精品解析：2024-2025学年人教版九年级上册期中测试模拟试题

九年级上册期中测试模拟试题 考试范围：21-24.1；考试时间：100分钟；总分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则yx的值是（　　） A. 2 B. C. 4 D. 8 3. 已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是（　　） A B. C. D. 4. 二次函数（）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … 下列说法正确的是（ ） A. 抛物线G的开口向下 B. 抛物线G的对称轴是直线 C. 抛物线G与y轴的交点坐标为(0，4) D. 当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 5. 定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程与为“友好方程”，则m的值为(　　) A. B. C. 或 D. 或 6. 某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图)，并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的，设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（ ） A. (2-3x)(1-2x)=1 B. (2-3x)(1-2x)=1 C. (2-3x)(1-2x)=1 D. (2-3x)(1-2x)=2 7. 如图，三点都在上，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 9. 如图，在中，．点D在上且．连接，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，．则面积是（　　） A B. C. D. 3 10. 已知点在直线上，点，在抛物线上，若，，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是___． 12. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到抛物线的顶点坐标是___． 13. 如图所示，与关于点成中心对称，若，，，则的长度为___． 14. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于A，两点，则该抛物线的解析式是____． 15. 在直角△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D是CB边上的动点，连接AD，将线段AD顺时针旋转60°，得到线段AP，连接CP，线段CP的最小值是______． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）；（用配方法） （2）；（用公式法） （3）； （4）． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若且为整数，求方程的根． 18. 在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标； （3）可看作以点（ ， ）为旋转中心，旋转得到的． 19. 已知关于的一元二次方程有，两实数根． （1）若，求及的值； （2）是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 20. 如图，是的直径，弦于点E，且，点M在上，经过圆心O，连接． （1）若，求的半径； （2）若，求线段的长． 21. 小明不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析，如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网与y轴的水平距离，点C在点A的右侧，，击球点P在y轴上，若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系． （1）求点P的坐标和a的值； （2）小明分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到点C的距离更近，请通过计算判断应该选择哪种击球方式； （3）小明发现选择吊球更容易赢得比赛，所以重新设计抛物线，此时羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系（），当时，y的最大值为4，求b的值． 22. 已知，在中，，点M为边上一点，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转α得到，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当，时，若，求的值． 23. 如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点． （1）求此二次函数的解析式； （2）设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）； （3）二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级上册期中测试模拟试题 考试范围：21-24.1；考试时间：100分钟；总分：120分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的识别；根据中心对称图形定义：把图形沿某点旋转得到的新图形与原图形重合的图形叫中心对称图形，轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形，逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A选项图形不是中心对称图形是轴对称图形，不符合题意， B选项图形是中心对称图形又是轴对称图形，不符合题意， C选项图形是中心对称图形不是轴对称图形，符合题意， D选项图形是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意， 故选：C． 2. 已知点A（x﹣2，3）与点B（x+4，y﹣5）关于原点对称，则yx的值是（　　） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于x，y的方程组，进而求出答案． 【详解】∵点A（x，y-4）与点B（1-y，2x）关于原点对称， ∴ 解得： 则yx=2-1=． 故选B． 【点睛】考查了关于原点对称点的性质，根据与原点对称的点的坐标特点（纵坐标,横坐标都互为相反数,如P(a,b)对称后P'(-a,-b)）得出x，y的值是解题关键． 3. 已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和C选项，根据B选项和D选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，即可得出结果． 【详解】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上， ∴可以排除A选项和C选项； B选项和D选项中，抛物线的对称轴， ∵ ， ∴， ∴抛物线开口向下，可以排除B选项， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 4. 二次函数（）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … 下列说法正确的是（ ） A. 抛物线G开口向下 B. 抛物线G的对称轴是直线 C. 抛物线G与y轴的交点坐标为(0，4) D. 当x＞﹣3时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】由表格信息，及二次函数图象的对称性可得抛物线的对称轴，及与x、y轴的交点，继而判断抛物线的开口方向及增减性． 【详解】由表中数据可得，抛物线与y轴交点为：，故C正确； x轴的交点坐标为：，因此可得抛物线的对称轴为，故B错误； 由上可知，抛物线开口向上，故A错误； 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5. 