精品解析：广东省江门市蓬江区江门市第二中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

江门二中2024-2025学年第一学期期中考试 九年级数学试题 一、单选题（每小题3分） 1. 2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把一元二次方程化为一般形式后，二次项系数为4，则一次项系数及常数项分别为（ ） A. 5，81 B. ，81 C. 5， D. ， 3. 对于函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象顶点是（2，5） B. 图象开口向上 C. 图象关于直线对称 D. 函数最大值为5 4. 如图，已知点A，B，C在上．若，则等于（　　） A. 140° B. 120° C. 110° D. 70° 5. 如图，把以点为中心逆时针旋转得到，且点在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（　 　） A. 3cm B. 6cm C. 1.5cm D. cm 7. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 获2019年度诺贝尔化学奖的“锂电池”创造了一个更清洁的世界．我国新能源发展迅猛，某种特型锂电池2016年销售量为8万个，到2018年销售量为97万个．设年均增长率为x，可列方程为（　　） A. 8（1+x）2＝97 B. 97（1﹣x）2＝8 C. 8（1+2x）＝97 D. 8（1+x2）＝97 9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小．其中结论正确为（ ） A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①④⑤ D. ②③⑤ 二、填空题（每小题3分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 12. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是__________． 13. 如图，是的直径，是弦，，垂足为D，已知，则弦______． 14. 如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转每次旋转____度形成的． 15. m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2021的值为 _____． 三、解答题（一）（每小题8分） 16. 解方程 （1） （2） 17. 平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． 将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点分别为 （1）画出旋转后的； （2）直接写出点的坐标； （3）求的面积 18. 列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽． 四、解答题（二）（每小题9分） 19. 如图，是的直径，是的中点，于，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 20. 已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求： （1）求a和k． （2）求点B坐标． （3）的面积． 21. 问题发现： 如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，则：． （1）①的度数是_______；②线段，，之间的数量关系是_______． 拓展探究： （2）如图2，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请写出的度数及线段，，之间得数量关系，并说明理由； 五、解答题（三）（每小题12分） 22. 根据以下素材，探究完成任务． 如何把实心球掷得更远？ 素材1 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到的水平距离为时，达到最大高度为． 素材2 根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离． 问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离． 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议． 23. 阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数，满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数，满足：，，且，求的值． （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门二中2024-2025学年第一学期期中考试 九年级数学试题 一、单选题（每小题3分） 1. 2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据以上概念逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、图形既不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 把一元二次方程化为一般形式后，二次项系数为4，则一次项系数及常数项分别为（ ） A. 5，81 B. ，81 C. 5， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式是：，，是常数，且特别要注意的条件，、、分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， ∴一次项系数为5，常数项为， 故选：C． 【点睛】一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 3. 对于函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象顶点是（2，5） B. 图象开口向上 C. 图象关于直线对称 D. 函数最大值为5 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：∵函数y=（x-2）2中，a=1＞0， ∴该函数图象的顶点坐标是（2，5），A正确； 该函数图象开口向上， B正确； 该函数图象关于直线x=2对称， C正确； 抛物线开口向上，当x=2时，该函数取得最小值y=5，故D错误； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4. 如图，已知点A，B，C在上．若，则等于（　　） A. 140° B. 120° C. 110° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵点A，B，C在上，， ∴； 故选D． 5. 如图，把以点为中心逆时针旋转得到，且点在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．根据旋转的性质即可解答． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， 无法证明，，故B选项和D选项不符合题意； 由旋转的性质得：， ， ，故A选项不符合题意； 由旋转的性质得：， ，即，故C选项符合题意； 故选：C． 6. 已知⊙O的半径是3cm，则⊙O中最长的弦长是（　 　） A. 3cm B. 6cm C. 1.5cm D. cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆中最长的弦是直径，且直径的长是半径长的2倍可得答案． 【详解】解：∵⊙O的半径是3cm， ∴⊙O中最长的弦，即直径的长为6cm， 故选：B 【点睛】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是圆内最长的弦． 7. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数抛物线开口向下，且对称轴为，根据图象上的点距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为， ∵抛物线开口向下，且 ∴， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、解题的关键是灵活运用二次函数图象的对称性解决问题，属于中考常考题型． 8. 获2019年度诺贝尔化学奖的“锂电池”创造了一个更清洁的世界．我国新能源发展迅猛，某种特型锂电池2016年销售量为8万个，到2018年销售量为97万个．设年均增长率为x，可列方程为（　　） A. 8（1+x）2＝97 B. 97（1﹣x）2＝8 C. 8（1+2x）＝97 D. 8（1+x2）＝97 【答案】A 【解析】 【分析】2018年年销量=2016年年销量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可． 【详解】解：设年均增长率为x，可列方程为： 8（1+x）2＝97． 故选A． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列一元二次方程；得到2018年收入的等量关系是解决本题的关键． 9. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 且然后解两个不等式得到它们的公共部分即可； 【详解】解：根据题意得 且， 解得 且 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于的不等式是解此题 的关键 10. 对称轴为直线的抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤当时，随的增大而减小．其中结论正确为（ ） A. ①②④ B. ②④⑤ C. ①④⑤ D. ②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟知二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定是解题的关键． 【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个交点， ， ，故①不符合题意； ②由图象可知：，， ， ， ，故②正确，符合题意； ③当时，， ∴，故③符合题意； ④当时，，故④不符合题意； ⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤符合题意， 故选：D． 二、填空题（每小题3分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 12. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是， 故答案为：． 13. 如图，是的直径，是弦，，垂足为D，已知，则弦______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，三角形中位线的判定及性质．根据垂径定理得到D为弦的中点，又点O为的中点，得到是的中位线，根据中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵，过圆心O， ∴D为弦的中点， ∵点O为的中点， ∴． 故答案为：10． 14. 如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转每次旋转____度形成的． 【答案】45 【解析】 【分析】利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案，进而判断出基本图形的旋转角度． 【详解】本题图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转8次形成． 所以旋转角为= ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了图形的旋转，找到旋转中心和旋转次数，算出旋转角是解决本题的关键． 15. m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子4m2+6m+2021的值为 _____． 【答案】2023 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到2m2+3m＝1，再把4m2+6m+2021变形为2（2m2+3m）+2021，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是方程2x2+3x﹣1＝0的根， ∴2m2+3m﹣1＝0， ∴2m2+3m＝1， ∴4m2+6m+2021＝2（2m2+3m）+2021＝2×1+2021＝2023． 故答案为：2023． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 三、解答题（一）（每小题8分） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据配方法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴ 解得： 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴或 解得： 17. 平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． 将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点分别为 （1）画出旋转后的； （2）直接写出点的坐标； （3）求的面积 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用旋转变换的性质分别找到点的对应点即可； （）由（1）中的作图写出坐标即可； （3）利用网格求三角形面积即可； 本题考查了旋转作图，坐标与图形，三角形的面积，掌握旋转的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）图可得，点的坐标为； 【小问3详解】 解：． 18. 列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽． 【答案】30m，20m 【解析】 【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2，列出方程并解答． 【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m， 根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600， 整理，得x2﹣35x+300＝0， 解得x1＝15，x2＝20， 当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去； 当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意． 答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键． 四、解答题（二）（每小题9分） 19. 如图，是的直径，是的中点，于，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：延长交于点， ， ∴， ， 是的中点， ， ， ， ； （2）5 【解析】 【分析】（1）首先延长交于点，由垂径定理可证得，又由是的中点，易证得，继而可证得； （2）由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，然后由勾股定理求得的长，继而求得答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：是的直径， ， ，， ， 在中，， 的半径为． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是掌握在同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角． 20. 已知二次函数与一次函数的图象相交于A、B两点，如图所示，其中，求： （1）求a和k． （2）求点B坐标． （3）的面积． 【答案】（1）， （2） （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是正确的求出点的坐标． （1）利用点的坐标可求出直线与抛物线的解析式； （2）由一次函数与二次函数联立后求解方程即可； （3）求出点的坐标，利用求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象过点， ，解得， 一次函数表达式为， 过点， ，解得， 二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由一次函数与二次函数联立可得， 解得或 ∵， ∴； 【小问3详解】 解：在中，令，得， ， ∴， ∴． 21. 问题发现： 如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，则：． （1）①的度数是_______；②线段，，之间的数量关系是_______． 拓展探究： （2）如图2，在中，，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，请写出的度数及线段，，之间得数量关系，并说明理由； 【答案】（1），； （2），，理由如下： ∵， ∴； 由旋转可知，，， ， ． 在和中， ， ， ，， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先判断出，即可判断出，即可得出，即可得出； （2）先由等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，则，由勾股定理得，，据此可得结论． 【详解】解：（1）由旋转可知，，． ，， 是等边三角形， ∴，， ∵ ， ． 在和中， ， ， ，， ， 即． 故答案为：，． （2）略 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 五、解答题（三）（每小题12分） 22. 根据以下素材，探究完成任务． 如何把实心球掷得更远？ 素材1 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到的水平距离为时，达到最大高度为． 素材2 根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离． 问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离． 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议． 【答案】任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角 【解析】 【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到； 任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可； 任务三：根据题意给出合理的建议即可． 【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系， 由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴素材1中的投掷距离为4m； （2）建立直角坐标系，如图， 设素材2中抛物线的解析式为， 由题意得，过点， ∴， 解得， ∴ ∴顶点纵坐标为， （m）， ∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为； 任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键． 23. 阅读材料，解答问题： 已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，． 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用： 已知实数，满足：，且，则______，______； （2）间接应用： 已知实数，满足：，，且，求的值． （3）拓展应用： 已知实数，满足：，且，求的取值范围． 【答案】（1）5，1；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）根据根与系数的关系即可求解； （2）先验证，再在两边同时除以，得是一元二次方程的两个不等实数根，求出，变形代入即可； （3）先根据题意得到是一元二次方程的两个不等实数根，求出代入化简，又因为是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）由题意得：，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知，； 解：（2）∵把代入得不合题意， ∴两边同时除以得 又∵，且， ∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根， ∴利用根与系数的关系可得出， ∴， ∴． 解：（3）将方程两边同时乘以2得， 又∵，且， ∴可将看作一元二次方程的两个不等实数根， ∴利用根与系数的关系可得出 ∵是方程的两个不等实数根， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $