精品解析：广东省广州市第十六中学2025届高三上学期教学质量检测（一）（10月）数学试卷

2024学年广州市第十六中学高三年级教学质量检测（一） 数学（问卷） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 将函数的图像向右平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，若，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且与夹角不大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4 8. 设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 是以为周期的函数 C. 的图象关于直线对称 D. 时，的最大值为 10. 如图，设正方体的棱长为，点是的中点，点为空间内两点，且，则（ ） A. 若平面，则点与点重合 B. 设，则动点的轨迹长度为 C. 平面与平面的夹角的余弦值为 D. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 11. 设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的取值范围为 C. 为奇函数 D. 方程仅有6个不同实数解 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，是函数的两个零点，且，当时，最小值与最大值之和为________． 13. 已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）． 14. 已知函数，若且，则的最大值为__________． 四、解答题（共77分） 15. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求角； （2）射线绕点旋转交线段于点，且，求的面积的最小值. 16. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. （2）若在只有一个零点，求. 17. 如图，在正三棱柱中，底面的边长为1，P为棱上一点． （1）若，P为的中点，求异面直线与所成角的大小； （2）若，设二面角、的平面角分别为、，求的最值及取到最值时点P的位置． 18. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求“共轭点对”中点所在直线的方程； （3）设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于. 19. 无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是． （1）写出这个数列的前7项； （2）如果且，求m，n的值； （3）记，，求一个正整数n，满足． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年广州市第十六中学高三年级教学质量检测（一） 数学（问卷） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数满足，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算结合模长公式进行求解. 【详解】由题意得， 所以， 故选：B. 2. 将函数的图像向右平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得曲线为，又关于轴对称，所以，根据即可得解. 【详解】曲线为， 又关于轴对称，所以， 解得，又， 所以当时，的最小值为. 故选：B 3. 已知数列满足，若，则数列的前10项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由递推关系求出，再由裂项相消法求的前10项和即可. 【详解】因为， 所以， 两式相减可得，即， 所以， 所以. 故选：D 4. 已知向量，，且与夹角不大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标运算和向量夹角公式可表示出，根据夹角的范围知，由此构造不等式求得结果. 【详解】由题意得：，， ， 设与夹角为，则， ，，即， ，解得：，即的取值范围为. 故选：. 【点睛】本题考查根据向量夹角的范围求解参数范围的问题，关键是熟练应用向量的坐标运算和向量夹角公式；注意两个向量所成角的范围为. 5. 已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，数形结合得到当时，直线被圆截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值. 【详解】直线， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故选：A. 6. 已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的右焦点为，求出渐近线方程，设F关于的对称点为，由中点坐标公式和两直线垂直的条件列出方程，化简整理即可求解． 【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：， 设F关于的对称点为， 由题意可得，解得， 又点M在双曲线上，则， 整理得：，得离心率， 故选：D 7. 如图，边长为2的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的数量积求出，再利用三棱锥体积公式计算即得. 【详解】取中点，连接，则， 而平面， 于是平面，，， 又，则， 解得，，而，则， ， 所以三棱锥的体积为. 故选：C 8. 设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将原不等式转化为恒成立，先判断得出恒成立，结合不等式的基本性质可得恒成立，进而求解即可. 【详解】，即， 因为，所以，即恒成立， 令，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 因为，所以， 若时，不等式恒成立，则恒成立， 若时，，恒成立，则也成立， 所以当时，恒成立，所以得，即， 设 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，所以，即正实数的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：运用同构的基本思想将原不等式转化为恒成立，再运用不等式的性质，先得出恒成立，再运用导数讨论恒成立进而求出结果. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 是以为周期的函数 C. 的图象关于直线对称 D. 时，的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由正弦函数的奇偶性即可判断；对于B，判断是否成立即可；对于C，判断是否成立即可；对于D，可得时，单调递增，由此即可得解. 【详解】对于A ，的定义域为，关于原点对称， 且， 所以为奇函数，故A正确； 对于B，， 即不是以为周期的函数，故B错误； 对于C，， ， ，即的图象不关于直线对称，故C错误； 对于D，时，均单调递增函数， 则此时也单调递增， 所以时，单调递增，其最大值为，故D正确． 故选：AD． 10. 如图，设正方体的棱长为，点是的中点，点为空间内两点，且，则（ ） A. 若平面，则点与点重合 B. 设，则动点的轨迹长度为 C. 平面与平面的夹角的余弦值为 D. 若，则平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】假设点不与重合，根据平面，平面，可得，而，故假设不成立，A正确；根据已知判断出动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆的，，进而判断选项B；建立空间直角坐标系，利用向量法求解面面夹角余弦值即可判断选项C；根据已知条件做出图形，即可求出面积判断选项D. 【详解】由正方体的性质知，平面， 若点不与重合，因为平面， 则，与矛盾， 故当平面时，点与重合，故A正确； 因为， 所以点在平面上， 因为， 所以， 则动点的轨迹是以点为圆心， 以为半径的圆的，故其长度为，故B正确； 对于C，以点为坐标原点， 分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以. 设平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 则得， 令，，所以， 同理结合得， 因为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为，故C错误； 对于D，过的直线分别交的延长线于点， 然后再分别连接，交侧棱于点， 交侧棱于点，连接和，如图所示： 则得截面为五边形， 易求， ，故， 所以， ， 所以五边形的面积，故D正确. 故选：ABD 11. 设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，的取值范围为 C. 为奇函数 D. 方程仅有6个不同实数解 【答案】BC 【解析】 【分析】根据和可得的图象关于对称，且周期为8，并得到在一个周期所有解析式，作出图象逐一判断即可. 【详解】由可得：的图象关于对称，所以， 又因为，所以， 故，所以的周期为8， 令，则，所以， 令，则，所以 令，则，所以 所以得到在一个周期内所有解析式， 作出在图象并根据周期补充在的图象如下所示： 对于A，，故A不正确； 对于B，当 时，由图可知，故B正确； 对于C，的图象可以由的图像向左平移三个单位， 从而得到图象关于原点对称，故为奇函数，即C正确； 对于D，在同一坐标系作出的图象如下图： 当时，，当时，，由图可知有5个交点， 所以D不正确. 故选：BC 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，是函数的两个零点，且，当时，最小值与最大值之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角函数恒等变换将函数化为的形式，再由可得的两个零点为，再结合可求出函数的最小正周期，从而可求出，进而可求得结果. 【详解】 ， 由，得，得， 因为是函数的两个零点，且， 所以的最小正周期为，所以，得， 所以， 由，得，则， 所以，得， 所以， 所以最小值与最大值之和为， 故答案为：. 13. 已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，2次检测结束的概率为， 3次检测结束的概率为， 则恰好检测四次停止的概率为. 14. 已知函数，若且，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用导数分析的图象性质，结合图象可知，从而将转化为，再利用导数即可得解. 【详解】因为， 当时，，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，且当时，， 而当时，是一次函数， 所以的大致图象如下： 因为，为使取得最大值，必然异号， 不妨设，同时结合图象可知，其中满足， 由于，所以， 所以，即， 所以， 令，则， 当时，，单调递增减； 当时，，单调递减； 由于，所以， 则的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于将问题转化为的最值问题，利用导数即可得解. 四、解答题（共77分） 15. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求角； （2）射线绕点旋转交线段于点，且，求的面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化角后，利用三角形内角和公式及两角和的正弦公式计算即可得； （2）借助等面积法计算可得，利用基本不等式可得， 利用面积公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 则， 即 则， 且， ，； 【小问2详解】 由和，可知， 因为， 所以， 又因为， 所以，即， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以， 所以的面积的最小值为. 16. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值. （2）若在只有一个零点，求. 【答案】（1）极小值，无极大值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，结合几何意义求出，再分析单调性求出极值. （2）由函数零点的意义，等价变形得在只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得，， 依题意，，则，， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点， 设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解， 即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点， 令，求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在取得极小值同时也是最小值， 当时，；当时，， 画山大致的图象，如图， 在只有一个零点时，， 所以在只有一个零点吋，. 17. 如图，在正三棱柱中，底面的边长为1，P为棱上一点． （1）若，P为的中点，求异面直线与所成角的大小； （2）若，设二面角、的平面角分别为、，求的最值及取到最值时点P的位置． 【答案】（1） （2）P为的中点时，取得最大值 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，易知，则为异面直线与所成的角求解； （2）分别取，的中点，，连接，，，根据正三棱柱，易证为二面角的平面角，为二面角的平面角求解. 【小问1详解】 解：如图所示： 取的中点，连接，，易知， 则为异面直线与所成的角， 又，，， 由余弦定理得； 【小问2详解】 如图所示： 分别取，的中点，，连接，，， 在正三棱柱中， 易知，，又， 所以平面，又平面， 所以，则为二面角的平面角， 同理为二面角的平面角， 设，则， 所以，， 则，， 当时，即P为的中点时，取得最大值， 18. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求“共轭点对”中点所在直线的方程； （3）设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于. 【答案】（1） ； （2） ； （3） 由（2）知，直线：，由，解得或， 则，， 设点，，则，两式相减得， 又，于是，则，有，线段PQ被直线l平分， 设点到直线的距离为d，则四边形的面积， 而，则有， 设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值， 由消去y得， 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件，从而直线与C不可能相切， 即d小于平行直线和（或）的距离， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的定义求出长轴长即可作答. （2）设，根据“共轭点对”的定义列出方程，化简作答. （3）求出的坐标，设点，，利用点差法得，再求出点P到直线l距离的范围即可推理作答. 【小问1详解】 依题意，椭圆的另一焦点为， 因此 ， 于是， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设“共轭点对”中点B的坐标为，由（1）知，点在椭圆C：上， 依题意，直线l的方程为，整理得， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设点，，代入椭圆方程，利用点差法证明出线段PQ被直线l平分，再设过点P且与直线l平行的直线的方程为，将其与椭圆方程联立，求出直线与椭圆相切时的值，即可证明面积小于. 19. 无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是． （1）写出这个数列的前7项； （2）如果且，求m，n的值； （3）记，，求一个正整数n，满足． 【答案】（1），，，，，，； （2）； （3）（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】（1）根据数列的定义，逐一求解； （2）根据数列的定义，分和分别求解； （3）根据数列的定义，写出的值，即可求解. 【小问1详解】 根据题意，，， ，，， ，． 【小问2详解】 由已知，m，n均为奇数，不妨设． 当时，因为，所以，故； 当时，因为，而n为奇数，，所以． 又m为奇数，，所以存在，使得为奇数． 所以． 而，所以，即，，无解． 所以． 【小问3详解】 显然，n不能为偶数，否则，不满足． 所以，n为正奇数． 又，所以． 设或，． 当时，，不满足； 当时，，即． 所以，取，时， 即． 【点睛】关键点点睛：第（3）问中，发现当时，满足，从而设，，验证满足条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $