山东省泰安市新泰市紫光实验中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

新泰市紫光实验中学2024年开学检测 高二数学试题 一、选择题(共40分) 1．(5分)已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，下列说法正确的是( ) A.若，，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 2．(5分)已知两个单位向量，的夹角为，则( ) A. B.3 C. D.5 3．(5分)平行六面体中，底面为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为( ) A.0 B. C. D. 4．(5分)已知矩形ABCD的长,宽.点P在线段BD上运动（不与B,D两点重合）,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 5．(5分)已知非零向量，满足：向量与向量垂直，且向量与向量垂直，则与的夹角为( ) A. B. C. D. 6．(5分)如图，在中，E是的中点，,,与交于点M，则( ) A. B. C. D. 7．(5分)已知向量,，若，则( ) A. B. C. D. 8．(5分)如图，在长方体中，，，，，，则直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题(共18分) 9．(6分)已知非零向量,,,则下列结论正确的是( ) A.若,则 B.若则 C.若,则 D.向量与向量垂直 10．(6分)已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则( ) A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为 C. D.的面积为 11．(6分)中,角A,B,C所对的边为a,b,c下列叙述正确的是( ) A.若,则一定是锐角三角形 B.若,则一定是等边三角形 C.若,则 D.若,则 三、填空题(共10分) 12．(5分)若向量,,且,则________. 13．(5分)已知三棱锥的体积为6，M是空间中一点，，则三棱锥的体积是________. 四、双空题(共5分) 14．(5分)已知球的半径为3,则该球的表面积等于____________,则该球的体积等于_________. 五、解答题(共77分) 15．(13分)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求角B的大小； (2)若，，求的面积. 16．(15分)如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,,,,. （1）求证:平面PAB. （2）在棱PA上是否存在点M,使得平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由. 17．(15分)如图，等腰梯形ABCD中，，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且. (1)证明：面面ACD； (2)若M为PD上的一点，点P到面ACM的距离为，求的值及平面MAC和平面DAC夹角的余弦值. 18．(17分)如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若，证明：平面PBC； （2）若，且二面角的正弦值为，求AD. 19．(17分)如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，M为棱PC的中点. （1）证明：平面PAD； （2）若，， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由. 参考答案 1．答案：D 解析：对于A，若，，，则或者l,m异面，故A错误， 对于B，若，，且l与，的交线垂直，才有，否则l与不一定垂直，故B错误， 对于C，若，，则或者，故C错误， 对于D，若，，则，D正确， 故选：D 2．答案：A 解析：因为两个单位向量，的夹角为， 所以， 所以. 故选：A 3．答案：A 解析：由题意，，， 又，， 所以，即有， 故选：A. 4．答案：A 解析：由题意得,点P在线段BD上,设,,, 且.以A为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示, 则,,,,则, 由, 故, 所以, 由于,所以. 故选:A. 5．答案：C 解析：因为向量与向量垂直，所以，所以， 因为向量与向量垂直，所以，所以， 所以，即，所以，又， 所以，即与的夹角为. 故选：C 6．答案：A 解析：在中，设，由，可得，故. 又E是的中点，，所以,，所以. 由点E,M,F三点共线，可得，解得， 故. 故选：A. 7．答案：D 解析：因为，，所以，， 由可得，， 即，整理得：. 故选：D. 8．答案：B 解析：取上靠近的三等分点F，取上三等分点H,E， 连接，，，，，， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以直线与所成角即为直线与所成角， ， 由正方体的性质可得：平面，平面， 所以平面，所以，， ，， ， 在中，， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 9．答案：ABD 解析：对于选项A,因为为非零向量,若,则,故,所以选项A正确, 对于选项B,若,故,所以选项В正确, 对于选项C,若,则, 得到,不能确定,所以选项C错误, 对于选项D,, 故,所以选项D正确, 故选：ABD. 10．答案：AC 解析：对于A，依题意，圆锥母线长，，，所以底面圆的半径，圆锥的体积为，故A正确；对于B，该圆锥的侧面积为；故B错误； 对于C，如图，取AC的中点M，连接PM，OM，则，又因为，所以，故为二面角的平面角，即，所以，即，所以，故C正确； 对于D，由选项C可知，，，，所以的面积为，故D错误.故选AC. 11．答案：BC 解析：对于A选项,在中,因为,又, 所以,即C为锐角,但题中没有告诉C最大, 所以不一定是锐角三角形,故A错误; 对于B选项,,由正弦定理得, 整理得,即,一定是等边三角形,故B正确; 对于C选项,因为,在单调递减, 所以,故C正确; 对于D选项,由,得,所以, 由余弦定理可得, ,当且仅当时,等号成立, 则当,时,,即角可以大于,故D错误; 故选:BC. 12．答案：/ 解析：因为,所以,解得. 故答案为: 13．答案：4 解析：，故，， 不妨令，则，又，故点H，A，B，C共面， 故. 故答案为：4. 14．答案：; 解析：因为球的半径为3, 所以球的表面积为,体积为. 故答案为：,. 15．答案：(1)； (2)或 解析：（1）方法一 即 得： 方法二： 得 即 得： （2）由余弦定理得：. 得： 或 或. 方法二：由正弦定理： 或 或. 16．答案：（1）证明见解析; （2）存在,的值为. 解析：（1）因为平面平面ABCD,且平面平面,, 平面ABCD,所以平面PAD, 因为平面PAD,所以, 又因为,, 所以平面PAB. （2）假设在棱PA上是否存在点M,使得平面PCD, 取AD中点O,连接OC,OP,如下图: 因为,, 所以,, 从而,故平面PAD, 又因为平面平面ABCD,且平面平面, 所以平面ABCD, 以O为坐标原点,OC,OA,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如下图: 由题意可知,,,,, 设,因为点M在棱PA上,故,, 所以,故, 设平面PCD的法向量为, 故,令,则,, 从而平面PCD的法向量可以取, 因为平面PCD, 所以,解得,, 故假设成立,存在这样的点M,使得平面PCD,此时, 即,从而. 17．答案：(1)答案见解析； (2)， 解析：(1) 如图所示，在梯形ABCD中，取AD中点N，连接CN， 易知四边形ABCN为平行四边形，可得，即， 又，平面PAC， 所以平面， 因为平面， 所以面面； (2) 取AC的中点O，则， 因为， 所以，结合(1)的结论， 可以以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设， 即， 设面ACM的一个法向量为， 则有， 令， 即， 则点P到面ACM的距离为， 即； 易知平面ACD的一个法向量可为， 设平面MAC和平面DAC夹角为，易知, 所以. 18．答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：由于底面，底面，， 又，，平面，平面PAB， 又平面，. ，，， 平面，平面，平面PBC. （2）由题意知DC，AD，AP两两垂直，以D为坐标原点，AD所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点D且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，， 则，，，，，. 设平面CPD的法向量为， 则，即，可取. 设平面ACP的法向量为， 则，即，可取. 二面角的正弦值为， 余弦值的绝对值为， 故， 又，，即. 19．答案：（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在， 解析：（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：为棱PC的中点， ，，，，，， 四边形ABMN是平行四边形，， 又平面PAD，平面PAD，平面PAD. （2），，，，， 平面平面ABCD，平面平面，平面PDC， 平面ABCD， 又AD，平面ABCD，，而，， 以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则，，，， M为棱PC的中点， ，， （i），， 设平面BDM的一个法向量为， 则，令，则，， 平面PDM的一个法向量为， ， 根据图形得二面角为钝角， 则二面角的余弦值为. （ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是， 设，， 则，， 由（2）知平面BDM的一个法向量为，， 点Q到平面BDM的距离是， ，. 学科网（北京）股份有限公司 $$