精品解析：浙江省杭州市西湖区文华中学2024—-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

杭州市文华中学2024年第一学期10月教学质量监测 九年级 数学 试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一个不透明的盒子中装有1个黄球，2个黑球，3个白球，4个红球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是（ ） A. 黄色 B. 黑色 C. 白色 D. 红色 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查可能性的大小，根据各种球数量的多少，直接判断可能性的大小，哪种颜色的球越多，摸出的可能性就越大；首先判断出每种颜色的球的数量的多少，然后判断出摸出的可能性的大小即可． 【详解】解：袋子中共有个球，其中红球个数最多， 从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大， 故选：D． 2. 若2x＝3y，那么＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】等式两边都除以2y即可． 【详解】解：2x＝3y 等式两边都除以2y得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，能灵活运用比例的性质进行变形是解此题的关键． 3. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：C． 4. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了抛物线的平移问题．根据平移的规律“左加右减，上加下减”，即可求解． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得，所得新抛物线的解析式为． 故选：B 5. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案；本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵，， ∴． 故选：B． 6. 如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式、线段和与差的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和二次根式的性质，从而完成求解．根据、，通过勾股定理计算得；结合，计算得，从而得到的值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，的长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】①0≤x≤4时，y=S△ABD﹣S△APQ=×4×4﹣•x•x=﹣x2+8， ②4≤x≤8时，y=S△BCD﹣S△CPQ=×4×4﹣•（8﹣x）•（8﹣x）=﹣（8﹣x）2+8， ∴y与x之间的函数关系可以用两段开口向下的二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．故选B． 8. 已知抛物线经过和两点，则图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标；根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的，求得，进一步计算即可求解． 【详解】解：抛物线经过和两点， 可知函数的对称轴， ， ； 抛物线的解析式为， ∴当时，， ∴图象的顶点坐标为． 故选：A． 9. 如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定和性质，矩形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．如图，在上截取，在上截取，且，可得，，，，，通过证明，可得，可求的长，再求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，在上截取，且， ，，，，， ，， ，且，， ，， ， ， ， ， ， 故选：B 10. 定义：若x，y满足且，，且（t为常数），则称点为“和谐点”，若有一个函数满足，其上存在“和谐点”，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新定义，函数图象上点的坐标特征和二次函数的增减性，根据题意得出 ，①②得，由，得出，整理得，由且，得出． 【详解】解：∵双曲线存在“和谐点”， ∴， ①②得， ， ， ， 整理得， ，且， ， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若二次函数的图象开口向下，则a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，根据开口向下的二次函数的解析式中二次项系数为负数进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， 故答案为：． 12. 如图是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的定义，图案共有7个全等的正六边形组成，其中空白的正六边形有3个，根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得，图案共有7个全等的正六边形组成，其中空白的正六边形有3个， ∴假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是． 故答案为： 13. 若线段，，则线段a，b的比例中项为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的定义，一般的，如果三个数a，b，c满足比例式，则b就叫做a，c的比例中项．设线段a，b的比例中项为x，然后列比例式求解即可． 【详解】解：设线段a，b的比例中项为x，由题意得， ， ∴（负值舍去）． 故答案为：6． 14. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于， ∴不等式的解集是． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图像的理解，谁大谁的图象在上面． 15. 如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，以点为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度之间满足解析式，球网离点的水平距离为米，甲运动员发球过网后，乙运动员在球场上处接球，乙原地起跳可接球的高度为2.4米，若乙因接球高度不够而失球，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入即可求得的最大值，再结合球网离点的水平距离为米可知，从而可得的取值范围． 【详解】解：由题意，得 ， 解得（舍去）， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征． 16. 如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于，延长交于，连接，易证，，从而得，，则，根据点为的中点得，进而得，再证，从而得，，在中根据求得和，在中由勾股定理求得，则，然后根据列方程，据此可得的长． 【详解】解：过点作，交的延长线于，延长交于，连接，如图所示： 则，， ，， ， ，点为的中点， ， ， 即点为的中点， ， ，， 平分， ， ， 即为等腰三角形， 根据等腰三角形三线合一定理得：， ， 在中，，， ， ， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形的性质等，正确添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键． 三、解答题 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求此二次函数的表达式； （2）求出该抛物线的顶点坐标，并直接写出随的增大而减小时，自变量的取值范围． 【答案】（1） （2）；，该函数的随的增大而减小 【解析】 【分析】（1）把坐标代入确定出的值，即可求得二次函数的表达式； （2）把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标，然后根据二次函数的性质得到结论． 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【小问1详解】 解： 二次函数的图象经过点， ， 解得， 二次函数的解析式． 【小问2详解】 解：由， 对称轴是直线，顶点坐标是， 抛物线开口向上， 当时，该函数的随的增大而减小． 18. 在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5个，这些球除颜色不同外，其他均相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到0.1）． （2）试估算口袋中白球的个数． 【答案】（1）0.6 （2）估算口袋中白球的个数为3 【解析】 【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率，解题的关键是明确频率和概率之间的关系． （1）观察表格可知，摸到白球的频率在0.6附近，据此即可解答； （2）用球的总数乘以摸到白球的概率即可确定白球的个数． 【小问1详解】 解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6． 故答案为：0.6； 【小问2详解】 解：由（1），可估计摸到白球的概率为0.6， （个）． 答：估算口袋中白球的个数为3． 19. 如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C． （1）求证：△ADE∽△DBE； （2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长． 【答案】 （1）平行四边形ABCD中， 又 ； （2）DE＝12cm． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得，即可求得，又因公共角，从而可证得； （2）根据相似三角形的对应边成比例求解即可. 【详解】（1）略 （2）平行四边形ABCD中， 由题（1）得 ，即 解得：. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定定理与性质，熟记各性质与定理是解题关键. 20. 某校老师为了了解本班学生3月植树的成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：A：优秀：B：良好：C：合格．请根据图中信息，解答下列问题： （1）求全班学生的人数． （2）在扇形统计图中，______，______，C类的圆心角度数为______． （3）老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出这2名同学全是B类学生的概率． 【答案】（1）人 （2）15，60， （3） 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）由A类人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，由乘以C类所占比例得C类的圆心角度数，用B的人数除以总人数可得对应百分比； （3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：全班学生总人数为：（人）； 【小问2详解】 解：∵B类百分比为， ∴； ∵C类人数为：（人）， ∴C类百分比为， ∴； ∴C类的圆心角为， 故答案为：15，60，； 【小问3详解】 解：列表如下： A B B C A / BA BA CA B AB / BB CB B AB BB / CB C AC BC BC / 由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果， ∴P(全是B类学生)＝． 21. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）． （1）的面积为________． （2）图①中，画出的中线AD； （3）图②中，在的边BC上找一点F，连结AF，使的面积为1． 【答案】（1）4 （2） 如图所示 （3） 如图所示， 【解析】 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，相似三角形的判定与性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用的面积等于矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可求解； （2）根据矩形的性质对角线相互平分即可得到的中点，连接即可； （3）根据相似三角形的判定与性质，中线平分面积的方法作图即可求解． 【小问1详解】 解： 故答案为：4． 【小问2详解】 解：根据网格特点，四边形为矩形，连接交于点 即为的中线 故如图所示即为所求： 【小问3详解】 解：根据网格的特点，， 又， ， 故如图所示即为所求： 22. 某体育用品商店准备销售一种篮球，这种篮球的进价为80元/个，若以100元售出，每月能售出500个． 经调查发现/ 这种篮球的售价每上涨1元，其月销售量就将减少10个，设每个篮球的售价为x元，每月的销售量为y个． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设销售这种篮球每月的总利润为W（元） ，如果该商店这种篮球每月的销量不低于420个，那么销售单价定为多少元可获得最大利润？ 最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价定为108元可获得最大利润，最大利润是11760元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，利润=售价-进价的运用，二次函数的解析式的性质的运用，二次函数的最值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． （1）根据销量与进价的关系就可以求出结论； （2）根据销售问题的数量关系表示出W与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质就可以求出结论． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∵这种篮球每月的销量不低于420个， ∴， ∴， ∴当时，（元）， 答：销售单价定为108元可获得最大利润，最大利润是11760元． 23. 已知抛物线经过． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）若是抛物线上不同的两点，且，求n的值； （3）将抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度，当时，它的函数值y的最小值为7，求m的值． 【答案】（1）抛物线的表达式为，对称轴为； （2） （3）m的值为5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论． （1）把点代入解方程组即可得到结论； （2）把代入得到，于是得到，即可得到结论； （3）求出平移后的解析式及对称轴，根据对称轴与取值范围的关系分类讨论即可． 【小问1详解】 解：把点代入得， ， 解得：； ∴函数解析式为， ∴对称轴为 【小问2详解】 解：由（1）得函数解析式为， 把代入得，， ∵ ∴ ∵是抛物线上不同的两点， ∴关于对称轴的对称， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：由（1）得函数解析式为， ∵此抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度， 当向左平移时，平移后的解析式为， ∴对称轴为， 当时，顶点处取最小值，此时最小值为，不合题意； 当，时，当时y随x的增大而增大， ∴当时，有最小值7，即， 解得，（舍去）， 综上所述，m的值为5． 24. （1）已知：如图1，在和中，，，，若点D是的中点，连接．求证：； （2）已知：在和中，，，． ①如图2．若点D在上，，F是的中点，连接，．求证：； ②如图3，点D在上，且是的三等分点（），若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵点D是的中点，， ∴， ∴． （2）①证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴． ∵，， ， ∵， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵点F是AC的中点， ∴，， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）利用证明，结合等腰三角形的性质即可证明； （2）①连接，先证明，再证，则可得；再由直角三角形斜边上中线的性质得； ②连接，过点B作，垂足为点G．由①知，得，从而可求得．在，中，由勾股定理可求得的长．由①知，即可求得结果． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：如图，连接，过点B作，垂足为点G． ∵点D是的三等分点，， ∴， ∴． 由①知，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴在中，． 在中，． 由①知， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，有一定的综合性，构造适当的辅助线，证明三角形相似是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市文华中学2024年第一学期10月教学质量监测 九年级 数学 试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 一个不透明的盒子中装有1个黄球，2个黑球，3个白球，4个红球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到球的颜色可能性最大的是（ ） A. 黄色 B. 黑色 C. 白色 D. 红色 2. 若2x＝3y，那么＝（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 4. 将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得，所得新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为 A. B. C. D. 8. 已知抛物线经过和两点，则图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：若x，y满足且，，且（t为常数），则称点为“和谐点”，若有一个函数满足，其上存在“和谐点”，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若二次函数的图象开口向下，则a的取值范围是_________． 12. 如图是由7个全等的正六边形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在空白部分的概率是______． 13. 若线段，，则线段a，b的比例中项为__________． 14. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是____． 15. 如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，以点为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度之间满足解析式，球网离点的水平距离为米，甲运动员发球过网后，乙运动员在球场上处接球，乙原地起跳可接球的高度为2.4米，若乙因接球高度不够而失球，则的取值范围是________． 16. 如图，在中，平分，，，点E为的中点，，则的长为______． 三、解答题 17. 已知二次函数的图象经过点． （1）求此二次函数的表达式； （2）求出该抛物线的顶点坐标，并直接写出随的增大而减小时，自变量的取值范围． 18. 在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5个，这些球除颜色不同外，其他均相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近___________（精确到0.1）． （2）试估算口袋中白球的个数． 19. 如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C． （1）求证：△ADE∽△DBE； （2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长． 20. 某校老师为了了解本班学生3月植树的成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：A：优秀：B：良好：C：合格．请根据图中信息，解答下列问题： （1）求全班学生的人数． （2）在扇形统计图中，______，______，C类的圆心角度数为______． （3）老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出这2名同学全是B类学生的概率． 21. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）． （1）的面积为________． （2）图①中，画出的中线AD； （3）图②中，在的边BC上找一点F，连结AF，使的面积为1． 22. 某体育用品商店准备销售一种篮球，这种篮球的进价为80元/个，若以100元售出，每月能售出500个． 经调查发现/ 这种篮球的售价每上涨1元，其月销售量就将减少10个，设每个篮球的售价为x元，每月的销售量为y个． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设销售这种篮球每月的总利润为W（元） ，如果该商店这种篮球每月的销量不低于420个，那么销售单价定为多少元可获得最大利润？ 最大利润是多少？ 23. 已知抛物线经过． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）若是抛物线上不同的两点，且，求n的值； （3）将抛物线沿x轴向左平移m（）个单位长度，当时，它的函数值y的最小值为7，求m的值． 24. （1）已知：如图1，在和中，，，，若点D是的中点，连接．求证：； （2）已知：在和中，，，． ①如图2．若点D在上，，F是的中点，连接，．求证：； ②如图3，点D在上，且是的三等分点（），若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $