精品解析：山东省庆云县东辛店中学2024-2025学年上学期第一次月考九年级数学试题

九年级数学试题 时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．本试题分第卷和第卷两部分．第卷共2页为选择题，36分；第卷共3页为非选择题，84分；全卷共5页，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答第卷前，考生务必将自己的姓名、考号写在试卷第一页左侧，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第卷，每题选出答案后，填在第二页上方的答题卡上． 4．考试时不允许使用科学计算器 第卷（选择题 共36分） 一、选择题．（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，请将答案写在后面的答题卡上） 1. 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值【 】 A. 不变 B. 缩小为原来 C. 扩大为原来的3倍 D. 不能确定 2. 如图1，在4×4的正方形网格中，tanα= A. 1 B. 2 C. D. 3. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是【 】 A. 100m B. 100m C. 150m D. 50m 4. 正方形在太阳光下的投影不可能是（ ）． A. 正方形 B. 一条线段 C. 矩形 D. 三角形 5. 底面与投影面垂直的圆锥体的正投影是 ( ) A. 圆 B. 三角形 C. 矩形 D. 正方形 6. 如图，正方体表面上画有一圈黑色线条，则它的左视图是【 】 A. B. C. D. 7. 王老师有一个装文具用的盒子，它的三视图如图，这个盒子类似于（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 三棱柱 8. 几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（ ） A 3 B. 4 C. 12 D. 16 10. 在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC边的长是（ ） A. 6 B. 2 C. 3 D. 2 11. 如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（　　） A. sinA=cosA B. sinA＞cosA C. sinA＞tanA D. sinA＜cosA 12. 若干个正方体形状的积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第卷（非选择题 共96分） 注意事项： 1． 第卷共3页，用钢笔或圆珠笔直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：（本大题5个小题，每小题4分，共20分）请将答案直接填写在题后的横线上，只要求填写最后结果． 13. 为测量旗杆的高度,我们取1米长的木杆直立在阳光下,其影长为1.5米,在同一时刻测得旗杆的影长为10.5米,则旗杆的高度是____米. 14. 如图，是水平放置的长方体，它的底面边长为2和4，左视图的面积为6，则该长方体的体积为_____． 15. 如图，的半径为，圆心在正三角形的边上沿图示方向移动，当移动到与边相切时，的长为_______． 16. 由一些大小相同的小正方形组成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需的小正方形的个数最少为_________． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD=2，则△ABC的周长等于____________ 三、解答题（本题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. 计算： （1） （2） 19. （1）如图是由几个小立方块所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 20. 如图是一几何体主视图和俯视图，求该几何体的体积． 21. 黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中，千米， 千米，请据此解答如下问题： （1）求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据，，） （2）求的余弦值． 22. 某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条幅从楼顶处放下，在楼前点处拉直固定，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前处测得楼顶点的仰角为，再沿方向前进米到达处，测得点的仰角为，已知点到大厦的距离米，，请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：，，) 23. 水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米． （1）已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？ （2）求加固后大坝背水坡面的坡度． 24. 学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化． 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）求sad60°值； （2）对于0°＜A＜180°，求∠A的正对值sadA的取值范围． （3）已知sinα=，其中α为锐角，试求sadα的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学试题 时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．本试题分第卷和第卷两部分．第卷共2页为选择题，36分；第卷共3页为非选择题，84分；全卷共5页，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答第卷前，考生务必将自己的姓名、考号写在试卷第一页左侧，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第卷，每题选出答案后，填在第二页上方的答题卡上． 4．考试时不允许使用科学计算器 第卷（选择题 共36分） 一、选择题．（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，请将答案写在后面的答题卡上） 1. 把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值【 】 A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】锐角三角函数的定义． 【分析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．故选A． 2. 如图1，在4×4的正方形网格中，tanα= A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求一个角的正切值，可将其转化到直角三角形中，利用直角三角函数关系解答． 【详解】解：如图，在直角△ACB中，； ∴tanα==2； 故选B． 3. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是【 】 A. 100m B. 100m C. 150m D. 50m 【答案】A 【解析】 【详解】∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：， ∴， ∵BC=50， ∴AC=50， ∴（m）． 故选A 4. 正方形在太阳光下的投影不可能是（ ）． A. 正方形 B. 一条线段 C. 矩形 D. 三角形 【答案】D 【解析】 【分析】同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．则正方形在太阳光下的投影得到的应是平行四边形或是特殊的平行四边形或线段． 【详解】A项：正方形是特殊的平行四边形，符合要求； B项：线段，符合要求； C项：矩形是特殊的平行四边形，符合要求； D项：三角形不是平行四边形，不是特殊的平行四边形，不是线段，不符合要求． 故选D 【点睛】本题考查平行投影，太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影仍然平行． 5. 底面与投影面垂直的圆锥体的正投影是 ( ) A. 圆 B. 三角形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】B 【解析】 【分析】底面与投影面垂直即是求圆锥的主视图, 【详解】解：底面与投影面垂直，即与光线平行； 故它的正投影是它的轴截面，三角形． 故选B． 【点睛】本题考查了三视图中的主视图，解决本题的难点是判断出是求圆锥的哪种视图． 6. 如图，正方体表面上画有一圈黑色线条，则它的左视图是【 】 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中：左视图是正方形，中间还有一条竖线．故选B． 7. 王老师有一个装文具用的盒子，它的三视图如图，这个盒子类似于（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 三棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，根据三视图的知识可使用排除法来解答． 【详解】解：如图，俯视图为三角形，故可排除C、B．主视图以及侧视图都是矩形，可排除A， 故选D． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，难度一般，考生做此类题时可利用排除法解答． 8. 几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4个小正方体， 第二层应该有1个小正方体， 因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5个， 所以这个几何体的体积是5． 故选B． 【点睛】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 9. 长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据物体的主视图与俯视图可以得出，物体的长与高以及长与宽，进而得出左视图面积=宽×高． 【详解】解:根据物体的主视图与俯视图可以得出，物体的长与高以及长与宽， 从而得出：左视图面积=宽×高． 故选A． 【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体的形状，利用主视图确定物体的长与高；俯视图确定物体的长与宽是解题关键． 10. 在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC边的长是（ ） A. 6 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】在△ABC中，∠C=90°，sinA=， 由BC=4即可求得AB=6， 根据勾股定理即可得AC=， 故选：B. 11. 如图，已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（　　） A. sinA=cosA B. sinA＞cosA C. sinA＞tanA D. sinA＜cosA 【答案】B 【解析】 【详解】：根据锐角三角函数的增减性sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，直接得出答案即可． ：解：∵45°＜A＜90°， ∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小， 当∠A＞45°时，sinA＞cosA， 故选：B． 12. 若干个正方体形状积木摆成如图所示的塔形，平放于桌面上，上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点，最下面的正方体棱长为1，如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图与表面积，画出俯视图，可得相邻两个正方体中，上边一个正方体的一个面的面积为下边一个正方体的一个面的面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：塔形的俯视图如下： ∴不管多少个正方体，俯视图的面积都不变都是， ∵上面正方体的下底四个顶点是下面相邻正方体的上底各边中点， ∴连接俯视图对角线后，所有最小的三角形都是全等的等腰直角三角形， ∴相邻两个正方体中，上边一个正方体的一个面的面积为下边一个正方体的一个面的面积的一半， ∴只有一个正方体时面积为； 两个正方体时塔形露在外面的面积为； 三个正方体时塔形露在外面的面积为； ∴如果塔形露在外面的面积（不包括与桌面接触的面）超过8，则正方体的个数至少是四个， 故选：C． 第卷（非选择题 共96分） 注意事项： 1． 第卷共3页，用钢笔或圆珠笔直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：（本大题5个小题，每小题4分，共20分）请将答案直接填写在题后的横线上，只要求填写最后结果． 13. 为测量旗杆的高度,我们取1米长的木杆直立在阳光下,其影长为1.5米,在同一时刻测得旗杆的影长为10.5米,则旗杆的高度是____米. 【答案】7. 【解析】 【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答． 【详解】设旗杆的高度为x米． ∵同一时刻物高与影长成正比例，∴1：1.5=x：10.5，解得：x=7，∴旗杆的高度为7米． 故答案为7． 【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想． 14. 如图，是水平放置的长方体，它的底面边长为2和4，左视图的面积为6，则该长方体的体积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】长方体左视图是一个矩形，因为它的面积为6，一边长为2，所以另一边长为3，从而得出长方体的高为3，然后根据长方体体积公式求解即可． 【详解】解∶根据题意，得长方体的高为， ∴长方体的体积等于． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了三视图和长方体的体积计算，关键是掌握左视图是从几何体的左边看所得到的视图． 15. 如图，的半径为，圆心在正三角形的边上沿图示方向移动，当移动到与边相切时，的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数的计算，根据题意，设切点为点，连接，则，结合等边三角形的性质可得，利用特殊角的三角函数值可求得． 【详解】解：如图所示，当移动到与边相切时，设切点为点，连接，则， ∵是等边三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 由一些大小相同小正方形组成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需的小正方形的个数最少为_________． 【答案】4 【解析】 【详解】试题分析：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，出可能两行都是两层．所以图中的小正方体最少4块，最多5块． 考点：几何体的三视图 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD=2，则△ABC的周长等于____________ 【答案】6+2 【解析】 【分析】根据已知可以得出∠BAC＝60°，而将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°，可知∠B1AD＝45°，可以求出AB1＝2，而AB与AB1是相等的，故可求AB，那么BC和AC可求，则△ABC的周长可求． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°， 则∠BAC＝60°， 将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后，∠B1AD＝45°， 而∠AB1D＝90°，故△AB1D是等腰直角三角形， 由于AD＝2，则根据勾股定理得，AB1＝2， ∴AB＝AB1＝2，AC＝2AB＝4，BC＝2， △ABC的周长为：AB+BC+AC＝2+4+2＝6+2． 故本题答案为：6+2． 【点睛】本题主要考查旋转和直角三角形的性质，掌握旋转的性质和直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，是解决问题的关键． 三、解答题（本题共7小题，共64分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值的计算，实数的混合运算， （1）先计算特殊角的三角函数值，去绝对值，负指数幂，再根据实数的混合运算即可求解； （2）先计算负指数幂，零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值，再根据实数混合运算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. （1）如图是由几个小立方块所搭几何体俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． （2）楼房、旗杆在路灯下的影子如图所示．试确定路灯灯泡的位置，再作出小树在路灯下的影子．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【解析】 【分析】本题考查画三视图和中心投影的特点与应用． （1）从正面看有三列，小立方块分别有，2，2，3个，从左面看有三列，小立方块分别有，1，3，2个，从而可得出主视图和左视图． （2）根据楼和旗杆的物高与影子得到光源所在；根据光源和树的物高得影子长． 【详解】解：（1）主视图和左视图如下图所示： （2）点P为灯泡的位置，树底到点B即为物高得影子长． 20. 如图是一几何体的主视图和俯视图，求该几何体的体积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据三视图计算几何体的体积，由主视图和俯视图可知，该几何体的下部分是一个长方体，上部分是一个圆柱，据此根据长方体和圆柱的体积计算公式求解即可． 【详解】解：由主视图和俯视图可知，该几何体的下部分是一个长方体，上部分是一个圆柱， ， ∴这个几何体的体积为． 21. 黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中，千米， 千米，请据此解答如下问题： （1）求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据，，） （2）求的余弦值． 【答案】（1）千米，平方千米 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及三角函数余弦的定义等知识点，理解并熟练运用勾股定理及三角函数的定义是解题的关键． （1）先后在和中求得和的长，即可求得周长和面积； （2）中，利用三角函数余弦的定义即可求出在中． 【小问1详解】 解：千米，， ∴， ∴由勾股定理可得 千米． 又∵， ∴（千米） ∴周长为：（千米） 面积为：（平方千米） 故该岛的周长为55千米，面积为157平方千米． 【小问2详解】 在中，千米，千米， ∴． 故余弦值为． 22. 某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所示，一条幅从楼顶处放下，在楼前点处拉直固定，小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前处测得楼顶点的仰角为，再沿方向前进米到达处，测得点的仰角为，已知点到大厦的距离米，，请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：，，) 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，设米．根据，得到，然后在中得到求得，然后在中，利用勾股定理求得即可．解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 【详解】解：设米， ∵，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， 在中，（米）， ∴条幅的长度约为米． 23. 水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形．如图所示，已知迎水坡面的长为米，，背水坡面的长为米，加固后大坝的横截面为梯形，的长为米． （1）已知需加固的大坝长为米，求需要填土石方多少立方米？ （2）求加固后大坝背水坡面的坡度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理、坡度的定义（是指地表单元陡缓的程度，通常把坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度，即坡角的正切值），熟记特殊角的三角函数值和坡度的定义是解题关键． （1）分别过、作下底的垂线，设垂足为、．在中，已知坡面长和坡角的度数，可求得铅直高度的值，也就得到了的长；以为底，为高即可求出的面积，再乘以大坝的长度，即为所需的填方体积． （2）在中，由勾股定理求的长，即可得到的长；中，根据、的长即可求得坡角的正切值，即坡面的坡度． 【小问1详解】 过点作于，过点作于， ∴． 在中，（米）， ∴（米）． ∴（平方米）． ∴需要填土石方体积为：． 【小问2详解】 在中，， ∴． ∴加固后大坝背水坡面的坡度． 24. 学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化． 类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的． 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）求sad60°的值； （2）对于0°＜A＜180°，求∠A的正对值sadA的取值范围． （3）已知sinα=，其中α为锐角，试求sadα的值． 【答案】（1）1；（2）0＜sadA＜2；（3） ． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答； （2）求出0°和180°时等腰三角形底和腰的比即可； （3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答． 【详解】（1）根据正对定义， 当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°， 则三角形为等边三角形， 则sad60°==1． （2）当∠A接近0°时，sadA接近0， 当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2． 于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2． （3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=． 在AB上取点D，使AD=AC， 作DH⊥AC，H为垂足， 令BC=3k，AB=5k， 则AD=AC==4k， 又∵在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A= ． ∴DH=AD sin∠A=k，AH= = k． 则在△CDH中，CH=AC﹣AH=k，CD==k． 于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=k． 由正对的定义可得：sadA=，即sadα=． 【点睛】本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，勾股定理，解题关键是熟悉三角函数的定义，进行类比解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$