14.1 等式的乘法（25个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第14章《整式的乘法与因式分解》】 14.1 整式的乘法 （25个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：同底数幂相乘 2 考点讲练2：同底数幂乘法的逆用 2 考点讲练3：用科学记数法表示数的乘法 3 考点讲练4：幂的乘方运算 3 考点讲练5：幂的乘方的逆用 4 考点讲练6：幂的混合运算 4 考点讲练7：积的乘方运算 5 考点讲练8：积的乘方的逆用 5 考点讲练9：程序流程图与代数式求值 5 考点讲练10：同底数幂的除法运算 6 考点讲练11：同底数幂除法的逆用 7 考点讲练12：计算单项式乘单项式 7 考点讲练13：利用单项式乘法求字母或代数式的值 7 考点讲练14：计算单项式乘多项式及求值 8 考点讲练15：单项式乘多项式的应用 8 考点讲练16：利用单项式乘多项式求字母的值 9 考点讲练17：计算多项式乘多项式 9 考点讲练18：（x+p）（x+q）型多项式乘法 10 考点讲练19：已知多项式乘积不含某项求字母的值 11 考点讲练20：多项式乘多项式——化简求值 12 考点讲练21：多项式乘多项式与图形面积 12 考点讲练22：多项式乘法中的规律性问题 13 考点讲练23：整式乘法混合运算 14 考点讲练24：多项式除以单项式 15 考点讲练25：整式四则混合运算 15 中等题真题汇编练 16 培优题真题汇编练 17 考点讲练1：同底数幂相乘 【精讲题】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）代数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·期末）已知关于，的方程组，给出下列结论： ①不论取何值，方程组总有一组解； ②当时，，的值互为相反数； ③； ④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④ 【举一反三练2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 考点讲练2：同底数幂乘法的逆用 【精讲题】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若，则a等于（      ） A．7 B．4 C．3 D．2 考点讲练3：用科学记数法表示数的乘法 【精讲题】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【举一反三练1】（22-23八年级上·吉林·期中）光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为 米． 【举一反三练2】（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 考点讲练4：幂的乘方运算 【精讲题】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（n取正整数）的结果是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)____________；若，则____________； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，求的值 【举一反三练2】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 考点讲练5：幂的乘方的逆用 【精讲题】（23-24七年级下·全国·期末）已知，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）当，则的值为 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习），则 ． 考点讲练6：幂的混合运算 【精讲题】（2024·浙江宁波·模拟预测）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（2024七年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 【举一反三练2】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2) 考点讲练7：积的乘方运算 【精讲题】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 考点讲练8：积的乘方的逆用 【精讲题】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算的结果是 ． 【举一反三练1】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）计算： ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算： 考点讲练9：程序流程图与代数式求值 【精讲题】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为时，输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（22-23八年级上·江苏淮安·阶段练习）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是，若输入的值是，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为4的是（　　） A．， B．， C．， D．， 考点讲练10：同底数幂的除法运算 【精讲题】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算 (1)； (2)． 【举一反三练2】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，求的值． 考点讲练11：同底数幂除法的逆用 【精讲题】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）（1）已知，，求的值． （2）已知，求x的值 【举一反三练2】（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）若，，则的结果为（   ） A．144 B．24 C．25 D．49 考点讲练12：计算单项式乘单项式 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）计算= ． 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算： 【举一反三练2】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算的结果为 ． 考点讲练13：利用单项式乘法求字母或代数式的值 【精讲题】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式与 的积为，则的值为（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 考点讲练14：计算单项式乘多项式及求值 【精讲题】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算所得结果的次数是（   ） A．八次 B．九次 C．十四次 D．二十四次 【举一反三练1】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）某同学在计算乘一个多项式时错将乘法做成了加法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（2024八年级上·全国·专题练习）先化简再求值：，其中． 考点讲练15：单项式乘多项式的应用 【精讲题】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）如图，一个木制的长方体箱子的长、宽、高分别为，则这个木制的长方体的体积为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）清明上河园是依照《清明上河图》建造的大型历史文化主题公园，为提升游客游园体验，如图，公园准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的绿色观光道路，则道路的面积为 平方米．（要求化成最简形式） 【举一反三练2】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为2a米，宽为米的长方形． (1)这块土地的总面积是多少平方米？ (2)求当米，米时，厨房的用地面积． 考点讲练16：利用单项式乘多项式求字母的值 【精讲题】（23-24七年级下·重庆·阶段练习）要使中不含有的四次项，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南·阶段练习）若的展开式中不含项，则的值是 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 考点讲练17：计算多项式乘多项式 【精讲题】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）某水果批发商八月份销售了苹果270箱、梨子250箱．已知苹果每箱售价是梨子每箱售价的，且这两种水果八月份的销售额共为7740元． (1)求该水果商八月份苹果和梨子的每箱售价分别为多少元； (2)随着市场的变化，该水果批发商九月份对苹果和梨子的售价进行了调整．每箱苹果的售价在八月份的基础上下调了，每箱梨子的售价在八月份的基础上上涨了，九月份这两种水果的销量在八月份的基础上都上涨了，要使得这两种水果九月份的总销售额不低于八月份的总销售额的，求的最小值． 【举一反三练2】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 考点讲练18：（x+p）（x+q）型多项式乘法 【精讲题】（22-23八年级上·四川眉山·期中）若乘积中不含项和项，则、的值为（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若，则实数a、b的符号为（   ） A．a、b同为正 B．a、b同为负 C．a、b异号且绝对值大的为正 D．a、b异号且绝对值大的为负 【举一反三练2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 考点讲练19：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【精讲题】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若的结果中不含的一次项，则的值为 ． 【举一反三练1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若关于x的多项式与的乘积中不含x的一次项，则 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）（1）化简求值：，其中，； （2）已知中，不含项和项，求，的值． 考点讲练20：多项式乘多项式——化简求值 【精讲题】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．13 B．3 C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【举一反三练2】（24-25八年级上·湖南·阶段练习）已知，，则代数式的值是 ． 考点讲练21：多项式乘多项式与图形面积 【精讲题】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为，宽为． (1)请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； (2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，若每需花费x元，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）． 【举一反三练2】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知长方形中，，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠），图①长方形被这两张正方形纸片覆盖的部分的面积为，图②长方形被这两张正方形纸片覆盖的部分的面积为，当时， ； 考点讲练22：多项式乘法中的规律性问题 【精讲题】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． …… …… ……1 …… …… …1   1 …… …… 1   2  1 …… … 1  3   3  1 ………1  4  6  4  1 … 1  5  10  10  5  1 … 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为（） A．84 B．56 C．35 D．28 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南·阶段练习）请你计算：猜想的结果是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）观察下列式子的因式分解做法： ①； ②； ③． (1)模仿以上做法，尝试对进行因式分解：___________； (2)观察以上结果，猜想___________；（n为正整数，直接写结果，不用验证） (3)试求的值． 考点讲练23：整式乘法混合运算 【精讲题】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）先化简， 再求值： ，其中， 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【举一反三练2】（23-24八年级上·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 考点讲练24：多项式除以单项式 【精讲题】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的宽是（   ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若一个多项式A与的积为，则这个多项式A为 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，后求值：，其中，． 考点讲练25：整式四则混合运算 【精讲题】（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 【举一反三练1】（23-24七年级下·河南郑州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【举一反三练2】（23-24八年级上·福建福州·单元测试）先化简，再求值：．其中 中等题真题汇编练 1．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①；②；③；④，你认为其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）常见的“幂的运算”有：同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方．在“”的运算过程中，依次运用（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）计算： ． 7．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）计算： ． 8．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）若．则的值为 ． 9．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若，则 ． 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 11．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）计算： (1)． (2) 12．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知a、b满足代数式：，求代数式的值． 13．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，，求，，的值． 14．（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）规定，求： (1)求的值； (2)若，求的值． 培优题真题汇编练 15．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列运算正确的是 （      ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列各计算中，正确的是 （      ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为不小于3的整数），其面积分别为，，若满足条件的整数n有且只有6个，则m的值为（   ） A．7 B．8 C．5 D．9 19．（2024八年级上·全国·专题练习）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（ ） A．0 B． C．2 D．3 20．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知的展开式中不含x项，项的系数为，则的值为 ． 21．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 22．（22-23八年级上·四川眉山·期中）已知，求的值 ． 23．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）若且，则代数式 ． 24．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习） ． 25．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简后求值： (1)，其中 (2)，其中 26．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 27．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）数学探究活动课上，八年级的同学发现由幂的运算逆向思维可以得到，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙解决 (1)若，求m的值； (2)若，试比较a，b，c的大小关系． 28．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第14章《整式的乘法与因式分解》】 14.1 整式的乘法 （25个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：同底数幂相乘 2 考点讲练2：同底数幂乘法的逆用 4 考点讲练3：用科学记数法表示数的乘法 5 考点讲练4：幂的乘方运算 6 考点讲练5：幂的乘方的逆用 8 考点讲练6：幂的混合运算 9 考点讲练7：积的乘方运算 11 考点讲练8：积的乘方的逆用 13 考点讲练9：程序流程图与代数式求值 14 考点讲练10：同底数幂的除法运算 15 考点讲练11：同底数幂除法的逆用 17 考点讲练12：计算单项式乘单项式 18 考点讲练13：利用单项式乘法求字母或代数式的值 19 考点讲练14：计算单项式乘多项式及求值 21 考点讲练15：单项式乘多项式的应用 22 考点讲练16：利用单项式乘多项式求字母的值 24 考点讲练17：计算多项式乘多项式 25 考点讲练18：（x+p）（x+q）型多项式乘法 27 考点讲练19：已知多项式乘积不含某项求字母的值 29 考点讲练20：多项式乘多项式——化简求值 31 考点讲练21：多项式乘多项式与图形面积 32 考点讲练22：多项式乘法中的规律性问题 34 考点讲练23：整式乘法混合运算 37 考点讲练24：多项式除以单项式 38 考点讲练25：整式四则混合运算 39 中等题真题汇编练 40 培优题真题汇编练 46 考点讲练1：同底数幂相乘 【精讲题】（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）代数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查同底数幂的乘法，根据即可求解． 【规范解答】解： ， 故选：C． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·期末）已知关于，的方程组，给出下列结论： ①不论取何值，方程组总有一组解； ②当时，，的值互为相反数； ③； ④当时，．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④ 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，②中可以不用求解方程组的解，而是直接求出的值，这样比较简便．利用加减消元法消去，得：，故①③正确；当时，代入方程组计算得：，故②正确；解出方程组的解，根据条件得，把方程组的解代入得，故④正确． 【规范解答】解：， ①②得：， ， 不论取何值，方程组总有一组解， 故①③正确； 当时，方程组为：， ①②得：， ， ，的值互为相反数， 故②正确； ， 解得：， ， ， ， ， 故④正确； 故选：A 【举一反三练2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题考查了实数的混合运算，同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先计算乘方、化简绝对值和二次根式，再算加减即可； （2）先根据同底数幂的乘法运算法则计算，再算减法即可． 【规范解答】（1）解： （2） 考点讲练2：同底数幂乘法的逆用 【精讲题】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查有理数的运算，同底数幂乘法，利用同底数幂乘法法则计算即可． 【规范解答】解： ， 故选：A． 【举一反三练1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，，则 ． 【答案】28 【思路点拨】本题考查的是同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加． 根据同底数幂的乘法的逆运算即可得出答案． 【规范解答】解：∵， 故答案为：28． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若，则a等于（      ） A．7 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【思路点拨】本题考查了逆用同底数幂的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意可得，继而得到，即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 考点讲练3：用科学记数法表示数的乘法 【精讲题】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【规范解答】解：， 故选D． 【举一反三练1】（22-23八年级上·吉林·期中）光在真空中的速度约为米秒，太阳光照射到地球上大约需要秒，地球与太阳的距离约为 米． 【答案】 【思路点拨】此题考查了科学记数法的表示方法和同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则和科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值，熟练掌握运算法则． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 【答案】 【思路点拨】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【规范解答】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 考点讲练4：幂的乘方运算 【精讲题】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（n取正整数）的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】该题考查了幂的乘方，熟记性质并灵活运用是解题的关键，需要注意是偶数，所以计算结果是正数． 根据幂的乘方的性质：底数不变，指数相乘；计算即可． 【规范解答】解：（n取正整数）， 故选：D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)____________；若，则____________； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，求的值 【答案】(1)4；64 (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了新定义，同底数幂乘法计算，幂的乘方及其逆运算： （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可得到，，，再由同底数幂乘法计算法则得到，据此可得答案； （3）根据新定义得到，再由幂的乘方计算法则求出，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则推出，据此代值计算即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：4；64； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)27 (2)99 【思路点拨】本题主要考查了幂的乘方的逆用、同底数幂相乘的逆用等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先根据题可知，再将整理为，然后代入求值即可； （2）根据幂的乘方运算法则和幂的乘方运算的逆用将原式整理为，然后代入求值即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 考点讲练5：幂的乘方的逆用 【精讲题】（23-24七年级下·全国·期末）已知，，，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了幂的乘方的逆用； 分别逆用幂的乘方法则变形，然后即可作出判断． 【规范解答】解：∵，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【举一反三练1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）当，则的值为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查同底数幂的乘法逆运算，幂的乘方的逆运算，掌握运算法则是解题的关键． 首先得到，然后利用同底数幂的乘法逆运算，幂的乘方的逆运算求解即可． 【规范解答】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：4． 【举一反三练2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习），则 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查幂的乘方的逆运算，逆用幂的乘方法则进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴； 故答案为：4． 考点讲练6：幂的混合运算 【精讲题】（2024·浙江宁波·模拟预测）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了合并同类项及幂的运算，正确理解合并同类项法则及幂的运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则及幂的运算法则即可判断答案． 【规范解答】选项A，，所以A选项错误，不合题意； 选项B，，所以B选项错误，不合题意； 选项C，，所以C选项错误，不合题意； 选项D，计算正确，符合题意． 故选D． 【举一反三练1】（2024七年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)，． 【思路点拨】本题主要考查了幂的混合运算，整式的化简求值： （1）先算幂的乘方和积的乘方，再计算同底数幂除法，最后合并同类项即可求解； （2）把 作为一个整体，根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （3）先算括号内的同底数幂乘除法，幂的乘方和积的乘方，再计算除法，最后再代入求值，即可求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当时，原式 【举一反三练2】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再算加减即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2） 考点讲练7：积的乘方运算 【精讲题】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘，根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘的运算法则逐项判断即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三练1】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知为正整数，且，求的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了幂的乘方计算，积的乘方计算，先根据幂的乘方计算法则求出，，再由积的乘方计算法则和幂的乘方计算法则得到，据此代值计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了积的乘方．根据积的乘方运算法则求解即可． 【规范解答】解：， 故选：A． 考点讲练8：积的乘方的逆用 【精讲题】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，解题的关键熟练掌握各种运算的特点． 将原式化为，继而得到即可求解． 【规范解答】解： ． 【举一反三练1】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了逆用同底数幂的乘法，积的乘方法则计算，逆用同底数幂的乘法，积的乘方法则计算即可． 【规范解答】 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算： 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了积的乘方公式的逆用，根据得出，然后再进行计算即可． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 考点讲练9：程序流程图与代数式求值 【精讲题】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为时，输出的y的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据程序，，是有理数，继续运算，符合题意，输出即可． 本题考查了立方根，无理数，求代数式的值，熟练掌握立方根，无理数是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得是有理数，继续运算，符合题意， 故选：C． 【举一反三练1】（22-23八年级上·江苏淮安·阶段练习）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是，若输入的值是，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】将代入中求出，再将代入中即可求解． 本题考查了求函数值．熟练掌握函数值的求法是解题的关键． 【规范解答】解：输入的值是，则输出的值是， ， 解得， 当时，． 故选：． 【举一反三练2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为4的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了有理数比较大小、代数式求值等知识，正确理解题意是解题关键．根据题意，分别将各选项中的值进行比较，然后代入求值即可． 【规范解答】解：A. 当，时，因为，则有，故不符合题意； B. 当，时，因为，则有，故不符合题意； C. 当，时，因为，则有，符合题意； D. 当，时，因为，则有，故不符合题意． 故选：C． 考点讲练10：同底数幂的除法运算 【精讲题】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，积的乘方等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，积的乘方法则逐项判断即可． 【规范解答】解：A. ，原式计算错误，故选项不符合题意； B. ，原式计算错误，故选项不符合题意； C. ，原式计算正确，故选项符合题意； D. ，原式计算错误，故选项不符合题意； 故选：． 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了实数运算和整式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先进行立方根运算、乘方运算、化简绝对值以及算术平方根运算，然后相加减即可； （2）首先进行积的乘方运算和幂的乘方运算，然后根据同底数幂的除法和乘法运算法则求解即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，求的值． 【答案】15 【思路点拨】本题主要考查求代数式的值，幂的混合运算，根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂的除法法则将原式化简，再将代入即可解答． 【规范解答】解：原式 ， ∵， ∴原式 ． 考点讲练11：同底数幂除法的逆用 【精讲题】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查幂的混合运算，掌握幂的混合运算法则是解题关键．根据幂的混合运算法则可推出，再整体代入求值即可． 【规范解答】解：． 故选C． 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）（1）已知，，求的值． （2）已知，求x的值 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘法和除法和幂的乘方运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、除法和幂的乘方运算法则． （1）利用同底数幂的除法逆运算和幂的乘方逆运算计算即可； （2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方逆运算计算即可． 【规范解答】解：（1），， ； （2）∵ ， ， ， ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）若，，则的结果为（   ） A．144 B．24 C．25 D．49 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了幂的乘方计算，幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，先根据幂的乘方计数法按照得到，再由乘方的逆运算法则得到，进一步由同底数幂乘法计算法则得到，据此代值计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：A． 考点讲练12：计算单项式乘单项式 【精讲题】（2024八年级上·全国·专题练习）计算= ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了单项式乘单项式即同底数幂相乘，根据运算法则进行计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算： 【答案】 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先根据单项式乘单项式计算各项，再合并同类项，即可解题． 【规范解答】解：   ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）计算的结果为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查单项式的乘法，熟练掌握单项式的乘法法则：系数乘系数，相同字母按照同底数幂的乘法进行计算，只在一个单项式中出现的字母连同指数写在积里，作为积的一个因式，是解题的关键．利用单项式乘单项式的法则，进行计算即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 考点讲练13：利用单项式乘法求字母或代数式的值 【精讲题】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式与 的积为，则的值为（   ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【思路点拨】根据单项式乘单项式法则可得，即可求出m、n的值． 本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 【规范解答】， ， ，， ． 故选：C． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·假期作业）若，则的值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【答案】C 【思路点拨】根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键． 【规范解答】， ， ，， ． 故选：C． 考点讲练14：计算单项式乘多项式及求值 【精讲题】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算所得结果的次数是（   ） A．八次 B．九次 C．十四次 D．二十四次 【答案】B 【思路点拨】本题考查了单项式与多项式相乘，根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，再求所得结果的次数即可． 【规范解答】解：， 次数是，次数是，次数是， ∴所得结果的次数是． 故选：B． 【举一反三练1】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）某同学在计算乘一个多项式时错将乘法做成了加法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查整式的混合运算，单项式乘多项式，先根据题意算出这个多项式，再与相加即乘即可，熟练掌握整式的混合运算的运算法则是解答本题的关键． 【规范解答】解：由题意知， 这个多项式为：， ∴正确的计算结果为： ， 故选：A． 【举一反三练2】（2024八年级上·全国·专题练习）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了整式的乘法的混合运算，掌握运算法则准确计算是本题的关键． 根据单项式乘多项式，多项式乘多项式法则运算，再合并同类项，最后代入求值即可． 【规范解答】解： ， 当时，原式 ． 考点讲练15：单项式乘多项式的应用 【精讲题】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）如图，一个木制的长方体箱子的长、宽、高分别为，则这个木制的长方体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了整式乘法的应用，能够列出乘法式子正确计算是解题关键． 先通过长方体的体积计算方法，列出乘法式子，然后进行计算即可． 【规范解答】解：长方体的体积为： 故选：A ． 【举一反三练1】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）清明上河园是依照《清明上河图》建造的大型历史文化主题公园，为提升游客游园体验，如图，公园准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的绿色观光道路，则道路的面积为 平方米．（要求化成最简形式） 【答案】 【思路点拨】本题考查单项式与多项式的乘法法则，解题的关键是学会用分割法求面积，熟练掌握多项式的混合运算法则．根据道路的面积两个长方形面积中间重叠部分的正方形的面积计算即可． 【规范解答】解：道路的面积 （平方米）． 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为2a米，宽为米的长方形． (1)这块土地的总面积是多少平方米？ (2)求当米，米时，厨房的用地面积． 【答案】(1)平方米 (2)4平方米 【规范解答】解：（1）由图可知：厨房长为米，宽为米，这块土地的总面积为： 平方米， 答：这块土地的总面积是平方米． （2）当米，米时，厨房用地面积为： （平方米）． 答：厨房的用地面积为4平方米． 考点讲练16：利用单项式乘多项式求字母的值 【精讲题】（23-24七年级下·重庆·阶段练习）要使中不含有的四次项，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了单项式乘以多项式．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有x的四次项，可得，即可求解． 【规范解答】解： ， 原多项式中不含有x的四次项， ， ， 故选：A． 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南·阶段练习）若的展开式中不含项，则的值是 ． 【答案】4 【思路点拨】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项得到的展开式，再根据展开式中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【规范解答】解： ， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：4． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知计算的结果中不含和的项，求m，n的值． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据结果中不含和的项，即含和的项的系数为0进行求解即可． 【规范解答】解： ， ∵结果中不含和的项， ∴， ∴． 考点讲练17：计算多项式乘多项式 【精讲题】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了多项式乘多项式，原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果． 【规范解答】解：， 故选：B． 【举一反三练1】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）某水果批发商八月份销售了苹果270箱、梨子250箱．已知苹果每箱售价是梨子每箱售价的，且这两种水果八月份的销售额共为7740元． (1)求该水果商八月份苹果和梨子的每箱售价分别为多少元； (2)随着市场的变化，该水果批发商九月份对苹果和梨子的售价进行了调整．每箱苹果的售价在八月份的基础上下调了，每箱梨子的售价在八月份的基础上上涨了，九月份这两种水果的销量在八月份的基础上都上涨了，要使得这两种水果九月份的总销售额不低于八月份的总销售额的，求的最小值． 【答案】(1)该水果商八月份苹果每箱的售价为元，梨子每箱的售价为元； (2)50 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设该水果商八月份梨子每箱的售价为元，则苹果每箱的售价为元，根据这两种水果八月份的销售额共为7740元列出方程求解即可； （2）根据题意可知，九月份苹果的销售额为元，梨子的销售额为元，再根据这两种水果九月份的总销售额不低于八月份的总销售额的列出不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：设该水果商八月份梨子每箱的售价为元，则苹果每箱的售价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：该水果商八月份苹果每箱的售价为元，梨子每箱的售价为元； （2）解；由题意得， ∴， ∴ 解得， ∴的最小值为50． 【举一反三练2】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了整式的加减乘除混合运算，熟练掌握整式的加减乘除混合运算法则是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式和同底数幂的除法，再合并同类项，即得答案； （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，即得答案． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点讲练18：（x+p）（x+q）型多项式乘法 【精讲题】（22-23八年级上·四川眉山·期中）若乘积中不含项和项，则、的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了多项式乘以多项式的法则，问题的关键是注意各项符号的处理． 把式子展开，找到所有和项的系数，令它们的系数分别为，列式求解即可． 【规范解答】解：， ， ， 展开式中不含项和项， ， ， 故选：A． 【举一反三练1】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若，则实数a、b的符号为（   ） A．a、b同为正 B．a、b同为负 C．a、b异号且绝对值大的为正 D．a、b异号且绝对值大的为负 【答案】D 【思路点拨】本题考查多项式乘多项式法则以及有理数的加法和乘法，将左边，对比两边，相同项的系数相同，可得，，根据两数相乘异号得负可知a、b异号，再根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，即可解答． 【规范解答】解：将左边式子展开可得，， ∴，， ∴a、b异号且绝对值大的为负， 故选：D． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）观察下列各式： 回答下列问题： (1)总结公式：_____； (2)已知a，b，m均为整数，若，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】本题主要考查了多项式乘多项式． （1）观察题目中的四个式子发现规律：二次项系数都是1，一次项系数为左边括号中两个常数的和，常数项为左边括号中两个常数的积，据此求解即可； （2）利用（1）的猜想展开左边，再根据一次项系数和常数项列方程，最后根据a，b，m均为整数求解即可． 【规范解答】（1）解：根据上面的计算，可发现：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∵a，b，m均为整数， ∴， ∴或或或， ∴或， ∴m的值为或． 考点讲练19：已知多项式乘积不含某项求字母的值 【精讲题】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若的结果中不含的一次项，则的值为 ． 【答案】6 【思路点拨】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含的一次项，即含的一次项的系数为0进行求解即可． 【规范解答】解： ， ∵的结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：6． 【举一反三练1】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若关于x的多项式与的乘积中不含x的一次项，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式乘多项式，多项式不含某项的问题，先列式求出多项式的乘积，再根据乘积中不含的一次项，得到一次项的系数为0，据此即可求解． 【规范解答】解： ， 乘积中不含的一次项， ∴， ∴． 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）（1）化简求值：，其中，； （2）已知中，不含项和项，求，的值． 【答案】（1），；（2）， 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据多项式除以单项式的法则进行计算，再代入求值即可； （2）先化简，再根据“不含和项”列方程组求解． 【规范解答】解：（1） ， 当，时， 原式 ； （2） 原代数式不含项和项， 且， 解得：，； 考点讲练20：多项式乘多项式——化简求值 【精讲题】（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A．13 B．3 C． D． 【答案】B 【思路点拨】先根据多项式乘多项式法则展开，再将将，，整体代入求值即可． 本题主要考查了代数式求值，多项式乘多项式，解题的关键是注意整体思想的应用． 【规范解答】解：∵，， ∴ ． 故选：B． 【举一反三练1】（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了整式的化简求值，根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再利用整体代入法求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴ ， 故选：B． 【举一反三练2】（24-25八年级上·湖南·阶段练习）已知，，则代数式的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了多项式乘法中的化简求值，根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再利用整体代入法代值计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 考点讲练21：多项式乘多项式与图形面积 【精讲题】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了多项式乘多项式，利用长方形面积公式结合多项式乘多项式的计算法则计算得出答案． 【规范解答】解：长方形的长为，宽为， 这个长方形的面积为． 故选：B． 【举一反三练1】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）如图①，将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为的正方形，然后沿四周折起，做成一个无盖铁盒，如图②，铁盒底面长方形的长为，宽为． (1)请用含x的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； (2)现要在铁盒的各个外表面涂上某种油漆，若每需花费x元，则涂漆这个铁盒需要多少钱（用含x的代数式表示）． 【答案】(1) (2)涂漆这个铁盒需要元钱 【思路点拨】此题考查了多项式乘多项式的应用． （1）根据长方形的面积等于长乘宽表示出原长方形铁皮的面积即可； （2）根据原长方形铁皮的面积减去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，再乘单价即可得到结果． 【规范解答】（1）原铁皮的面积是； （2）油漆这个铁盒的表面积是：； 则油漆这个铁盒需要的钱数是：元． 所以涂漆这个铁盒需要元钱． 【举一反三练2】（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知长方形中，，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠），图①长方形被这两张正方形纸片覆盖的部分的面积为，图②长方形被这两张正方形纸片覆盖的部分的面积为，当时， ； 【答案】7 【思路点拨】利用面积的和差关系，分别表示出和，再表示出，结合，，即可求解． 【规范解答】∵四边形是长方形， ∴， ∵ = =， = = =， ∴ =， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：7． 考点讲练22：多项式乘法中的规律性问题 【精讲题】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． …… …… ……1 …… …… …1   1 …… …… 1   2  1 …… … 1  3   3  1 ………1  4  6  4  1 … 1  5  10  10  5  1 … 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为（） A．84 B．56 C．35 D．28 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察杨辉三角的排列规律，每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1．第一个数字为1，第二个数字与次数相同，第三个数字等于它“肩”上的两个数之和，据此先求出的展开式的第3个数字为，第4个数字为20，进而求出的展开式的第3个数字为，第4个数字为，据此可得答案． 【规范解答】解：观察杨辉三角的排列规律，每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1．第一个数字为1，第二个数字与次数相同，第三个数字等于它“肩”上的两个数之和， ∴的展开式的第3个数字为，第4个数字为， ∴的展开式的第3个数字为，第4个数字为， ∴的展开式的第4个数字为， 故选：B． 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南·阶段练习）请你计算：猜想的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了多项式的乘法运算中的规律问题，先分别计算和，再根据计算结果总结规律即可求解，掌握多项式的乘法运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：， ， 猜想：， 故选：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）观察下列式子的因式分解做法： ①； ②； ③． (1)模仿以上做法，尝试对进行因式分解：___________； (2)观察以上结果，猜想___________；（n为正整数，直接写结果，不用验证） (3)试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查了分组法进行因式分解与整式规律探究，找出因式分解的规律是解题的关键． （1）按照给定例题的方法，总结规律，进行因式分解即可； （2）依据（1）中的规律即可得到答案； （3）把代入（2）即可求出． 【规范解答】（1）解：∵①； ②； ③， ∴； 故答案为：； （2）解：根据（1）的规律，可得， 故答案为：； （3）解：∵， ∴． 考点讲练23：整式乘法混合运算 【精讲题】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）先化简， 再求值： ，其中， 【答案】，6 【思路点拨】本题考查了整式的乘法，合并同类项，代数式求值，熟练掌握整式乘法的运算法则是解题的关键．原式第一项利用多项式乘多项式、第二项利用单项式乘多项式的法则计算，然后合并同类项即可化简原式，最后将、的值代入化简后的式子即可得到原式的值． 【规范解答】解：原式 ， 当，时，原式． 【举一反三练1】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【思路点拨】本题主要考查了整式化简求值，先根据多项式乘法运算法则进行化简计算，然后再代入数据求值即可． 【规范解答】解： ， 把代入得：原式． 【举一反三练2】（23-24八年级上·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了幂的运算和整式乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用单项式与单项式相乘、积的乘方计算即可； （2）利用多项式与多项式相乘，再加减计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 考点讲练24：多项式除以单项式 【精讲题】（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）若长方形面积是，一边长为，则这个长方形的宽是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了多项式除以单项式，根据长方形面积等于长乘以宽可知，只需要用长方形面积除以其一边长即可得到答案． 【规范解答】解： ， ∴这个长方形的宽是， 故选：D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若一个多项式A与的积为，则这个多项式A为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了多项式除以单项式，根据一个多项式A与的积为，得出，进行计算，即可作答． 【规范解答】解：∵一个多项式A与的积为， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键； 先根据多项式除以单项式法则计算除法，再代入求出即可． 【规范解答】解： ， 考点讲练25：整式四则混合运算 【精讲题】（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【思路点拨】根据去括号，合并同类项，整式的乘除，进行化简，然后代入求值计算即可． 本题考查了整式的乘除，整式的化简求值，正确化简是解题的关键． 【规范解答】解： ， 当，时， 原式． 【举一反三练1】（23-24七年级下·河南郑州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先利用完全平方公式、多项式乘以多项式去括号，再合并同类项，最后利用多项式除以单项式计算即可化简，代入，计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【规范解答】解： ． 当，时，原式． 【举一反三练2】（23-24八年级上·福建福州·单元测试）先化简，再求值：．其中 【答案】， 【思路点拨】本题考查了整式的化简求值，实数的运算等知识，先利用积的乘方法则、单项式除以单项式法则、多项式除以单项式法则以及合并同类项法则化简，然后把代入计算即可． 【规范解答】解：原式 当时，原式． 中等题真题汇编练 1．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式： ①；②；③；④，你认为其中正确的有（    ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【思路点拨】本题考查了多项式乘多项式与几何图形．利用长方形的面积公式得到最大长方形面积为，也可以把最大长方形分割若干个小长方形，再求各小长方形的面积的和即可． 【规范解答】解：最大长方形的面积为，也可以表示为或或， 故选：D． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了幂的运算，根据幂的乘方、同底数幂相乘法则计算即可． 【规范解答】解∶ ， 故选：B． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了幂的运算，根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除法则逐项判定即可． 【规范解答】解∶A．， 原运算正确，但不符合题意； B．，原运算错误，符合题意； C． ， 原运算正确，但不符合题意； D．， 原运算正确，但不符合题意； 故选∶B． 4．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）常见的“幂的运算”有：同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方．在“”的运算过程中，依次运用（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了积的乘方运算法则以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法等知识，分别利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法分别化简求出答案，正确掌握运算法则是解题关键． 【规范解答】解： （积的乘方运算） （幂的乘方运算） （同底数幂的乘法） 则依次运用了， 故选：． 5．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算即可求解，掌握积的乘方和幂的乘方运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：， 故选：． 6．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了幂的运算，逆用同底数幂相乘、积的乘方法则计算即可． 【规范解答】解∶ ， 故答案为∶． 7．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）若．则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了幂的乘方的逆应用，同底数幂的乘除法，由幂的乘方的逆运算可得，进而由同底数幂的乘除法得到，据此即可求解，掌握以上运算法则的运用是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【思路点拨】考查多项式乘多项式，根据多项式乘多项式计算展开后一次项系数相等即可求值． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了积的乘方，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算； 【规范解答】解： 故答案为： 11．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了实数的运算，积的乘方，同底数幂乘法计算： （1）先计算立方根和乘方，再去绝对值后计算加减法即可； （2）先计算积的乘方和同底数幂乘法，再合并同类项即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知a、b满足代数式：，求代数式的值． 【答案】46 【思路点拨】本题考查了整式的乘法化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，求出a、b的值，最后代入求出答案即可． 【规范解答】解： ， ∵， ∴，， ∴，， 当，时， ∴原式． 13．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，，求，，的值． 【答案】， ， 【思路点拨】本题考查了同底数幂除法的逆用、幂的乘方及其逆运算，能正确根据法则进行变形是解题的关键．由同底数幂除法的逆用可得出，由同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用可得出和 ，然后代入计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ， ． 14．（24-25八年级上·甘肃天水·阶段练习）规定，求： (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【思路点拨】本题是定义新运算的题目，需结合同底数幂的乘法法则、解一元一次方程的知识解答； （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可得，可得，求出x的值即可． 【规范解答】（1）由题意得： （2）由题意得： ∴，解得： 培优题真题汇编练 15．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了整式的运算，根据整式的运算法则逐项计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【规范解答】解：、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 16．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列运算正确的是 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了幂的乘方，开平方，开立方，平方根，熟练掌握乘方和开方运算的性质和法则是解答本题的关键．根据相关运算法则进行计算，即可解题． 【规范解答】解：A、，选项运算错误，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算正确，符合题意； D、，选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 17．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列各计算中，正确的是 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】此题考查了同底数幂乘法、合并同类项、幂的乘方等知识．根据相关法则计算即可得到答案． 【规范解答】A. ，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 18．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为不小于3的整数），其面积分别为，，若满足条件的整数n有且只有6个，则m的值为（   ） A．7 B．8 C．5 D．9 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解不等式组，多项式乘以多项式，先根据多项式乘以多项式的计算法则分别求出，．进而得到，再由满足条件的整数n有且只有6个，得到，据此求解即可． 【规范解答】解：由题意得，， ， ∴， ∵满足条件的整数n有且只有6个， ∴， ∴， ∴， ∵m是不少于3的正整数， ∴， 故选：B． 19．（2024八年级上·全国·专题练习）已知多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，则a的值为（ ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】C 【思路点拨】本题考查了整式的有关计算．先根据多项式乘多项式法则计算多项式与的乘积，然后根据乘积展开式不含x的一次项，列出关于的方程，解方程即可． 【规范解答】解： ∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项， ∴， ∴． 故选：C． 20．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知的展开式中不含x项，项的系数为，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查多项式乘以多项式不含某一项问题，先进行多项式乘以多项式的计算，再根据展开式中不含x项，项的系数为，得到，整体代入代数式计算即可． 【规范解答】解： ， 由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 21．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习） ． 【答案】 【思路点拨】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键的是掌握：同底数的幂相等，底数不变，指数相加；乘方符号的规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．据此解答即可． 【规范解答】解：． 故答案为：． 22．（22-23八年级上·四川眉山·期中）已知，求的值 ． 【答案】27 【思路点拨】本题是对同底数幂的乘除法的知识点的考查，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．本题指数中有加减法，就可以将指数次幂转化成同底数幂相除和相乘的形式进行计算． 根据题干中所给的已知信息得出，将按照同底数幂的乘除法的法则展开，然后将已知值代入即可． 【规范解答】解：由题意得，， 故． 故答案为：27． 23．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）若且，则代数式 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了多项式乘以多项式和代数式的求值，先利用多项式乘以多项式法则展开，再整体代入即可． 【规范解答】解：∵且， ∴ 故答案为： 24．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习） ． 【答案】 【思路点拨】本题考查同底数幂的乘法，先确定符号，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【规范解答】解： ； 故答案为：． 25．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简后求值： (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)，3 (2)， 【思路点拨】本题考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则，完全平方公式，多项式乘以多项式法则，整式的除法法则是解题的关键． （1）运用乘法公式，整式的混合运算法则进行化简，最后代入求值即可； （2）先运用乘法公式展开，再根据整式的混合运算计算，最后代入求值即可． 【规范解答】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 26．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了实数的运算，整式的运算，解题的关键是： （1）根据乘方法则，立方根的定义，绝对值的意义化简计算即可； （2）先根据积的乘方法则计算，然后根据单项式的乘法、除法法则计算即可； （3）根据单项式乘以多项式法则展开，然后合并同类项即可； （4）根据多项式乘以多项式法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解∶ ． 27．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）数学探究活动课上，八年级的同学发现由幂的运算逆向思维可以得到，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙解决 (1)若，求m的值； (2)若，试比较a，b，c的大小关系． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方． （1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方把各个底数都换成，再进行计算即可； （2）把a、b、c换算成同指数幂，再比较底数大小即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵，，，且， ∴， ∴． 28．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【思路点拨】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案； （4）根据得到，进而得到，则． 【规范解答】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． （4）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$