精品解析：福建省龙岩市高级中学2025届高三上学期10月质量监测数学试卷

龙岩市高级中学2025届高三数学10月份质量监测 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 2 5. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 6. 设函数若无最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 方程有解 C. 是偶函数 D. 是偶函数 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图像可由的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到 B. 函数的一个对称中心为 C. 函数的最小值为 D. 函数在区间单调递减 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 在区间上的极大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________． 13. 函数的最小正周期是______. 14. 已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，曲线在点处的切线斜率为. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 16. 已知函数，且图像上相邻两个最低点的距离为. （1）求的值以及的单调递减区间； （2）若且，求的值. 17. 如图，在三棱台中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足. （1）证明：平面； （2）若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积. 18. 已知，函数． （1）讨论的单调性： （2）若恒成立．求的取值范围． 19. 已知函数，. （1）证明：当时，曲线关于点对称； （2）若为曲线的公共点，且在处存在共同的切线，则称该切线为的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岩市高级中学2025届高三数学10月份质量监测 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知集合的描述，结合交、并、补运算即可判断各选项的正误 【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误. B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误. C中，，错误. D中，由，则，，正确. 故选：D． 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正余弦公式求出，再利用二倍角的正切公式计算即得. 【详解】由，得，而，即， 则，所以. 故选：C 4. 若正数满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，利用基本不等式求解. 【详解】由可得， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为. 故选：A. 5. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 【答案】C 【解析】 【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数. 【详解】根据题意由可得， 两式相除可得，即可得， 两边同时取对数可得，即可得； 即. 故选：C 6. 设函数若无最大值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的解析式，作出函数与直线的图象，利用导数研究函数的性质，结合图象分析即可求解 【详解】因为 作出函数与直线的图象， 它们的交点是，，， 由，则令，可得或， 当或时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以是的极大值点，是的极小值点， 由图象可知，当时，有最大值或， 当时，有，此时无最大值， 故实数的取值范围为. 故选：A. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将转化为，整体代入求解. 【详解】因为，，， ，故，且，故， 故. 故选：D. 8. 已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 方程有解 C. 是偶函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，分别取，代入即可判断； 取，得到，利用累加法求出，对于B，验证判别式即可；对于CD，分别利用二次函数求出对称轴验证即可. 【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足， 取，得，则， 取，得，则，故A错误； 取，，则， 所以，，，， 将以上各式相加，得， 又因为， 所以， 对于B，令，则，即， 因为，所以方程无解，故B错误； 对于C，， 其对称轴为，故C正确； 对于D，， 其对称轴为，故D错误. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用赋值法得到，从而求解. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意得，且，结合基本不等式以及相关推理逐一验算即可得解. 【详解】则，且，故D正确； ，A正确； 又由可知，B正确；，故C错误． 故选：ABD． 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图像可由的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到 B. 函数的一个对称中心为 C. 函数的最小值为 D. 函数在区间单调递减 【答案】CD 【解析】 【分析】化简得，逐项验证即可解决． 【详解】由题知， ， 对于A，的图像向左平移个单位长度，得， 再向下平移个单位长度得到，故A错误； 对于B，， 所以函数的一个对称中心为，故B错误； 对于C，， 当时，函数取最小值为，故C正确； 对于D，， 所以单调减区间应满足，解得， 所以单调减区间为， 因为是的子集， 所以函数在区间单调递减，故D正确． 故选：CD 11. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. D. 在区间上的极大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，把轴对称转化为等式成立，结合诱导公式，从而可以得证； 对于B选项，先化简，然后结合基本不等式，即可求得最小值； 对于C选项，令，举反例，可得C错误； 对于D选项，利用导数求函数极值，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B选项， ， 当且仅当时取等号，故B正确； 对于C选项，，故C错误； 对于D选项，因为，当时，，，则； 当时，， 设，，则，所以在上单调递减. 由，得且，，， 又，则，则在上单调递增； 当时，，结合A选项知在上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：（1）证明的图象关于直线对称，可以转化为证明等式成立即可； （2）利用导数求函数极值的方法： 第1步：求函数的定义域； 第2步：求导函数； 第3步：求导函数的零点； 第4步：列当x变化时，的变化情况表； 第5步：根据极大值和极小值的定义下结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，建立方程关系即可得到结论． 【详解】由偶函数的定义可得f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax， 即2ax=ln（e﹣3x+1）﹣ln（e3x+1）=lne﹣3x=﹣3x， ∴2ax＝－3x，∴a＝－ 故答案为：－ 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义得到f（﹣x）=f（x）是解决本题的关键，属于基础题. 13. 函数的最小正周期是______. 【答案】 【解析】 【分析】由两角和的余弦公式，二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简，即可由正弦型函数周期得解. 【详解】 ， 所以函数周期, 故答案为： 14. 已知关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】将不等式恒成立问题转化成函数与的符号问题，再利用二次函数和三角函数性质即可求. 【详解】根据题意，可得对于函数， ①若，则，此时 恒成立， 因此，只需在上恒成立即可， 即在上恒成立即可， 因为，所以， 因此； ②若，则或， 当时，恒成立， 因此只需满足在上恒成立即可， 不妨取，此时， 由于，故，故不合题意； 当时，恒成立， 因此只需满足在上恒成立即可， 不妨取，此时， 由于，故，故不合题意； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：解决三角不等式恒成立问题往往利用三角函数的有界性，并根据恒成立条件限定含参不等式范围，即可求得结论. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，曲线在点处的切线斜率为. （1）求的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得参数值； （2）根据导数判断函数单调性，再结合函数的奇偶性解不等式即可. 【小问1详解】 由已知，得， 又函数在点处的切线斜率为， 即， 解得； 【小问2详解】 由（1）得，， 则恒成立， 即在上单调递增， 又， 即函数为奇函数， 由，可知， 即，解得， 即不等式的解集为. 16. 已知函数，且图像上相邻两个最低点的距离为. （1）求的值以及的单调递减区间； （2）若且，求的值. 【答案】（1），（）（2） 【解析】 【分析】 （1）先利用利用三角恒等变换化简解析式，根据图像上相邻两个最低点的距离求得，进而求得的单调区间. （2）利用三角恒等变换的知识，化简求得的值. 【详解】（1） . 由于图像上相邻两个最低点的距离为， 所以. 所以. 由，解得， 所以的单调减区间为（）. （2）由（1）得. 依题意，，， 而，所以， 所以. 所以 . 【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题. 17. 如图，在三棱台中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足. （1）证明：平面； （2）若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积. 【答案】（1）证明： 由三棱台知，平面， 因为平面，且平面平面， 所以， 因为，所以，又，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得，再结合线面垂直的判定定理可得结果； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用线面角的向量求法及棱台的体积公式可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，以为原点，为轴，为轴， 过点做轴垂直于平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为， 则 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得平面的一个法向量， 易得平面的一个法向量， 设与平面夹角为， ， 所以 由，得， 由（1）知，所以， 解得，所以三棱台的体积. 18. 已知，函数． （1）讨论的单调性： （2）若恒成立．求的取值范围． 【答案】（1） 的定义域为， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）依题意可得，从而得到在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由在上恒成立， 可得在上恒成立， 即在上恒成立， 令，因为在上均单调递增，则在上单调递增； 由在上恒成立，可得恒成立， 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 所以当时，当时， 则在上单调递减，在上单调递增； 故， 则，解得， 故的取值范围为． 19. 已知函数，. （1）证明：当时，曲线关于点对称； （2）若为曲线的公共点，且在处存在共同的切线，则称该切线为的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值. 【答案】（1）当时，令， 即，定义域为， 所以 ， 即 所以曲线关于点对称. （2） 【解析】 【分析】（1）设，欲证其图象关于点对称，只需证：即可. （2）根据导数的几何意义求切线的斜率，在根据两切线的位置关系求切点横坐标的关系，再结合“优切线”的定义可求，的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为， 其“优切线”的斜率一定存在，分别设为，则， 因为，所以， 不妨设，则，，，， 因为， 由“优切线”的定义得，，所以， 同理，所以，化简得，， 因为曲线上的点也在曲线上， 所以，所以. 所以， 【点睛】关键点点睛：关于函数图象对称性的一些结论，是可以直接应用的. （1）函数的图象关于直线成轴对称； （2）函数的图象关于点成中心对称. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $