14.2 乘法公式（8个考点讲练+中等培优难度分层真题练）-2024-2025学年人教版数学八年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第14章《整式的乘法与因式分解》】 14.2 乘法公式 （8个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：运用平方差公式进行运算 1 考点讲练2：平方差公式与几何图形 1 考点讲练3：运用完全平方公式进行运算 2 考点讲练4：通过对完全平方公式变形求值 3 考点讲练5：求完全平方式中的字母系数 3 考点讲练6：完全平方式在几何图形中的应用 4 考点讲练7：整式的混合运算 4 考点讲练8：完全平方公式在几何图形中的应用 5 中等题真题汇编练 6 培优题真题汇编练 7 考点讲练1：运用平方差公式进行运算 【精讲题】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）已知，则的值为 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练2：平方差公式与几何图形 【精讲题】（22-23八年级上·福建泉州·期中）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（     ）                       A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，在边长为的正方形一角剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分的面积相等，可以验证公式 用字母表示 【举一反三练2】（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是x米，下底都是y米，高都是米，请你帮小刚家算一算菜地的面积是 平方米． 考点讲练3：运用完全平方公式进行运算 【精讲题】（2024·重庆·模拟预测）有n个依次排列的算式：第1项是，第2项是，用第2项减去第1项，所得之差记为，将加2记为，将第2项与相加作为第3项，将加2记为，将第3项与相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论①；②若第6项与第5项之差为4057，则；③当时，；其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【举一反三练1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）若等式成立，则k的值为 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练4：通过对完全平方公式变形求值 【精讲题】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，则代数式的值是（   ） A．16 B．20 C．25 D．30 【举一反三练1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）若，则 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）已知直角三角形两直角边的长度分别为，若，，则该三角形的面积是 ． 考点讲练5：求完全平方式中的字母系数 【精讲题】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若是完全平方式，则的值为（    ） A．15 B．30 C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·宁夏固原·期中）若是完全平方式，则 ． 【举一反三练2】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知是完全平方式，求的值是（   ） A． B． C．48 D．24 考点讲练6：完全平方式在几何图形中的应用 【精讲题】（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·四川资阳·期中）长方形的周长为14，一组邻边的长、满足，则这个长方形的面积为 ． 【举一反三练2】（2023·吉林长春·二模）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块．    考点讲练7：整式的混合运算 【精讲题】（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）若规定，则等于（  ） A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）设a，b是实数，定义一种新运算；．下面有四个推断：①；②；③；④．其中正确推断的序号是 ． 【举一反三练2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）若（    ）成立，则括号内的式子等于（    ） A． B． C． D． 考点讲练8：完全平方公式在几何图形中的应用 【精讲题】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是(   )    A． B． C． D． 【举一反三练1】（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个按图①所示方式摆放，构造一个正方形；其中5个按图②所示方式摆放，构造一个新的长方形．若图①中阴影部分的面积是28，图②中阴影部分的面积是80，则每个小长方形的面积是 ．     【举一反三练2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，点C 是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设 ，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为 中等题真题汇编练 1．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知，且，计算的结果是（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 2．（2024·福建福州·模拟预测）下列运算正确的是 (    ) A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（   ） A．或5 B．5 C．8 D．8或 4．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．4 B．9 C．7 D．6 5．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知，那么的值为（     ） A． B．1 C． D． 6．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）计算 ． 7．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）已知a，b，c是的三边长，且满足，判断此三角形的形状为 三角形． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足等式和，则 ． 9．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若能分解成一个含x的一次多项式的平方，则k的值是 ． 10．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则 ． 11．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 12．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）数学课堂上，邱老师让同学们计算：．小贤同学的解答过程如下： 解：   第一步   第二步 (1)小贤同学的解答过程中第______步错了； (2)请你写出正确的解答过程． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 14．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：，其 ． 培优题真题汇编练 15．（2024·福建莆田·模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 17．（23-24九年级下·广东广州·开学考试）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若实数a、b分别满足、且，则的值为（    ） A．3 B． C． D．11 19．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列说法中，不正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和零；②有理数和数轴上的点一一对应；③所有无理数都是无限不循环小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为和． A．个 B．个 C．个 D．个 20．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，则的值为 ． 21．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式中的值为 ． 22．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算： ． 23．（24-25八年级上·天津宝坻·阶段练习）若，则 ， ．若，则 ． 24．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习） ． 25．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) 26．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 27．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）先化简，再求值：，其中，满足． 28．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在中， 且 过A作 于点P，点M是直线上一动点，设点M到 两边、的距离分别为m，n， 的高为h．    (1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由． (2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教新版数学八年级上册同步培优核心考点讲练【第14章《整式的乘法与因式分解》】 14.2 乘法公式 （8个考点讲练+中等培优难度分层真题练） 考点讲练1：运用平方差公式进行运算 1 考点讲练2：平方差公式与几何图形 2 考点讲练3：运用完全平方公式进行运算 4 考点讲练4：通过对完全平方公式变形求值 8 考点讲练5：求完全平方式中的字母系数 9 考点讲练6：完全平方式在几何图形中的应用 10 考点讲练7：整式的混合运算 12 考点讲练8：完全平方公式在几何图形中的应用 13 中等题真题汇编练 16 培优题真题汇编练 22 考点讲练1：运用平方差公式进行运算 【精讲题】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查平方差公式，求代数式的值．解题的关键是根据平方差公式将原式化为，再整体代入化简． 【规范解答】解：∵， ∴ ， ∴代数式的值为． 故选：B． 【举一反三练1】（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了平方差公式的运用，代数式求值，先把原式利用平方差公式进行整理化简，再把代入求值即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：4． 【举一反三练2】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了平方差公式，能用平方差公式的式子特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．根据平方差公式的结构特点判断即可． 【规范解答】解：A、和互为相反数，和互为相反数，没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，故该选项符合题意； B、和互为相反数，和相同，能用平方差公式计算，故该选项不符合题意； C、没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，故该选项符合题意；故该选项不符合题意； D、和互为相反数，和互为相反数，没有完全相同的项，不能用平方差公式计算，故该选项符合题意；故该选项不符合题意； 故选：B． 考点讲练2：平方差公式与几何图形 【精讲题】（22-23八年级上·福建泉州·期中）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（     ）                       A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．易求出左图阴影部分的面积右图中阴影部分进行拼接后，面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论， 本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解题的关键是：根据图形列出代数式． 【规范解答】解：第一个图形阴影部分的面积是 第二个图形的面积是， 所以， 故选 ：D． 【举一反三练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，在边长为的正方形一角剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分拼成一个长方形，根据两个图形阴影部分的面积相等，可以验证公式 用字母表示 【答案】 【思路点拨】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答． 【规范解答】解：由左图可得：阴影部分的面积为； 由右图可得：阴影部分的面积为：； 所以． 故答案为： 【举一反三练2】（24-25八年级上·江西吉安·开学考试）如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是x米，下底都是y米，高都是米，请你帮小刚家算一算菜地的面积是 平方米． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了平方差公式的几何表示，熟练运用梯形的面积公式以及平方差公式是解题的关键． 结合图形，根据梯形的面积公式（上底下底）高，列出菜地的面积，再运用平方差公式计算． 【规范解答】解：由题意得菜地的面积为． 故答案为：． 考点讲练3：运用完全平方公式进行运算 【精讲题】（2024·重庆·模拟预测）有n个依次排列的算式：第1项是，第2项是，用第2项减去第1项，所得之差记为，将加2记为，将第2项与相加作为第3项，将加2记为，将第3项与相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论①；②若第6项与第5项之差为4057，则；③当时，；其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式，数字类的规律探索，整式的加减计算，根据所给计算方式，依次求出第1项，第2项，第3项，…，及，，，…，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：由题知，第1项为：， 第2项为：， ∴， ∴， ∴第3项为：，， 第4项为：， …， 以此类推， 第n项为：，（n为正整数）． 当时，．故①正确． 第6项与第5项之差可表示为：， ∴， 解得．故②正确． 当时， ．故③正确． 故选：D． 【举一反三练1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）若等式成立，则k的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式，求一个数的平方根，根据完全平方公式得到，则，据此可得． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）定义一种新运算： ①若，则或； ②若，则； ③若，则的最小值为14； ④若关于的二元一次方程组的解为，则关于的方程组 的解满足：． 以上说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路点拨】①分类讨论当时和当时，结合新定义的运算法则计算即可判断；②由绝对值的非负性可知．再分类讨论当时和当时，化简绝对值求解即可；③解不等式得：，即得出，，，结合新定义的运算法则可求出 ．