精品解析：辽宁省沈阳市沈北新区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

沈北新区2024-2025学年度上学期质量监测（一） 九年级数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再根据结果判断根的情况即可． 【详解】一元二次方程中，，，， ∴， ∴这个方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，理解的结果与一元二次方程根的情况是解题的关键．即当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 2. 已知直线，被直线a，b，c所截，截得线段的长度如图所示.若，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由平行截线求相关线段的长或比值，先根据，得出，再计算即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：C 3. 下列说法不能判定四边形是矩形的是（   ） A. 有一个角为90°的平行四边形 B. 四个角都相等的四边形 C. 对角线相等的平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法逐项分析即可. 【详解】A. 有一个角为90°的平行四边形，正确； B. 四个角都相等的四边形，正确； C. 对角线相等的平行四边形，正确； D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故不正确； 故选D. 【点睛】本题考查了矩形的判定方法：①有一个角的直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形. 4. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6. 如图，在平行四边形中，点E在边上，交对角线于点F，如果，，那么的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，根据三角形面积的关系推出，再根据平行四边形的性质，从而推出，进而利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设中边上的高为， 则，， ， ， 平行四边形中， ， ,即， 解得， ， ， 故选：A． 7. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 由，推出，利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：, ， ， ． 故选：C． 8. 已知点是反比例函数图象上的两个点，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数的性质求解更简便． 根据反比例函数的性质判断出的正负情况，然后比较大小即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象经过第一、三象限 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，则点A坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作轴，轴，如图，利用相似三角形的性质求得和的长度，进而即可求解． 【详解】解：作轴，轴，如图 ∵， ， ， ∴，，， ∴，， ∵由题意可得： ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴点A坐标为 故选：C 【点睛】此题考查了位似的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质． 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； 其中正确的（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．①根据，可用，表示，进而得出的正负，②利用根的判别式即可解决问题，③将代入讨论即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故①正确． 方程有两个不相等的实根， ， 即． 又，且， ， 则方程有两个不相等的实根． 故②正确． 是方程的一个根， ， 即， 或． 故③错误． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一点，过点作轴分别交两个图象于点A、，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ． 故答案为：． 12. 如图，菱形的对角线，交于点，过点作于点，连接，若 ，，则对角线的长__________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质．由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，，则，根据勾股定理求出，即可得出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：16． 13. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 【答案】2秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似， 故答案为：2秒或秒． 14. 如图，正方形内接于，点在上，点分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为______． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质，由正方形的性质证明四边形，是矩形，根据矩形的性质得，设正方形的边长为，则，，由正方形的性质可知，则，根据相似三角形的性质得出，然后代入求值即可，掌握矩形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形，是矩形， ∴， 设正方形的边长为，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴正方形的边长， 故答案为：． 15. 已知的两边是关于的方程的两根，第三边长为，当是等腰三角形时，则的值是____________． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质，三角形三边关系，根据题意先求方程的两根，即得三角形另外两边，再根据等腰三角形两腰相等及三角形三边关系判断即可得解． 【详解】解：， ， 或， 的两边是方程的两根， 的两边为、， 当是等腰三角形且第三边为时， 当时，，三边分别为，，，根据三角形三边关系可知不能构成三角形，故不符合题意； 当时，，三边分别为，，，根据三角形三边关系可知能构成三角形，故符合题意； 当时，，三边分别为，，，根据三角形三边关系可知能构成三角形，故符合题意； 故答案为：或． 三、解答题 16. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）先移项，然后通过提取公因式对等式的左边进行因式分解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴， 解得：． 17. 如图：反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点坐标为. （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； （3）一次函数的图象与轴交于点，点是反比例函数图象上的一个动点，若，求此时点的坐标. 【答案】（1），；（2）或；（3）（12，）或（-12，） 【解析】 【分析】（1）把A点坐标代入中求出k得到反比例函数解析式，把A点坐标代入中求出b得到一次函数解析式； （2）由函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可； （3）设P（x，），先利用一次解析式解析式确定C（0，1），再根据三角形面积公式得到，然后解绝对值方程得到x的值，从而得到P点坐标． 【详解】解：（1）把A（1，2）代入得k=2， ∴反比例函数解析式为， 把A（1，2）代入得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）由函数图象可得：当y1＜y2时，-2＜x＜0或x＞1； （3）设P（x，）， 当x=0时，， ∴C（0，1）， ∵S△OCP=6， ∴，解得， ∴P（12，）或（-12，）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式． 18. 某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题． （1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售利润； （2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 【答案】（1）月销售量为千克，月利润为元 （2）销售单价应定为80元/千克 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，根据题意表示出销售数量，再根据利润（售价成本）销售量进行求解即可． （1）先求出销售量，再根据利润（售价成本）销售量进行求解即可； （2）根据设单价应定为x元，利润（售价成本）销售量列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，月销售量为千克， ∴月利润为元； 【小问2详解】 解：设单价应定为x元， 由题意得，， 整理得 解得：，． 当时，月销售成本为元，不合题意舍去； 当时，月销售成本为元，符合题意； ∴， 答：销售单价应定为80元/千克． 19. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）分别求出线段AB和曲线CD的函数关系式； （2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【答案】（1）AB段：，CD段： ；（2）第30分钟注意力更集中；（3）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分别从图像中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）根据上题求出的AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断； （3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能． 【详解】解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20， 把B（10，40）代入得，k1=2， ∴y1=2x+20． 设C、D所在双曲线的解析式为y2=， 把C（25，40）代入得，k2=1000， ∴y2=． （2）当x1=5时，y1=2×5+20=30， 当x2=30时，y2=， ∴y1＜y2 ∴第30分钟注意力更集中． （3）令y1=36， ∴36=2x+20， ∴x1=8 令y2=36， ∴36=， ∴x2=≈27.8 ∵27.8﹣8=19.8＞19， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【点睛】本题考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 20. 如图，已在中，对角线与相交于点O，E，F 是上两点，且，， （1）求证: 四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，直角三角形的性质以及勾股定理等知识： （1）先证明是平行四边形，再证明即可得出结论； （2）根据直角性质得出，过点E作，分别求出，，再根据勾股定理得出 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 过点E作于点G，如图， ∴, ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴， 在中， 21. 有一块长、宽的矩形铁皮． （1）如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长； （2）由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2所示的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为的有盖盒子？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能， 【解析】 【分析】（1）设截去的小正方形的边长为，则长方体盒子的底的长为，宽为．根据题意列出方程就可以求出其解． （2）设左边的小正方形的边长为，根据其底面积为180列出方程，若有解即可能剪裁，否则不能． 【小问1详解】 设小正方形的边长为．得： ， 解得：（舍去），． 答：裁去的正方形的边长为2． 【小问2详解】 能； 设小正方形的边长为．得： ， 解得：（舍去），． 体积为 【点睛】本题是一道几何图形问题，考查了利用矩形的面积公式建立一元二次方程求解的运用．在解答中注意要检验方程的根是否使实际问题有意义．这是在解答时学生容易忽略的问题． 22. 已知：如图，在菱形中，点E是边上的任意一点（不与点D、C重合），交对角线于F，过点E作．交于点G． （1）问题探究：求证：； （2）迁移运用：当时，求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判断，菱形的性质： （1）证明，得到，证明得到，则可得，即； （2）如图所示，连接交于O，由菱形的性质得到，，则，证明，得到，即可得到，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F． 特例研究： 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为正方形． 探究发现： （1）博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明； （2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度． 【答案】 （1）证明：四边形是正方形， ， ， ∵点E绕点C逆时针旋转得到点， ∴, ∵， ， ， ， ∴, ∴四边形的形状都是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． （2），理由如下： 连接， ∵四边形是正方形，是的中点， ∴是的中点，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是的中点， ∴，，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】1）先证明，再利用正方形的判定定理证明即可； （2）利用正方形的性质，勾股定理，直角三角形的特征量，等腰直角三角形的特点，推理证明即可． （3）取的中点M，取的中点N，连接，，，，利用三角形中位线定理，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点M，取的中点N， 连接，，，， ∴, ∵， ∴， 根据（2）得，， ∴，，， ∴，，， ∵四边形是正方形，是的中点，， ∴，，， ∴， ∴， 过点M作于点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，直角三角形的特征量，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握正方形性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，三线合一性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈北新区2024-2025学年度上学期质量监测（一） 九年级数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 2. 已知直线，被直线a，b，c所截，截得线段的长度如图所示.若，则x的值为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法不能判定四边形是矩形的是（   ） A. 有一个角为90°的平行四边形 B. 四个角都相等的四边形 C. 对角线相等的平行四边形 D. 对角线互相平分的四边形 4. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，点E在边上，交对角线于点F，如果，，那么的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是反比例函数图象上的两个点，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，则点A坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； 其中正确的（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一点，过点作轴分别交两个图象于点A、，若，则的值为______． 12. 如图，菱形的对角线，交于点，过点作于点，连接，若 ，，则对角线的长__________． 13. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 14. 如图，正方形内接于，点在上，点分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为______． 15. 已知的两边是关于的方程的两根，第三边长为，当是等腰三角形时，则的值是____________． 三、解答题 16. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）； 17. 如图：反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点坐标为. （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； （3）一次函数的图象与轴交于点，点是反比例函数图象上的一个动点，若，求此时点的坐标. 18. 某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题． （1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售利润； （2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ 19. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）分别求出线段AB和曲线CD的函数关系式； （2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 20. 如图，已在中，对角线与相交于点O，E，F 是上两点，且，， （1）求证: 四边形是矩形； （2）若，求的长． 21. 有一块长、宽的矩形铁皮． （1）如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长； （2）由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图2所示的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，问能否折出底面积为的有盖盒子？如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 22. 已知：如图，在菱形中，点E是边上的任意一点（不与点D、C重合），交对角线于F，过点E作．交于点G． （1）问题探究：求证：； （2）迁移运用：当时，求证：． 23. 综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F． 特例研究： 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为正方形． 探究发现： （1）博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明； （2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $