判断． 【解答】解：．由作法知， 是等腰三角形，故选项不符合题意； ．由作法知所作图形是线段的垂直平分线， 不能推出和是等腰三角形，故选项符合题意； ．由作法知，所作图形是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形，故选项不符合题意； ．，， ， 由作法知是的平分线， ， ， 是等腰三角形，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键． 8．（3分）在中，，，边上的高，则另一边等于　　 A．10 B．8 C．6或10 D．8或10 【分析】分两种情况考虑，如图所示，垂足在线段上或在线段的延长线上两种情况，利用勾股定理求出与的长，即可求出的长． 【解答】解：根据题意画出图形，如图所示， 如图1所示，，，， 在和中， 根据勾股定理得：，， 此时； 如图2所示，，，， 在和中， 根据勾股定理得：，，此时， 则的长为6或10． 故选：． 【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 9．（3分）如图，，点，分别在，上运动（不与点重合），平分，的反向延长线与的平分线交于点，在，的运动过程中，的度数　　 A．变大 B．变小 C．等于 D．等于 【分析】根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：平分，平分， ，， 又是的外角， ， 即， ， 又是的外角， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查角平分线，三角形的内角和，理解角平分线的定义，掌握三角形内角和定理及推论是解决问题的前提． 10．（3分）如图，，，，四个点顺次在直线上，，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．连结，，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则与需满足　　 A． B． C． D． 【分析】过点作于点．过点作于，分别利用直角三角形的性质和勾股定理求出和，然后设，分别表示出与的面积，再将二者相减得到关于的代数式，因为变化时，不变，所以的系数为0，则可得到与的关系式． 【解答】解：过点作于点，过点作于， 是等腰直角三角形，， ， ，，， ， 在中， ， 设， 则， ， ， 当的长度变化时，始终保持不变， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质及三角形的面积计算，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解题的关键． 二、填空题。（6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）已知：△的三个内角满足，则△是 　锐角　三角形．（填“锐角”、“直角”、“钝角” 【分析】利用三角形的内角和定理列方程求解即可． 【解答】解：已知在△中，， 设，根据三角形的内角和定理，得： ， 解得， ，，， △是锐角三角形． 故答案为：锐角． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解答本题的关键． 12．（4分）请用不等式表示“的4倍与3的和不大于2”：　 　． 【分析】根据“的4倍与3的和不大于2”，可得出关于的一元一次不等式，此题得解． 【解答】解：根据题意得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 13．（4分）如图，，要使，还需添加一个条件是 　或或或　（只需写出一种情况） 【分析】由于，加上公共边，则根据全等三角形的判定方法可添加条件． 【解答】解：，， 当添加时，可根据“”判断； 当添加时，可根据“”判断； 当添加时，可根据“”判断； 当添加时，则或，可根据“”或“”判断． 故答案为：或或或． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件． 14．（4分）命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 　两个角相等三角形是等腰三角形　． 【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题． 【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”． 【点评】根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题． 15．（4分）已知关于的不等式的解集是，则的取值范围是 　　． 【分析】由不等式的性质得出，则可得出答案． 【解答】解：的解集是， 不等号的方向已改变， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了不等式的基本性质．含有字母系数的不等式是近年来中考的热点问题，解题的关键是根据原不等式和给出的解集的情况确定字母系数的取值范围，为此需熟练掌握不等式的基本性质，它是正确解一元一次不等式的基础． 16．（4分）等边中，射线上有一点，连结，以为边向上作等边，连结和，下列结论：①；②与直线夹的锐角为；③当在射线上时，总有；④当时，，正确的结论序号有 　①②④　． 【分析】利用，可以证明①②正确，③错误，当时，易知，根据即可判断④正确． 【解答】解：如图，设交于． ，都是等边三角形， ，，， ， ， ，，故①正确， ， ， 与的夹角为，故②正确， ，， ，故③错误， 当时，易证， ， 故④正确， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题。（8小题，共66分） 17．（6分）小英解不等式的过程如下，其中有一个步骤出现错误，请指出这个错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：①， 去括号得：②， 移项得：③， 合并同类项得：④， 两边都除以得：⑤． 【分析】先根据题目中的解答过程，可以发现第①步出错了，然后根据解一元一次不等式的方法解答即可． 【解答】解：由题目中的解答过程可知，第①步出错了， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【点评】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 18．（8分）如图，已知，，． （1）用直尺和圆规作出的角平分线交于点，作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，若，求的度数． 【分析】（1）以点为圆心，以合适长度为半径画弧交、于点、，再以、为圆心，以大于一半的长度为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，即可； （2）先求出，再根据平分，可得，问题得解． 【解答】解：（1）作图如下， 点即为所求； （2）在中，，， ， 平分， ． 【点评】本题主要考查了角平分线的尺规作图，直角三角形中两锐角互余等知识，掌握角平分线的尺规作图方法是解答本题的关键． 19．（8分）解不等式，并把解集表示在数轴上． （1）； （2）． 【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：（1）， ， ， ， 则， 将解集表示在数轴上如下： （2）， ， ， ， ， 则， 将解集表示在数轴上如下： 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 20．（10分）如图，已知△的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将△向下平移6个单位得△，画出图形，并直接写出点的坐标； （2）作△关于轴的轴对称图形，得△，画出图形，并直接写出点的坐标． 【分析】（1）分别作出、、的对应点、、即可； （2）分别作出、、的对应点、、即可； 【解答】解：（1）将△向下平移6个单位得△，如图所示，点的坐标； （2）作△关于轴的轴对称图形，得△，如图所示，点的坐标； 【点评】本题考查作图平移变换，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21．（10分）如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，试求的长． 【分析】（1）利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得结论； （2）由题意可得，再由全等三角形性质可得，即可求得答案． 【解答】（1）证明：是边上的中线， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，难度较小，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 22．（12分）如图，已知在△中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求的长． （2）出发几秒钟后，恰好平分△的周长． （3）当为何值时，△为等腰三角形？ 【分析】（1）根据题意求出，再根据勾股定理计算，得到答案； （2）根据题意用表示出、，根据三角形的周长公式列出方程，解方程得到答案； （3）分在上、时、在上、、在上，时、在上，时四种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）从点开始，按，且速度为2， 出发2秒后，， 由勾股定理得：； （2）设秒后，恰好平分△的周长， 此时，，， 由题意可知，点不可能位于线段和上，点一定在线段上， 则， 解得：； （3）①当在上、时，， 解得：； ②当在上、时，， 则， 解得：； ③当在上，时， 如图1，过点作交于，则， ，， ， ， ， ， 解得：； ④当在上，时， 如图2，过点作于，则， ， ， 解得：， ， ， 解得：， 综上可得：或6或6.5或5.4时，△为等腰三角形． 【点评】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的概念和性质，掌握等腰三角形的概念、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 23．（12分）已知：和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，摆放和时（点、、在同一条直线上，点在上），连接、．求线段与的数量关系，位置关系．（直接写出答案） （2）如图2，摆放和时，连接、，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图3，摆放和时，连接、．若有，试求的度数． 【分析】（1）延长交于，根据，即可得出，，进而得到，即； （2）根据和是等腰直角三角形，判定，即可得到，，再延长交于点，根据三角形内角和定理，得出，即可得到； （3）连接，利用全等三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：（1）如图1，延长交于， 根据等腰直角三角形和等腰直角三角形， 可得，，， 在与中 ， ，， 又，， ， ，即， 故线段与的数量关系是，位置关系是． 故答案为：，． （2）结论，仍然成立． 和是等腰直角三角形，， ，， 又，， ， 在和中， ， ， ，， 延长交于点，交于点，如图2， 在和中， ，， ， 即； （3）连接，如图3， 和是等腰直角三角形，， ，， 又，， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ，，， ， ， 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及全等三角形，根据三角形内角和等于以及全等三角形的对应边相等进行推导． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/28 1:06:44；用户：佩服还小飞飞；邮箱：orFmNt06nLZ6osDiSU3_grzcMSxM@weixin.jyeoo.com；学号：26025303 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$