定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程与为“友好方程”，则m的值为(　　) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先利用因式分解法求出的根，然后分别代入，求出的值即可． 【详解】解：， ， ，， 把代入得：， 把代入得：， ∴的值为或， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义． 6. 某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图)，并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的，设人行通道的宽度为x千米，则下列方程正确的是（ ） A. (2-3x)(1-2x)=1 B. (2-3x)(1-2x)=1 C. (2-3x)(1-2x)=1 D. (2-3x)(1-2x)=2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分别表示出矩形绿地的长和宽，再由铺瓷砖的面积是矩形空地面积的，即矩形绿地的面积=矩形空地面积，可列方程． 【详解】设人行通道的宽度为x千米， 则矩形绿地的长为：(2-3x)，宽为：(1-2x)，由题意可列方程： 2×(2-3x)(1-2x)= ×2×1， 即：(2-3x)(1-2x)=1， 故选：A． 【点睛】本题考查了长方形面积公式的应用，代数式表示的应用，一元二次方程与图形面积的应用，注意掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． 7. 如图，三点都在上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边对等角及圆周角定理求角即可． 【详解】解：∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA=43°， ∴∠AOB=94°， ∴∠ACB=47°． 故选：C． 【点睛】此题综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及圆周角定理． 8. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞ B. k≥ C. k＞且k≠1 D. k≥且k≠1 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0， 解得：k＞且k≠1． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 9. 如图，在中，．点D在上且．连接，线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（　　） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质；证明，则可得，，则可求得面积． 【详解】解：∵， ∴， 由旋转知：， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10. 已知点在直线上，点，在抛物线上，若，，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征．求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的的值，即可求得取值范围，根据抛物线的对称性求得，从而求得的取值范围． 【详解】解：当时， 解得：， 直线与抛物线两交点的横坐标分别是， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 把代入，得，且， ，而， ， 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是___． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，一元二次方程的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值进行求解是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是0， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为：2． 12. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线的顶点坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先把原解析式化为顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出平移后的解析式即可得到答案． 【详解】解：， ∴将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， 故答案为：． 13. 如图所示，与关于点成中心对称，若，，，则的长度为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形性质以及中心对称的性质，熟练掌握勾股定理及直角三角形的性质是解题的关键，由勾股定理得，解得：，再利用中心对称的性质求得，即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 解得： ∵与关于点成中心对称， ∴， ∴， 答案为：． 14. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于A，两点，则该抛物线的解析式是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线与y轴交于点C易得点C的坐标为，根据，可得点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式． 【详解】当时，，∴， ∴， ∴，， ∴，， 将，代入得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式是． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是本题的关键． 15. 在直角△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D是CB边上的动点，连接AD，将线段AD顺时针旋转60°，得到线段AP，连接CP，线段CP的最小值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】在AB上取一点K，使得AK=AC，连接CK，DK．由△PAC≌△DAK（SAS），推出PC=DK，易知KD⊥BC时，KD的值最小，求出KD的最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，在AB上取一点K，使得AK=AC，连接CK，DK． 　 ∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴∠CAK=60°， ∴∠PAD=∠CAK， ∴∠PAC=∠DAK， ∵PA=DA，CA=KA， ∴△PAC≌△DAK（SAS）， ∴PC=DK， 当KD⊥BC时，KD的值最小， ∵∠ACB=90°，∠B=30°，AK=AC=6， ∴AB=12，则KB=6， ∴KD=3， ∴PC的最小值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 用适当的方法解下列方程． （1）；（用配方法） （2）；（用公式法） （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法化，进而根据开平方法解一元二次方程，即可求解； （2）先计算判别式根据公式法解方程，即可求解． （3）先移项，然后因式分解法解方程，即可求解； （4）直接开平方法解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴，， 解得：； 【小问4详解】 解：， ∴或， 解得：． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若且为整数，求方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程， （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，由此即可求解； （2）由（1）可得，结合且为整数，可得整数的值为，代入方程，根据因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解：∵且为整数，且， ∴， ∴整数的值为， 当时，原方程可化为：， ∴， 解得，． 18. 在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标； （3）可看作以点（ ， ）为旋转中心，旋转得到的． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移、旋转以及中心对称： （1）根据图形平移的性质分别求得点，，平移后的对应点，，，依次连接点，，即可． （2）分别求得点，，关于原点的对应点，，，依次连接点，，即可． （3）根据图形旋转的性质，连接和中任意两个对应点，线段的中点即为旋转中心． 【小问1详解】 如图所示，点的坐标为 ． 【小问2详解】 如图所示， ． 【小问3详解】 可看作以点为旋转中心，旋转得到的． 故答案为：， 19. 已知关于的一元二次方程有，两实数根． （1）若，求及的值； （2）是否存在实数，满足？若存在，求出实数值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，再根据已知条件式推出，求出或，再根据根的判别式求出即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有，两实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程有，两实数根， ∴，， ∵， ∴，即 ∴， ∴，即， ∴，即， 解得或， 又∵方程关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 经检验，当时， ∴存在，满足． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 20. 如图，是的直径，弦于点E，且，点M在上，经过圆心O，连接． （1）若，求的半径； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）13 （2） 【解析】 【分析】（1）设的半径长为r，根据垂径定理得，根据勾股定理列方程，解方程即得答案； （2）连接，根据圆周角定理，即可证明，进一步可证，得到，设的半径长为r，即可根据勾股定理列方程，解方程即得答案． 【小问1详解】 解：设的半径长为r， 则，， 是的直径，， ， ， 即， 解得 ， 即的半径是13； 【小问2详解】 解：连接， ，， ， 是的直径，弦于点E，且， ，， ， ， 设的半径长为r， ， ， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理及圆周角定理是解题的关键． 21. 小明不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析，如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网与y轴的水平距离，点C在点A的右侧，，击球点P在y轴上，若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系． （1）求点P的坐标和a的值； （2）小明分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到点C的距离更近，请通过计算判断应该选择哪种击球方式； （3）小明发现选择吊球更容易赢得比赛，所以重新设计抛物线，此时羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系（），当时，y的最大值为4，求b的值． 【答案】（1），； （2）应选择吊球； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）依据题意，对于一次函数，令，可求得y值，即为P点坐标，将P点坐标代入二次函数中，可解得a的值，即可求解； （2）依据题意，分别计算一次函数、二次函数与x轴的交点，比较两点到C点的距离，可得选择哪种击球方式使球的落地点到点C的距离更近，即可求解； （3）依据题意，由，又，从而当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，再由，进而根据二次函数的性质进行分类讨论①当时，②当时，③当时，即可求解． 理解、表示的实际意义，掌握待定系数法及二次函数的性质，能根据二次函数的性质进行分类讨论是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得， 对于一次函数， 令，则， ， 将P点坐标代入二次函数中， ， ． 【小问2详解】 解：由题意得， 对于一次函数， 令， ， 解得：， 对于二次函数， 令，（）， ， ，， ， ， 应选择吊球． 【小问3详解】 解：由题意得 ， 当时，， 当时，， 当时，， ， 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小． ①当时， ， 当时，y最大，即， ； ②当时， ， 当时，y最大， 即， ， 故此时无解； ③当时， ， 当时，y最大， 即． ， 此时不合题意． 综上所述：． 22. 已知，在中，，点M为边上一点，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转α得到，连接． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当，时，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，通过证明，得出，进而得出，即可求证； （2）根据旋转的性质推出，进而得出点A、N、C、M四点共圆，则，推出，过点A作于点H，则，，设，则，则，，最后得出，，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，线段绕点A按顺时针方向旋转α得到， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵将线段绕点A按顺时针方向旋转α得到，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A、N、C、M四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点A作于点H，则， ∵， ∴， 设，则， ∴， 同理可得：， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23. 如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点． （1）求此二次函数的解析式； （2）设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）； （3）二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）． 【答案】（1）； （2）； （3）， 【解析】 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求解得出结果； （2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，邻求得的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果； （3）设，，表示出和，根据列出方程求得的值，进而求得结果． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∴，， 由得，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设，， ∵， ∴， 由得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$