精品解析：河南省漯河市第三初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

漯河三中 2024-2025 学年九年级第一次质量评估 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 关于x的方程：①，②，③，④，其中一元二次方程的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则抛物线必过点（ ） A. B. C. D. 4. 电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 6. 关于的方程（、、为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知二次函数的图象上有三个点）、、，若，则（ ）. A. B. C. D. 8. 二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 10. 如图，抛物线交轴于点，交轴于点，抛物线顶点为，下列四个结论：①无论取何值，恒成立；②当时，是等腰直角三角形；③若则；④抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①② D. ①③ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 方程化成一般形式是______. 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 13. 若关于x的函数与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为___ 14. 若a，b）是关于x的方程的两根，则，则a、b、m， n的大小关系是___________． 15. 如图，一条形状一定的抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段上移动．若点M、N的坐标分别为，点A的横坐标的最小值为，则点B横坐标的最大值为_______． 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）．当时，时，，则m的取值范围是_________． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根． （2）若原方程的两个实数根一个小于4，另一个大于5，求m的取值范围． 19. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． （1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率． （2）市场调研表明：当每台售价为2900 元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 20. 在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数（自变量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答： （1）作图探究： ①下表是y与x的几组对应值： 0 1 2 3 4 8 3 0 0 0 8 则 ， ； ②在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象 （2）深入思考：根据所作图象，回答下列问题： ①方程的解是 ； ②如果的图象与直线有4个交点，则k的取值范围是 ； （3）延伸思考： 将函数的图象经过怎样的平移可得到的图象？请写出平移过程，并直接写出当时，自变量x的取值范围． 21. 如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）求B点坐标，并结合图象写出时，x的取值范围； （3）直线l交抛物线于点，，若点P在抛物线上且位于直线l的上方（不与M，N重合），直接写出点P的纵坐标yp的取值范围． 22. 某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． （1）如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； （2）现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值． 23. 如图，已知抛物线，与轴交于点，与轴交于点.点是直线上方的抛物线上一动点（不与点、重合），过点作直线轴，垂足为，交直线于点，连接，． （1）求这条抛物线表达式及其顶点坐标； （2）若，求证：四边形为矩形； （3）求的面积最大时点的坐标； （4）在抛物线对称轴上是否存在一点，使的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漯河三中 2024-2025 学年九年级第一次质量评估 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 关于x的方程：①，②，③，④，其中一元二次方程的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的概念是解题的关键．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：①，当时，该方程不是一元二次方程； ②属于分式方程； ③符合一元二次方程的定义； ④的次数是3次，不是一元二次方程， 综上所述，其中一元二次方程的个数是1个． 故选：A． 2. 若是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根及的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，把代入方程，求出的值，因式分解法解方程求出另一个根即可． 【详解】解：把，代入方程，得：， ∴， ∴方程化为：， ∴， ∴， ∴方程的另一个根为； 故选A． 3. 若，则抛物线必过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数图象经过的定点，当时，，即可求解；会求二次函数经过的点的坐标是解题的关键． 【详解】解：当时， ， ， ， 过顶点， 故选：D． 4. 电影《哪吒之魔童闹海》一上映就受到观众热烈追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若设票房每日增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——连续增长问题．根据题意，分别表示出三天的票房，再求和等于10亿元即可． 【详解】解：第一天票房为3亿元，设票房每日增长率为x， 则第二天票房亿元， 第三天票房亿元， 累计三天票房总和为10亿元， ∴方程为：， 故选：A． 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：, 解得：且； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 6. 关于的方程（、、为常数，）的解是，，则方程的解是（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先用直接开平方法解出，然后再解出，对比两个解的关系，即可得到答案. 【详解】解：， 解得：， ∵，， ∴，， ∵， 解得：， ∴，， 故选择：D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握正确解出一元二次方程的解 7. 已知二次函数的图象上有三个点）、、，若，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得出（-1，y1）和（3，y3）关于二次函数数y=x2+bx+c的对称轴对称，抛物线的开口向上，求出对称轴是直线x=1，根据-1＜0＜1＜3即可求出答案． 【详解】解：∵y1=y3， ∴（-1，y1）和（3，y3）关于二次函数数y=x2+bx+c的对称轴对称， ∴二次函数y=x2+bx+c的对称轴是直线x==1，且二次函数图象的开口向上， ∵x=0时，y=c， -1＜0＜1＜3， ∴y2＜c＜y1， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是能求出对称轴和根据二次函数的性质求解． 8. 二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项． 【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 9. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键． 10. 如图，抛物线交轴于点，交轴于点，抛物线顶点为，下列四个结论：①无论取何值，恒成立；②当时，是等腰直角三角形；③若则；④抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①② D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线解析式可知C（0，t），把解析式配方可得顶点D（1，t-1），根据两点间距离公式可对①进行判断；当t=0时，根据抛物线解析式可得A、B、D三点坐标，利用两点间距离公式求出AD、BD、AB的长，根据勾股定理逆定理即可对②进行判定；根据抛物线解析式可得对称轴为直线x=1，根据二次函数的对称性即可对③进行判定；由可得x1-1＞1-x2，根据x1、x2的取值范围可比较两点与对称轴的距离的远近，根据二次函数的性质可对④进行判定；综上即可得答案． 【详解】∵=(x-1)2+t-1， ∴顶点D坐标为（1，t-1），对称轴为直线x=1， 当x=0时，y=t， ∴点C坐标为（0，t）， ∴CD==， ∴无论取何值，恒成立，故①正确， 当t=0时，方程为y=x2-2x，顶点D坐标为（1，-1）， 令y=0，则x2-2x=0， 解得：x1=0，x2=2， ∴A（0，0），B（2，0）， ∵A、B关于对称轴x=1对称， ∴△ABD是等腰三角形，AD=BD==，AB=2， ∵（）2+（）2=22， ∴AD2+BD2=AB2， ∴△ABD是直角三角形， ∴△ABD是等腰直角三角形，故②正确， ∵A（a，0），B（b，0）根据对称轴x=1对称， ∴当a=-1时，b=3，故③错误， ∵， ∴x1-1＞1-x2， ∵， ∴x1-1＜0，1-x2＜0， ∴|x1-1|＜|1-x2|， ∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离， ∵1＞0， ∴抛物线的开口向上， ∴y1＜y2，故④正确， 综上所述：正确的结论有①②④， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题及二次函数的性质，把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．熟练掌握二次函数解析式的三种形式及性质是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 方程化成一般形式是______. 【答案】 【解析】 【分析】将方程左边展开，通过移项、合并同类项化为ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）的形式即可． 【详解】解：可化为： ， 移项合并同类项得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．通过去括号，移项，合并同类项，可以把方程化成一元二次方程的一般形式． 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根的定义等知识，熟练掌握一元二次方程根的定义及整体代入求值方法是解题的关键．利用一元二次方程根的定义得到，整理可得，整体代入代数式化简求值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2024． 13. 若关于x的函数与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为___ 【答案】0或-1##-1或0 【解析】 【详解】由于没有交待是二次函数，故应分两种情况： 当k=0时，函数是一次函数，与x轴仅有一个公共点． 当k≠0时，函数是二次函数，若函数与x轴仅有一个公共点，则有两个相等的实数根，即， 解得：， 故答案为：0或-1． 14. 若a，b）是关于x的方程的两根，则，则a、b、m， n的大小关系是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先确定和分别是抛物线当时对应的两个点的横坐标，再利用图象求解． 【详解】解：∵， ， ∴，是抛物线当时对应的两个点的横坐标， ，是该抛物线当时对应的两个点的横坐标， ∵抛物线开口向上，，， 则可作示意图如下， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程之间的关系． 15. 如图，一条形状一定的抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段上移动．若点M、N的坐标分别为，点A的横坐标的最小值为，则点B横坐标的最大值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意可知当图象顶点在点M时，点A的横坐标的最小值为，然后利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后由题意可知当图象顶点在N点时，点B的横坐标最大，从而写出此时抛物线的解析式，即可求出结论． 【详解】当图象顶点在时，点A的横坐标的最小值为， 则可设此时抛物线的解析式为：， 将点A的坐标代入得：，解得． 当图像顶点在时，点B的横坐标最大，此时抛物线的解析式为：， 令，则，解得， 即点B横坐标的最大值为3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质和求抛物线的解析式，解题关键是当图象顶点在点M时，点A的横坐标最大；当图象顶点在点N时，点B的横坐标最大． 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（a为常数）．当时，时，，则m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系．将代入可得二次函数的解析式为，再求出时，或；时，，然后结合二次函数的图象即可得． 【详解】解：当时，， 当时，，解得或， 由二次函数的性质可知，当时，， 如图，当时，， ， 故答案为：． 三、解答题 17. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）x1=，x2=-； （2）x1=-，x2=0； （3）x1=，x2=； （4）y1=，y2=； 【解析】 【分析】（1）方程变形后，利用直接开平方法求出解即可； （2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可； （3）方程移项后，利用公式法求出解即可； （4）方程移项后，利用公式法求出解即可． 【小问1详解】 解：， 整理得x2=， 解得x1=，x2=-； 【小问2详解】 解：， 移项得（2x+1）2-（2x+1）=0， 因式分解得（2x+1）（2x+1-1）=0， 即2x+1=0或2x=0， 解得：x1=-，x2=0； 【小问3详解】 解：， 整理得x2+x-1=0， ∵a=1，b=1，c=-1， ∴b2-4ac=1+4=5>0， ∴x=， 解得：x1=，x2=； 【小问4详解】 解：， 整理得2y2-3y-1=0， ∵a=2，b=-3，c=-1， ∴b2-4ac=9+8=17>0， ∴y=， 解得：y1=，y2=； 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根． （2）若原方程的两个实数根一个小于4，另一个大于5，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明： ， 是非负数， ． 无论取何实数时，原方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根；同时考查了因式分解法解一元二次方程及解一元一次不等式，掌握基础知识是解本题的关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明即可： （2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个小于4，另一个大于5，列出不等式，求出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， 由方程两个实数根一个小于4，另一个大于5， 则有 ， 解得， 即的取值范围是． 19. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． （1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率． （2）市场调研表明：当每台售价为2900 元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？ 【答案】（1）每次降价的百分率是 （2）每台冰箱的定价应为2750 元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出方程． （1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格降价前的价格（降价的百分率），则第一次降价后的价格是元，第二次后的价格是元，据此即可列方程求解； （2）假设下调a个50元，销售利润一台冰箱的利润销售冰箱数量，一台冰箱的利润售价进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程求解． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为x， 依题意得 ， 解得 （不合题意，舍去）． 答：每次降价的百分率是． 【小问2详解】 解：假设下调a个50元， 依题意得， 解得 ，则（元） 则每台冰箱的定价应为元， 答：每台冰箱的定价应为2750 元． 20. 在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数（自变量x可以是任意实数）图象与性质进行了探究．请同学们阅读探究过程并解答： （1）作图探究： ①下表是y与x的几组对应值： 0 1 2 3 4 8 3 0 0 0 8 则 ， ； ②在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象 （2）深入思考：根据所作图象，回答下列问题： ①方程的解是 ； ②如果的图象与直线有4个交点，则k的取值范围是 ； （3）延伸思考： 将函数的图象经过怎样的平移可得到的图象？请写出平移过程，并直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）①，3； ②如图， （2）①或或；②：； （3）函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的图象； 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，通过数形结合求解是解题的关键； （1）①将和代入解析式求解；②根据函数解析式及表格作图； （2）①根据图象与轴的交点求解；②根据图象求解； （3）由可得新函数图象是由函数的图象向左平移1个单位，向下平移2个单位所得． 【小问1详解】 解：①将代入得， ， 将代入得， ， 故答案为：，3； ②略 【小问2详解】 解：①根据表格及图象可得或或时，， 故答案为：或或； ②由图象可得当直线在轴下方，直线上方时，直线与函数图象有4个交点， 故答案为：； 【小问3详解】 解：函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的图象， 如图， 由图象知当，的范围为：． 21. 如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）求B点坐标，并结合图象写出时，x的取值范围； （3）直线l交抛物线于点，，若点P在抛物线上且位于直线l的上方（不与M，N重合），直接写出点P的纵坐标yp的取值范围． 【答案】（1） （2），或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解； （2）求出点，即可求解； （3）求出点M/N的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，二次函数的解析式为， 当=0时，， 解得， ∴． 根据图象可知，当时，的取值范围为或． 【小问3详解】 解：∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为4， 当时，， 当时，， 解得：或2， ∴点，或， ∵点P在抛物线上且位于直线l的上方（不与M，N重合）， 当点时，； 当时，； 综上所述，点P的纵坐标yp的取值范围或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 22. 某科研单位准备将院内一块长30m，宽20m的矩形空地，建成一个矩形花园，要求在花园内修两条纵向平行和一条横向弯折的小道（小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形），剩余的地方种植花草． （1）如图1，要使种植花草的面积为，求小道进出口的宽度为多少米； （2）现将矩形花园的四个角建成休闲活动区，如图2所示，均为全等的直角三角形，其中，设米，竖向道路出口和横向弯折道路出口的宽度都为2m，且竖向道路出口位于和之间，横向弯折道路出口位于和之间． ①求剩余的种植花草区域的面积（用含有a的代数式表示）； ②如果种植花草区域的建造成本是100元/米2、建造花草区域的总成本为42000元，求a的值． 【答案】（1）1米； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可； （2）①先用a表示出四个直角三角形的面积，从而表示出剩余花草区域的面积；②由①和题目意思列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设小道进出口的宽度为米， 依题意得． 整理，得． 解得，，． （不合题意，舍去）， ； 答：小道进出口的宽度应为1米； 【小问2详解】 解：①剩余的种植花草区域的面积为： ②由，得： ， 解得：（舍去）． 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，面积的表示，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程，注意根据实际意义舍根． 23. 如图，已知抛物线，与轴交于点，与轴交于点.点是直线上方的抛物线上一动点（不与点、重合），过点作直线轴，垂足为，交直线于点，连接，． （1）求这条抛物线表达式及其顶点坐标； （2）若，求证：四边形为矩形； （3）求的面积最大时点的坐标； （4）在抛物线对称轴上是否存在一点，使的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为：，顶点坐标为； （2）证明：∵，． ∴又∴ ∵轴，轴∴ ∴ ∵ ∴ ∴，又 ∴四边形为矩形 （3）； （4）存在点，的值最大值为 【解析】 【分析】（1）把点A、B坐标代入求解即可，再由配方法求顶点； （2）由已知可得，由得到，再根据证明即可； （3）有待定系数法求得直线解析式，设出点，则点，用x表示的面积，由函数性质求面积最大值即可； （4）取点B关于抛物线对称轴的对称点，再通过三角形三边关系讨论取最大值的情况，从而得到最大值． 【详解】解：（1）∵抛物线，与轴交于点，与轴交于点 ∴ ∴ ∴抛物线解析式为：， ∵ ∴顶点坐标为 （2）略 （3）∵点，点， 设直线解析式为： 并解得： 设点，则点， ， 则 ∵，故当时，有最大值为， 此时 （4）存在点，使的值最大 点关于抛物线对称轴对称点，作直线与对称轴的交点就是要找的点. ∵在对称轴上，所以，则， 当点、、三点不共线时，， 当点、、三点共线时，=， 所以当点、、三点共线时，取最大值，即为的长， 在中，，， 由勾股定理得 ∴最大值为 【点睛】本题是二次函数与几何图形的综合问题，涉及到待定系数法、矩形判定和三角形三边关系，解答过程中注意应用数形结合思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $