专题01 平方根重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题01 平方根重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 无理数 题型二 平方根与算术平方根概念理解 题型三 求一个数的算术平方根 题型四 利用算术平方根的非负性解题 题型五 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 题型七 求一个数的平方根 题型八 求代数式的平方根 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 题型十 利用平方根解方程 题型十一 平方根的应用 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【经典例题一 无理数】 【例1】（23-24七年级下·吉林·期末）在实数，，，，中，无理数的个数为（  ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·宁夏中卫·阶段练习）下列各数：，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），， 是无理数的有（ ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）有一个无理数，使得，则可以是 （写出符合条件的一个即可）． 3．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）把下列各数写在相应的横线上：，，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中， (1)有理数 ； (2)无理数 ． 【经典例题二 平方根与算术平方根概念理解】 【例2】（2024·山东菏泽·二模）下列说法正确的是（    ） A．64是8的算术平方根 B．9是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1 1．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）有下列表述：①49的算术平方根是7；②任何数都有平方根；③2．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）若实数a、b满足方程x2＝5，且a＞b，下列说法正确的是（　 　） A．5的平方根是b B．5的平方根是a C．5的算术平方根是b D．5的算术平方根是a 2．（23-24七年级下·湖北恩施·阶段练习）下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数，其中，不正确的有 （填序号）． 3．（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知的平方根为，的平方根为，求的平方根． 【经典例题三 求一个数的算术平方根】 【例3】（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）若x是81的算术平方根，则x的值为（　　） A．3 B． C．9 D． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）若，则a的值为（    ）． A．20 B．200 C．2000 D．0.02 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）64的算术平方根是 ，的平方根是 ． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）根据表1和表2中的规律填空： 表1： a 9.20 9.21 9.22 9.23 9.24 84.6400 84.8241 85.0084 85.1929 85.3776 表2： b 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)估计___________；（精确到0.01） (2)估计___________；（精确到0.001） (3)已知：，，则___________，___________； (4)已知：，，则___________． 【经典例题四 利用算术平方根的非负性解题】 【例4】（23-24七年级下·安徽淮北·期末）若实数x，y满足，则的值为（    ） A． B．6 C． D． 1．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，，的平方根是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）已知且，则 ． 3．（23-24七年级下·江西宜春·期末）【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【经典例题五 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例5】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 1．（2024·四川泸州·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积.如果某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，那么n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级上·浙江·阶段练习）的小数部分为a，的小数部分为b，则 . 3．（23-24八年级上·山东青岛·期中） 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是2，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是________，的小数部分是________，的整数部分是______，的小数部分是_______． (2)若，其中x是整数，且，求的值． 【经典例题六 与算术平方根有关的规律探索题】 【例6】（23-24八年级上·北京门头沟·期中）已知：，，，，若符合上面规律，则的值为（   ） A．179 B．109 C．210 D．104 1．（23-24七年级下·辽宁营口·期中），，，…，则（    ） A．1013 B．1022 C．1012 D．1023 2．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … 250 2500 … 25 250 根据以上规律，若则 23（23-24七年级下·湖北荆州·期中）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【经典例题七 求一个数的平方根】 【例7】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）若，则x的平方根是（    ） A．5 B． C． D． 1．（23-24七年级下·贵州黔南·期中）以下是甲、乙、丙、丁四位同学对相关知识的描述，其中描述错误的是（    ） 甲：16的平方根是        乙：的平方等于5 丙：的平方根是       丁：4的算术平方根是2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知M是满足不等式的所有整数的和，N是的整数部分，则的平方根为 ． 3．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知正数a的两个不同的平方根分别是和, 的算术平方根是3. (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【经典例题八 求代数式的平方根】 【例8】（23-24八年级上·广东江门·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知 、，满足，则的平方根为 ． 3．（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【经典例题九 已知一个数的平方根，求这个数】 【例9】（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）若一个数的平方根是和，则这个数是（　　） A．1 B． C．4 D．16 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如果和是正数A的平方根，则A为（     ） A．1或9 B．1或 C．1 D． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知某正实数的平方根是和，那么这个正实数是 ． 3．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在学习完平方根这一课时后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．小明的解答过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个数为16或4． 数学老师看后说小明的答案是错误的．你知道小明错在哪里吗？请予以改正． 【经典例题十 利用平方根解方程】 【例10】（22-23八年级下·重庆永川·期末）若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．2或3 1．（23-24八年级上·湖南·开学考试）已知(x 1)2 16 ，则 x 的值是（    ） A．3 B．7 C．3 或5 D．7 或8 2．（23-24八年级上·河南鹤壁·开学考试）若，则x的值为 ． 3．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）已知，求未知数x的值 【经典例题十一 平方根的应用】 【例11】（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　） A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536 1．（22-23八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 2．（23-24九年级上·河北保定·开学考试）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的大正方形的面积是5，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的大长方形ABCD．    （1）图中四个全等的直角三角形中较长直角边长为a，较短直角边为b，则 （直接填数字）． （2）图②中大长方形ABCD的周长是 ． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 1．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如果，那么a等于（   ） A．4 B． C．16 D．4或 2．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）“的平方根是”的表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知 则的平方根是（      ） A． B． C． D．2 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）已知实数满足，则的值为 ． 7．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若一个数的两个平方根为和，则这个数是 ． 8．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知实数x和y满足，那么＝ ． 9．（22-23八年级下·四川南充·期末）下列各个图形中，“●”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如时，，；时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为 ． 10．（2024·河北邯郸·三模）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， （1）则大正方形的边长是 cm； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉， （填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 11．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）已知：和是的两个不同的平方根 (1)求的值． (2)求的平方根． 12．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 13．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 14．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______． 【知识迁移】 （2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______． 【拓展延伸】 （3）小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； (2)当时， ；当时， ； (3)计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平方根重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 无理数 题型二 平方根与算术平方根概念理解 题型三 求一个数的算术平方根 题型四 利用算术平方根的非负性解题 题型五 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 题型七 求一个数的平方根 题型八 求代数式的平方根 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 题型十 利用平方根解方程 题型十一 平方根的应用 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【经典例题一 无理数】 【例1】（23-24七年级下·吉林·期末）在实数，，，，中，无理数的个数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是正确理解无理数的几种形式． 【详解】解：是有理数，不符合题意； 是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； 是有理数，不符合题意； 共个无理数， 故选：． 1．（24-25八年级上·宁夏中卫·阶段练习）下列各数：，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），， 是无理数的有（ ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义判断即可，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：是无理数的有：，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），， ∴是无理数的共个， 故选：B． 2．（23-24九年级下·湖南邵阳·阶段练习）有一个无理数，使得，则可以是 （写出符合条件的一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数定义及无理数的估算，根据无理数的定义及无理数的取值范围求解即可，解题的关键是掌握无理数定义及无理数估算方法． 【详解】∵， ∴， ∴可以是， 故答案为：．（答案不唯一） 3．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）把下列各数写在相应的横线上：，，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中， (1)有理数 ； (2)无理数 ． 【答案】(1)，0， (2)，，，（两个1之间依次多一个6） 【分析】本题考查了实数中有理数和无理数的分类，解题的关键是掌握有限小数和无限循环小数都称为有理数，无限不循环小数叫无理数． （1）进行分类之前，先对某些数进行计算或化简，然后再根据有理数的定义进行分类． （2）根据无理数的定义进行分类． 【详解】（1）解：， 有理数：，0，； （2）无理数：，，，（两个1之间依次多一个6）． 【经典例题二 平方根与算术平方根概念理解】 【例2】（2024·山东菏泽·二模）下列说法正确的是（    ） A．64是8的算术平方根 B．9是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的概念，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，由此即可判断，关键是掌握算术平方根的定义． 【详解】解：A、8是64的算术平方根，故A不符合题意； B、9是81的算术平方根，故B不符合题意； C、的算术平方根是，正确，故C符合题意； D、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0或1，故D不符合题意． 故选：C． 1．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·期末）有下列表述：①49的算术平方根是7；②任何数都有平方根；③2．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）若实数a、b满足方程x2＝5，且a＞b，下列说法正确的是（　 　） A．5的平方根是b B．5的平方根是a C．5的算术平方根是b D．5的算术平方根是a 【答案】D 【分析】根据题意，求出a=，b=，再依次进行判断即可． 【详解】解：∵a、b满足方程x2＝5，且a＞b， ∴a=，b=， ∴5的平方根是，故A，B错误， 5的算术平方根是，故C错误，D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键． 2．（23-24七年级下·湖北恩施·阶段练习）下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是a；④的算术平方根是；⑤算术平方根不可能是负数，其中，不正确的有 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了算术平方根的知识．根据任何一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，特别地，零的算术平方根仍旧是零逐一进行判断即可． 【详解】解：①负数没有平方根，故①错误； ②反例：0的算术平方根是0，故②错误； ③当时，的算术平方根是，故③错误； ④的算术平方根是，故④错误； ⑤算术平方根不可能是负数，故⑤正确． 所以不正确的是①②③④． 故答案为：①②③④． 3．（23-24七年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知的平方根为，的平方根为，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的概念，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，根据平方根的概念求出的值，把的值代入求值，再根据平方根的概念求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 把代入解得：， ∴， ∴的平方根是， ∴的平方根． 【经典例题三 求一个数的算术平方根】 【例3】（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）若x是81的算术平方根，则x的值为（　　） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的知识，解决本题的关键是掌握会求一个数的算术平方根． 根据和算术平方根的知识可得． 【详解】解：，则． 故选：C． 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）若，则a的值为（    ）． A．20 B．200 C．2000 D．0.02 【答案】B 【分析】根据算术平方根的性质，根据1.414×10＝14.14，可推出2×100＝a，即可推出a＝200． 【详解】解：∵，1.414×10＝14.14， ∴2×100＝a， ∴a＝200． 故选：B． 【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，关键在于熟练掌握算术平方根的性质，认真的计算． 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）64的算术平方根是 ，的平方根是 ． 【答案】 8 【分析】根据求一个数的算术平方根及平方根的方法，即可解答． 【详解】解：， 的算术平方根是8， ，， 的平方根是， 故答案为：8，． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根及平方根，熟练掌握和运用求一个数的算术平方根及平方根的方法是解决本题的关键． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）根据表1和表2中的规律填空： 表1： a 9.20 9.21 9.22 9.23 9.24 84.6400 84.8241 85.0084 85.1929 85.3776 表2： b 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)估计___________；（精确到0.01） (2)估计___________；（精确到0.001） (3)已知：，，则___________，___________； (4)已知：，，则___________． 【答案】(1)9.22 (2)0.922 (3)0.8124；256.9 (4)380000 【分析】本题主要考查算术平方根，根据表格提供的数据以及算术平方根的规律解答是解题的关键． （1）从表1中找出最接近85的数85.0084，从而得出的近似值； （2）根据表2提供的数据得出被开方数的小数点每向左（或右）移动2位，相应的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位，据此可得出的近似值； （3）根据（2）的规律可得出和的值； （4）根据表2提供的数据得出算术平方根的小数点每向左（或右）移动1位，相应的被开方数的小数点向左（或右）移动2位，据此可得出的近似值 【详解】（1）解：由表1知：85最接近85.0084， 所以，， 故答案为：9.22； （2）解：由表2知：被开方数的小数点每向左（或右）移动2位，相应的算术平方根的小数点向左（或右）移动1位， 所以，， 故答案为：0.922； （3）解：因为， 所以，； 因为， 所以，； 故答案为：0.8124；256.9； （4）解：由表2知，算术平方根的小数点每向左（或右）移动1位，相应的被开方数的小数点向左（或右）移动2位， 因为，， 所以， 故答案为：380000 【经典例题四 利用算术平方根的非负性解题】 【例4】（23-24七年级下·安徽淮北·期末）若实数x，y满足，则的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，负整指数幂，以及代数式求值，根据算术平方根的非负性，可得出，，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：变形为：， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 1．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知，，的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的非负性以及有意义的条件、求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则原式， 解得， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 则的平方根为， 故选：D． 2．（23-24七年级下·甘肃武威·期中）已知且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，绝对值化简，解题关键是根据且，求得，，． 先由且，求得，，．再根据算术平方根的非负性与绝对值意义化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵且， ∴，，， ∴ 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江西宜春·期末）【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法； （1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数，可把原式化为，再结合算术平方根的含义可得答案． 【详解】解：（1），则a的取值范围是； 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：， ∴； （3）∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 【经典例题五 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例5】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 1．（2024·四川泸州·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积.如果某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积S介于整数和n之间，那么n的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键． 先计算三角形的面积为，再估算的范围可得：，从而可得答案． 【详解】解：三角形的三边长分别为2，3，3，则， ∴其面积 ， ∵， ∴n的值为3． 故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江·阶段练习）的小数部分为a，的小数部分为b，则 . 【答案】1 【分析】先分析介于哪两个整数之间，再分别求出和介于哪两个整数之间，即可求出和的整数部分，然后用它们分别减去它们的整数部分得到，代入即可. 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴的整数部分为10，的整数部分为2， ∴a=   b= 代入得：           =12018 =1 【点睛】此题考查的是实数（带根号）的整数部分和小数部分的求法. 3．（23-24八年级上·山东青岛·期中） 我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是2，小数部分是，请回答以下问题： (1)的小数部分是________，的小数部分是________，的整数部分是______，的小数部分是_______． (2)若，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)；；1； (2) 【分析】（1）根据算式平方根的性质可确定的整数部分，再确定的小数部分；根据夹逼法得到的整数部分，再求出的小数部分； （2）估算的整数部分和小数部分，分别求出、，再代入即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分是， ∴的小数部分是，即 ∵ ∴ ∴的整数部分为1， ∴的小数部分是． （2）解：∵，即 所以的整数部分是2，小数部分是， 根据题意可得为的整数部分，为的小数部分， ∴，， ∴ 【点睛】此题考查了算术平方根以及无理数大小的估算，解题的关键是理解算术平方根的定义，根据夹逼法确定无理数两个相邻整数的大小，进而求解． 【经典例题六 与算术平方根有关的规律探索题】 【例6】（23-24八年级上·北京门头沟·期中）已知：，，，，若符合上面规律，则的值为（   ） A．179 B．109 C．210 D．104 【答案】B 【分析】分析数据可得：，有；，有；若，必有；且，则；则． 【详解】解：，可得； ，可得； ，则，， 则， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据算术平方根的性质化简，根据题意找到规律是解题的关键． 1．（23-24七年级下·辽宁营口·期中），，，…，则（    ） A．1013 B．1022 C．1012 D．1023 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根．解此类题目的关键在于观察已知等式，从等式中找到到规律，再根据规律解题． 认真观察式子，可以发现等式左边的被开方数是从1开始的连续奇数的和，右边是首末两个奇数的平均数（或奇数个数）的平方，利用此规律即可解答． 【详解】观察可得： ， ， …， ∴， ∴ ∴ ∴． 故选：C． 2．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … 250 2500 … 25 250 根据以上规律，若则 【答案】41.4 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意．理解图表是解题的关键． 根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，则． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ． 故答案为：． 23（23-24七年级下·湖北荆州·期中）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 【经典例题七 求一个数的平方根】 【例7】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）若，则x的平方根是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据算术平方根相等可得，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴x的平方根是， 故选：C． 【点睛】本题考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 1．（23-24七年级下·贵州黔南·期中）以下是甲、乙、丙、丁四位同学对相关知识的描述，其中描述错误的是（    ） 甲：16的平方根是        乙：的平方等于5 丙：的平方根是       丁：4的算术平方根是2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据平方根和算术平方根的性质依次判断即可． 本题主要考查了平方根和算术平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根；负数没有平方根；0的平方根是0．熟练掌握平方根和算术平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：16的平方根是，故甲的描述正确； 乙：的平方等于5，故乙的描述正确； 丙：没有平方根，故丙的描述错误； 丁：4的算术平方根是2，故丁的描述正确． 故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）已知M是满足不等式的所有整数的和，N是的整数部分，则的平方根为 ． 【答案】±3 【分析】先通过估算确定M、N的值，再求M+N的平方根． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴a的整数值为：-1，0，1，2， M=-1+0+1+2=2， ∵， ∴， N=7， M+N=9， 9的平方根是±3； 故答案为：±3． 【点睛】本题考查了算术平方根的估算，用“夹逼法”估算算术平方根是解题关键． 3．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）已知正数a的两个不同的平方根分别是和, 的算术平方根是3. (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根的意义，平方根的意义，计算即可． （2）根据平方根的意义，计算即可． 本题考查了平方根，算术平方根的计算与应用，正确理解正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得，   ， ， ∴； ∴， ∴， ∴. （2）． 【经典例题八 求代数式的平方根】 【例8】（23-24八年级上·广东江门·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两边平方得出，再求得即可得答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 1．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将等式两边平方即可求出，然后根据完全平方公式和平方根的定义即可求出结论． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查的是完全平方公式和求平方根，掌握完全平方公式的特征和平方根的定义是解决此题的关键． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知 、，满足，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】利用算术平方根及绝对值的非负性求出x、y的值，即可代入求出的平方根. 【详解】∵， ∴x-1=0，y+2=0， ∴x=1，y=-2， ∴=1+8=9， ∴的平方根为， 故答案为：. 【点睛】此题考查算术平方根及绝对值的非负性，求一个数的平方根，能根据题意求出x、y的值是解题关键. 3．（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)a＝5，b＝4； (2)． 【分析】（1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可； （2）根据平方根定义，求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是4． ∴，，解得a＝5，b＝4． （2）解：当a＝5，b＝4时，ab+5＝25 ，而25的平方根为， 即ab+5的平方根是． 【点睛】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义． 【经典例题九 已知一个数的平方根，求这个数】 【例9】（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）若一个数的平方根是和，则这个数是（　　） A．1 B． C．4 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了平方根．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知，求得，继而得，即可由求出答案． 【详解】解：∵一个数的平方根是和， ∴， 解得：， ∴， ∴，即这个数为16． 故选：D． 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如果和是正数A的平方根，则A为（     ） A．1或9 B．1或 C．1 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平方根．首先根据正数有两个平方根，它们可能互为相反数或相等，则列方程求解即可． 【详解】解：当两数互为相反数时，， 解得：， ∴，， 则这个正数为1； 当两数相等时，， ∴， ∴， 这个正数是9． 故这个正数为1或9， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知某正实数的平方根是和，那么这个正实数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，则，进而可得，若两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此可求出这个正实数． 【详解】解：∵一个正实数的平方根是和， ∴， ∴， ∴， ∴这个数为， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在学习完平方根这一课时后，小明同学提出了一个有趣的问题：一个数的算术平方根为，平方根为，求这个数．小明的解答过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个数为16或4． 数学老师看后说小明的答案是错误的．你知道小明错在哪里吗？请予以改正． 【答案】见解析 【分析】本题考查了算术平方根及平方根，正确理解算术平方根的意义是解题的关键，根据算术平方根及平方根的意义求解即可得解． 【详解】小明在计算第②种情况，当时，解得，这个数的算术平方根，需要舍去． 正确的过程如下： 解：一个数的算术平方根为，平方根为， 或， ①当时，解得， ， 这个数为16； ②当时，解得， ， 算术平方根不能为负数， 舍去， 综上所述，这个数为16． 【经典例题十 利用平方根解方程】 【例10】（22-23八年级下·重庆永川·期末）若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义解答即可. 【详解】      故选：D 【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根，记作．正确理解算术平方根的定义是解题的关键. 1．（23-24八年级上·湖南·开学考试）已知(x 1)2 16 ，则 x 的值是（    ） A．3 B．7 C．3 或5 D．7 或8 【答案】C 【分析】先依据平方根的性质得到x+1=±4，求解即可． 【详解】根据题意得x+1=±4， x=-1±4， 得x=3或-5． 故选C． 【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，依据平方根的性质求得x的值是解题的关键． 2．（23-24八年级上·河南鹤壁·开学考试）若，则x的值为 ． 【答案】或 【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解． 【详解】解： ∴或 解得，或 【点睛】本题考查了运用平方根的性质解方程，熟练掌握平方根的性质是解答本题的关键． 3．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）已知，求未知数x的值 【答案】或 【分析】本题主要考查了根据求平方根的方法解方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开方解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或． 【经典例题十一 平方根的应用】 【例11】（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　） A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536 【答案】A 【分析】根据平方根小数点的移动规律解答． 【详解】解：236000是由23.6小数点向右移动4位得到，则﹣＝﹣485.8； 故选：A． 【点睛】此题考查了平方根小数点的移动规律：当被开方数的小数点向右每移动两位，则平方根的小数点向右移动一位；当被开方数的小数点向左每移动两位，则平方根的小数点向左移动一位． 1．（22-23八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为x，根据长方形与正方形面积相等进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为x， 由题意得：， （舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． 2．（23-24九年级上·河北保定·开学考试）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的大正方形的面积是5，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的大长方形ABCD．    （1）图中四个全等的直角三角形中较长直角边长为a，较短直角边为b，则 （直接填数字）． （2）图②中大长方形ABCD的周长是 ． 【答案】 2 12 【分析】设直角三角形的较长直角边长度为a，较短直角边长度为b，则中间的小正方形长度为（），矩形图可知小正方形的边长为b，易得，根据矩形的面积与大正方形的面积相等列方程求得，进而求出a值，即可解决问题． 【详解】解：设直角三角形的较长直角边长度为a，较短直角边长度为b，则中间的小正方形长度为（）， 由图②可得，小正方形的边长为b， ，即， ∴围成的矩形长为：， ∴围成的矩形面积为：， ∵矩形的面积与大正方形的面积相等， ， 解得：（舍去负值）， ， ， 矩形的周长为：， 故答案为：2，12． 【点睛】本题考查了赵爽弦图，注意利用图形之间关系进行求解． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【答案】(1)大约需要4秒 (2)大约2.8秒 【分析】本题考查了平方根的应用，理解公式，正确代入求值是解此题的关键． （1）将米代入得：，即，计算即可得解； （2）先求出米，再将米代入得，即，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：把米代入得：，即， 解得：（负值舍去）， 答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒 （2）解：由题意得：， 解得， 把代入得：，即， 解得（负值舍去）， ∴秒， 答：该物品坠落地面用了大约2.8秒． 1．（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如果，那么a等于（   ） A．4 B． C．16 D．4或 【答案】D 【分析】本题主要考查了乘方运算、平方根等知识点，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 先计算乘方，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即4或． 故选：D． 2．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）“的平方根是”的表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平方根．根据平方根的意义进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 即， 故选：A． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知 则的平方根是（      ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的非负性和求平方根，先根据算术平方根和绝对值的非负性求出，的值，再求的平方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故选：A． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为，故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即，解答即可． 本题考查了算术平方根的应用，面积的计算，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长． 【详解】解：根据算术平方根的定义，得小正方形的边长为，大正方形的边长为， 故阴影的面积为大长方形的面积减去两个正方形的面积即， 故选B． 5．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知，则的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根与绝对值的非负性，求一个数的平方根． 根据算术平方根与绝对值的非负性求出a、b的值，进而即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 故选：B 6．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）已知实数满足，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，先根据非负数性质得到，，求出、的值，再代入即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ，， ，， ， 故答案为：1． 7．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若一个数的两个平方根为和，则这个数是 ． 【答案】25 【分析】此题考查了平方根，掌握一个正数的平方根互为相反数是关键．根据一个正数的平方根互为相反数可得出的值，代入后即可得出这个正数． 【详解】解：由题意得， 解得：， 这个正数为：． 故答案为：25． 8．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知实数x和y满足，那么＝ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值、非负数的性质，根据非负性求出x、y的值，再代入所求式子计算即可． 【详解】∵， ∴， 解得，， ∴ ， 故答案为：． 9．（22-23八年级下·四川南充·期末）下列各个图形中，“●”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如时，，；时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为 ． 【答案】4047 【分析】此题考查了与实数运算有关的规律题，解题的关键是找到变化的规律并表示出来． 【详解】解：时，，， 时，，， 时，，， …… ∴，， 当时，，， ∴， 故答案为：． 10．（2024·河北邯郸·三模）如图，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， （1）则大正方形的边长是 cm； （2）若将此大正方形纸片的局部剪掉， （填“能”或“否”）剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【答案】 6 否 【分析】本题考查了算术平方根的应用，能根据题意正确列出算式是解题关键． （1）大正方形的边长就是小正方形的对角线，求小正方形对角线即可； （2）根据长方形长宽之比为和面积求出长和宽，与正方形边长进行比较即可． 【详解】解：（1）由大正方形的面积， 得大正方形的边长； 故答案为：6； （2）设长方形纸片长为，宽为， 则， 得， 故， 故不能使剩下一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 故答案为：否． 11．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）已知：和是的两个不同的平方根 (1)求的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．掌握正数的平方根互为相反数是解题的关键． （1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解，即可求解； （2）先求出的值，利用平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 12．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可； 本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 解得：； （2） 或 解得：或． 13．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， ∴由可知， 故答案为：0.245； ②∵，， ∴可知0.03464的小数点向右移动了3位得到， ∴由上述表格可知被开方数小数点需要向右移动6个单位得到， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______． 【知识迁移】 （2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______． 【拓展延伸】 （3）小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【答案】（1）2；；；（2）1；13；；（3）小思说得对，小明说得不对，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，则，计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；长方形的对角线长为； （3）小思说得对，小明说得不对，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：，． 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ； ； (2)当时， ；当时， ； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查算术平方根： （1）根据题目给出的式子特征按要求填空即可； （2）根据题目给出的式子特征按要求填空即可； （3）分别将算式中的算术平方根去掉，再运用有理数加法结合律计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，； 故答案为：； （2）解：由题意，得：时，，时，； 故答案为：； （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$