专题01 幂的运算【九大考点+知识串讲】-2024-2025学年八年级数学上册重难考点强化训练（人教版）

专题01 幂的运算 考点类型 知识串讲 （一）幂的运算性质 ①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 考点训练 考点1：同底数幂的乘法 典例1：我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D． 【变式1】对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是（    ） A．2024 B． C． D．1012 【变式2】已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 【变式3】计算： .（结果用幂的形式表示） 考点2：同底数幂的乘法的逆用 典例2：计算后的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1】若，其中为整数，则与的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】规定． （1）求 ； （2）若，求 ． 【变式3】如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ． 考点3：幂的乘方 典例3：下列各式，计算结果等于的是(    ) A． B． C． D． 【变式1】在比较和的大小时，老师给出了如下的方法： ， ， 因为，，所以． 请你仿照上面的方法比较和的大小关系为(    ) A． B． C． D．无法比较 【变式2】如果，那么我们规定．例如：因为，所以．根据上述规定，若记，，．则a、b、c的数量关系为 ． 【变式3】若，则 ． 考点4：幂的乘方逆用 典例4：新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【变式1】已知，则的值是（    ） A．1 B．7 C．11 D．6 【变式2】若，则m的值为 ． 【变式3】若、均为实数，，，则( )． 考点5：积的乘方 典例5：下列计算中，运算正确的个数是（　　） （1） （2 （3） （4） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】已知，则m、n的值分别为（    ） A．3、4 B．4、3 C．3、5 D．9、6 【变式2】如图，王老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到WIFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是 ． 【变式3】观察等式：；；，……，若，则用含a的式子表示的和是 ． 考点6：积的乘方的逆用 典例6：如果是方程组的解，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】已知实数满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】计算的结果等于 ． 【变式3】计算： ． 考点7：同底数幂的除法 典例7：计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1】． A． B． C． D． 【变式2】若、满足，则 ． 【变式3】计算： ． 考点8：同底数幂的除法的逆用 典例8：若，，则的值是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【变式1】若，，则的结果是（    ） A．10 B．11 C．20 D．25 【变式2】若，，，则的值为 ． 【变式3】①若，，则 ， ． 考点9：幂的混合运算 典例9：计算： (1) (2) (3) 【变式1】计算： （1）；     （2）． 【变式2】探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个数、，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 【变式3】计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 幂的运算 考点类型 知识串讲 （一）幂的运算性质 ①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 ②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。 ③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 ④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 考点训练 考点1：同底数幂的乘法 典例1：我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，正确理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义将化成1012个的积，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 【变式1】对于任意正整数a，b定义一种新运算：．比如，则，，那么的结果是（    ） A．2024 B． C． D．1012 【答案】C 【分析】本题主要考查新定义运算和同底数幂的乘法，根据新定义运算法则和同底数幂运算法则进行计算即可 【详解】解：∵，且，，， ⋯ ， ∵， ∴， 故选：C 【变式2】已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①； ②； ③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：，， ，， ，，， 故其中正确的关系式是①③， 故答案为：①③． 【变式3】计算： .（结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 考点2：同底数幂的乘法的逆用 典例2：计算后的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法法则和有理数的乘方法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则和有理数的乘方法则，解答本题的关键是掌握运算法则． 【变式1】若，其中为整数，则与的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将y变形为，进而可得答案． 【详解】解：因为， 所以． 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的运算性质，正确变形、熟练掌握同底数幂的逆运算法则是解题的关键． 【变式2】规定． （1）求 ； （2）若，求 ． 【答案】 125 1 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法及运用： （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵ ∴, 故答案为：125； （2）∵， ∴ ∴ ∴ 解得，， 故答案为：1 【变式3】如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ． 【答案】128 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案． 【详解】解：由题意可知，调整后三只袋中的球数： 甲袋：个，乙袋：（个），丙袋：（个）， 一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同， 调整后每只袋中球数为：（个）， ，， ，， ， 故答案为：128． 考点3：幂的乘方 典例3：下列各式，计算结果等于的是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方依次对各选项中的代数式计算，即可得出结论． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1】在比较和的大小时，老师给出了如下的方法： ， ， 因为，，所以． 请你仿照上面的方法比较和的大小关系为(    ) A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂乘法运算，有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，准确计算． 【详解】解：， ∵ ∴， 故选：B． 【变式2】如果，那么我们规定．例如：因为，所以．根据上述规定，若记，，．则a、b、c的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法和幂的乘方，根据新定义可知，，，根据同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式，可知，即可知道、、的数量关系，解题的关键是掌握同底数幂公式和幂的乘方公式． 【详解】解：如果，那么， ∵，，， ∴，，， 则， 即， 故答案为：． 【变式3】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法和解一元一次方程，根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则和解一元一次方程步骤，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ∴， 解得， 故答案为：． 考点4：幂的乘方逆用 典例4：新定义：（均为正整数），例如：．若，，则的值为（　　） A．18 B．24 C．36 D．63 【答案】D 【分析】本题主要考查新定义运算，幂的乘方和积的乘方逆运算，根据新运算法则求出，再把变形为，再代入计算即可 【详解】解：∵（均为正整数）， ∴ ∴ ∴， 故选：D 【变式1】已知，则的值是（    ） A．1 B．7 C．11 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知， 是解题的关键；先根据幂的乘方的逆运算求出，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【变式2】若，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法法则，利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出答案．掌握幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则是解决问题的关键． 【详解】解：∵， 即： ∴， ∴ 解得． 故答案为：2． 【变式3】若、均为实数，，，则( )． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘．根据幂的乘方逆运算得出，即可解答． 【详解】解：， 故答案为：2024． 考点5：积的乘方 典例5：下列计算中，运算正确的个数是（　　） （1） （2 （3） （4） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键； （1）不存在同类项，无法加和 （2）运用同底数幂相乘法则计算即可； （3）运用乘方法则计算； （4）运用积的乘方法则计算即可 【详解】解：（1）无法计算，故题目计算错误； （2），故题目计算错误； （3），故题目计算错误； （4），故题目计算错误． 故正确个数为个， 故选：A． 【变式1】已知，则m、n的值分别为（    ） A．3、4 B．4、3 C．3、5 D．9、6 【答案】A 【分析】根据得，得到，计算即可，本题考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】根据得， 故， 解得， 故选A． 【变式2】如图，王老师把家里的WIFI密码设置成了数学问题．吴同学来王老师家做客，看到WIFI图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家里的网络，那么她输入的密码是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的混合运算，以及规律型：数字的变化类，由前面两个等式发现规律是解题的关键． 根据前面两个等式，得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．依此即可求解． 【详解】解：根据前面两个等式， 王⊕=， 浩⊕， 得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成． ∴阳⊕． 故答案为：． 【变式3】观察等式：；；，……，若，则用含a的式子表示的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，积的乘方等知识，由等式：；；，……，得出规律：，那么 ，将规律代入计算即可． 【详解】∵； ； ， ……， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴原式=． 故答案为：． 考点6：积的乘方的逆用 典例6：如果是方程组的解，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解方程组，幂的乘方及积的乘方逆运算法则，根据方程组的解得到关于a、b的方程组，解方程组得到a、b的值，代入代数式利用幂的乘方及积的乘方逆运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴ ①②得，解得， 把代入①得，解得， ∴， 故选：D． 【变式1】已知实数满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式幂的混合运算及代数式求值，根据题意得，，进而得到，由同底数幂的运算法则及积的乘方逆运算法则推出，即可得出结果． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2】计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方逆用、同底数幂相乘的逆用等知识，解答的关键是积的乘方和同底数幂相乘法则的逆用．先将转化为，再逆用积的乘方运算法则可得，然后求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方和幂的乘方，逆用积的乘方和幂的乘方运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 考点7：同底数幂的除法 典例7：计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了同底数幂的除法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此进行计算即可. 【详解】解：， 故选：B 【变式1】． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变指数相减，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴ 故选：B 【变式2】若、满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整体带入的数学思想，还考查了同底数幂的除法，熟练掌握公式是解题的关键．已知，因为，整体代入求值即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：9． 【变式3】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法与除法运算，先计算幂的乘方，再按照从左至右的顺序计算即可． 【详解】解： ； 故答案为： 考点8：同底数幂的除法的逆用 典例8：若，，则的值是（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算求出，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂乘除法的逆运算，代数式求值，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式1】若，，则的结果是（    ） A．10 B．11 C．20 D．25 【答案】C 【分析】根据幂的乘方的逆用以及同底数幂相除的逆用进行作答即可． 【详解】解：因为，， 所以， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用以及同底数幂相除的逆用，难度较小． 【变式2】若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘除法法则，幂的乘方，掌握同底数幂的乘除法法则，幂的乘方的运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】①若，，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方的逆用、同底数幂的乘除法法则的逆用，根据积的乘方和同底数幂的乘除法运算法则的逆用计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：28；． 考点9：幂的混合运算 典例9：计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，幂的混合运算： （1）先根据算术平方根的性质，立方根的性质化简，再计算，即可求解； （2）先计算乘方，再计算同底数幂，然后合并同类项，即可求解． （3）根据同底数幂乘法法则计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式1】计算： （1）；     （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可； （3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂，最后合并同类项即可． 【详解】解：（1）， =， =， =； （2）， =， =， =， =． 【点睛】本题考查整式的幂指数运算，掌握幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项是解题关键． 【变式2】探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个数、，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，代入，即可求解， （2）根据，代入，即可求解， （3）根据两种新定义运算规则，代入后得到：，根据幂的运算法则，整理后，得到，即可求解， 本题考查了，实数的新定义运算，幂的运算，解题的关键是：熟练应用新定义运算法则． 【详解】（1）解：， 故答案为：， （2）解：， （3）解：由题意，得：，则：， ∴， ∴，解得：， 故答案为：． 【变式3】计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键 （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2）先算幂的乘方，再合并同类项； （3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 学科网（北京）股份有限公司 $$