《2.2 命题与证明》知识清单 2024—2025学年湘教版数学八年级上册

《2.2 命题与证明》知识清单 湘教版（2012）八年级上册第2章三角形2.2命题与证明知识清单 一、命题相关知识 1、 命题的定义 命题就像我们平常说的有判断性的话。比如说“这个苹果是红色的”，这就是一个命题，因为它对这个苹果的颜色做了一个判断。在数学里呢，命题是能够判断真假的陈述句。比如“三角形内角和是180度”，这就是一个真命题；要是说“直角三角形的两个锐角和是200度”，这就是个假命题，因为我们都知道直角三角形两个锐角和是90度。 重点：命题必须是陈述句，而且能判断真假。 2、 命题的结构 命题由题设和结论两部分组成。题设就像是条件，结论就是在这个条件下得出的结果。举个例子，“如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个角相等”。这里“一个三角形是等边三角形”就是题设，“它的三个角相等”就是结论。 有些命题的题设和结论不太明显，这时候我们就得把它改写成“如果……那么……”的形式。比如“对顶角相等”，可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。 重点：学会准确找出命题的题设和结论，并且能改写命题。 3、 真命题和假命题 真命题就是正确的命题，像前面说的“三角形内角和是180度”。假命题就是错误的命题，比如“一个三角形的三条边可以分别是1、2、4”，这是假的，因为根据三角形三边关系，两边之和要大于第三边，1 ＋ 2可小于4呢。 我们怎么判断一个命题是真还是假呢？对于一些简单的命题，我们可以根据已有的知识直接判断。像“两点之间线段最短”，这是我们生活中都能感受到的，肯定是真命题。但对于一些复杂的命题，可能就需要通过证明或者找反例来判断。如果能找到一个例子，使得这个命题不成立，那这个命题就是假命题。 二、证明相关知识 1、 证明的必要性 想象一下，你和小伙伴争论一个三角形是不是等腰三角形。你说根据这个三角形两条边相等所以是等腰三角形，但是小伙伴不信啊。这时候就需要证明了。证明就像是给一个说法找依据，让大家都能相信这个结论是正确的。 在数学里，很多时候我们不能只凭感觉或者观察就认定一个结论。比如说，看起来两条线段好像一样长，但实际可能有微小的差别。所以我们需要用严谨的证明来确定一个命题的真假。 2、 证明的步骤 第一步，分析命题。就像我们要去一个地方，得先知道目的地在哪一样。我们要明确命题的题设和结论。比如要证明“等腰三角形两底角相等”，题设是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形的两底角相等”。 第二步，画出图形。如果这个命题是关于几何图形的，那画出准确的图形很重要。对于等腰三角形，我们就画一个等腰三角形ABC，AB ＝ AC。 第三步，写出已知和求证。已知就是题设的内容，在这个例子里就是AB ＝ AC，求证就是结论，也就是∠B=∠C。 第四步，进行证明。这是最关键的一步。我们可以用不同的方法来证明。对于等腰三角形两底角相等这个命题，我们可以作顶角的平分线AD。因为AB ＝ AC，∠BAD ＝ ∠CAD，AD ＝ AD（公共边），根据三角形全等判定定理SAS（边角边），可以得到△ABD≌△ACD，所以∠B ＝ ∠C。 重点：每一步证明都要有依据，不能凭空想象。 3、 证明的依据 我们在证明的时候，要有依据。依据可以是公理、定理、定义等。公理就是大家都公认的不需要证明的事实，像“两点确定一条直线”。定理是经过证明的真命题，比如“三角形全等的判定定理”。定义呢，就像等腰三角形的定义“有两边相等的三角形是等腰三角形”。 在证明过程中，如果用到以前学过的定理或者公理，一定要准确地写出来。比如说在证明三角形内角和是180度的时候，我们可能会用到平行线的性质，这时候就要明确地写出用到了哪条平行线的性质定理。 三、反证法 1、 反证法的定义 反证法就像是走一条“逆向”的路来证明。假设我们要证明一个命题是正确的，我们先假设这个命题的反面是正确的。比如要证明“三角形中最多有一个直角”，我们先假设“三角形中有两个或三个直角”。 然后按照这个假设去推理，结果发现会得出矛盾的结论。如果一个三角形有两个直角，那这两个直角加起来就180度了，再加上第三个角，内角和就大于180度了，这和三角形内角和是180度这个定理矛盾了。 2、 反证法的步骤 第一步，提出反证。假设命题的结论不成立，也就是假设结论的反面成立。还是以“三角形中最多有一个直角”为例，假设“三角形中有两个或三个直角”。 第二步，推出矛盾。根据这个假设进行推理，得出和已知的公理、定理或者定义相矛盾的结果。像前面说的得出内角和大于180度的矛盾。 第三步，肯定结论。因为假设得出了矛盾，所以原来的命题结论是正确的。也就是三角形中最多有一个直角。 重点：反证法的关键是找到合适的反设，并且推出矛盾。 四、公理和定理 1、 公理 公理是数学里最基本的东西，就像盖房子的地基一样。大家都公认它是对的，不需要再证明。除了前面说的“两点确定一条直线”，还有“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”等。这些公理是我们进行数学证明和推理的基础。 2、 定理 定理是在公理的基础上，经过证明得到的真命题。比如“等腰三角形的三线合一”这个定理，就是在等腰三角形的定义、三角形全等定理等基础上证明出来的。定理可以用来证明其他的命题。比如说在证明一个复杂的几何图形的性质时，可能会用到多个定理。 五、练习 1、 判断下列语句是否为命题，如果是，判断是真命题还是假命题，并说明理由。 “今天天气真好。”这不是命题，因为它不是一个能够判断真假的陈述句。 “一个数的绝对值一定是正数。”这是命题，而且是假命题，因为0的绝对值是0，不是正数。 2、 将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出题设和结论。 “同角的余角相等。”改写为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。”题设是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”。 3、 用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度。” 假设在一个三角形中，所有内角都大于60度。那么这个三角形的内角和就会大于180度（因为三个大于60度的角相加一定大于180度），这与三角形内角和是180度相矛盾。所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度。 4、 证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。” 已知：在Rt△ABC中，∠C ＝ 90度，D为AB中点。 求证：CD ＝ 1/2AB。 证明：延长CD到E，使DE ＝ CD，连接AE、BE。 因为D为AB中点，所以AD ＝ BD。又因为CD ＝ DE，所以四边形ACBE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。 又因为∠C ＝ 90度，所以平行四边形ACBE是矩形（一个角是直角的平行四边形是矩形）。 在矩形ACBE中，AB ＝ CE（矩形的对角线相等），又因为CD ＝ 1/2CE，所以CD ＝ 1/2AB。 答案： 1、 “今天天气真好。”不是命题；“一个数的绝对值一定是正数。”是假命题，理由是0的绝对值是0不是正数。 2、 “同角的余角相等”改写后题设是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”。 3、 证明过程如上述，通过假设推出矛盾，从而证明原命题成立。 4、 证明过程如上述，利用平行四边形和矩形的性质得出结论。 学科网（北京）股份有限公司 $$