再分类讨论当时，即时和当时，即时，化简绝对值求解即可；④由二元一次方程组的解的定义可求出a和b的值，结合完全平方公式可将原方程组改为，再根据平方的非负性结合新定义的运算法则计算即可． 【规范解答】解：①当时，即， ∴， 解得：； 当时，即， ∴， 解得：，不符合题意， 综上可知若，则，故①错误； ②∵， ∴， ∴． 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上可知若，则或，故②错误； ③∵， ∴，或，， 解得：． ∴，，， ∴， ∴． 当时，即时，， ∴此时当时有最小值，为； 当时，即时，． 综上可知若，则的最小值为14，故③正确； ④将代入，得：， ∴原方程组为， ∴． ∵，，，，，，， ∴， ， ， ， ∴原方程为， 解得：， ∴，故④错误． 综上可知正确的只有③． 故选A． 考点讲练4：通过对完全平方公式变形求值 【精讲题】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）已知，则代数式的值是（   ） A．16 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【思路点拨】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的定义是关键．先将原式根据完全平方公式变形，再整体代入即可得出答案． 【规范解答】解：， ， ． 故选：C 【举一反三练1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）若，则 ． 【答案】6 【思路点拨】本题考查了完全平方公式，代数式求值，利用整体代入法是解题关键．由完全平方公式可得，再整体代入求值即可． 【规范解答】解：，， ， 故答案为：6． 【举一反三练2】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）已知直角三角形两直角边的长度分别为，若，，则该三角形的面积是 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了利用完全平方公式与图形面积问题，利用即可解题． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的面积是4， 故答案为：4． 考点讲练5：求完全平方式中的字母系数 【精讲题】（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若是完全平方式，则的值为（    ） A．15 B．30 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式计算即可得解，熟练掌握是解此题的关键． 【规范解答】解：， 解得：， 故选：D． 【举一反三练1】（23-24八年级上·宁夏固原·期中）若是完全平方式，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了完全平方式的结构特点，掌握在完全平方公式中确定平方项和乘积二倍项是解答本题的关键．根据完全平方公式：，再分析解答即可． 【规范解答】解： ∵是完全平方式 ∴， ∴． 故答案为：． 【举一反三练2】（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知是完全平方式，求的值是（   ） A． B． C．48 D．24 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了完全平方式，根据题意可知两平方项为，则一次项为，据此可得答案． 【规范解答】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故选：A． 考点讲练6：完全平方式在几何图形中的应用 【精讲题】（22-23七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【规范解答】设， ∵长方形的周长是，长方形的面积是， ∴，， ∴， 故选C． 【举一反三练1】（23-24八年级上·四川资阳·期中）长方形的周长为14，一组邻边的长、满足，则这个长方形的面积为 ． 【答案】12 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，根据长方形周长公式得到，再由完全平方公式的变形得到，据此代值计算即可． 【规范解答】解：∵长方形的周长为14，x、y为该长方形的一组邻边长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这个长方形的面积为12， 故答案为：12． 【举一反三练2】（2023·吉林长春·二模）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块．    【答案】12 【思路点拨】根据完全平方式进行配方可得此题结果． 【规范解答】解：∵， ∴还需取丙纸片12块， 故答案为：12． 考点讲练7：整式的混合运算 【精讲题】（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）若规定，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了整式的混合运算， 根据新定义代入，然后按照整式的混合运算计算即可． 【规范解答】解：∵， ∴ 故选：C． 【举一反三练1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）设a，b是实数，定义一种新运算；．下面有四个推断：①；②；③；④．其中正确推断的序号是 ． 【答案】①③④ 【思路点拨】根据，对各个小题中的结论逐个进行判断即可；本题考查整式的混合运算、新定义，解题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【规范解答】解：①， ，故正确； ②，故错误； ③， ，故正确； ④，， ，故正确； 故答案为：①③④． 【举一反三练2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）若（    ）成立，则括号内的式子等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】此题考查了完全平方公式和多项式的混合运算．利用完全平方公式展开 即可得到答案． 【规范解答】解：∵ ， ∴， 故选：A． 考点讲练8：完全平方公式在几何图形中的应用 【精讲题】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景：运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 图乙中求边长为的正方形的面积得到数学公式． 【规范解答】解：由图可得边长为的正方形的面积． 故选C． 【举一反三练1】（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个按图①所示方式摆放，构造一个正方形；其中5个按图②所示方式摆放，构造一个新的长方形．若图①中阴影部分的面积是28，图②中阴影部分的面积是80，则每个小长方形的面积是 ．     【答案】 【思路点拨】本题考查了整式与图形，完全平方公式的应用，解题关键是弄清题意，找出合适的数量关系，列出代数式，在解题时要根据题意结合图形得出答案． 设小长方形的长为a，宽为b，分别用代数式表示出图1和图2中阴影部分面积，得到两个等式，从而计算出的值即可． 【规范解答】解：设小长方形的长为a，宽为b， 在图1中，有：， 在图2中，有：， 分别整理得：，， 将代入中， 解得：， 故每个小长方形的面积为12， 故答案为：12． 【举一反三练2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图，点C 是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设 ，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为 【答案】9 【思路点拨】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，根据题意把条件转化为两条线段的和与平方和，并应用完全平方公式计算是解题的关键；设，则，由完全平方公式变形可求得的值，即可求得阴影部分的面积． 【规范解答】解：设，则， ∴； ∵， ∴ 即， ∴阴影部分面积为：． 故答案为：9． 中等题真题汇编练 1．（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知，且，计算的结果是（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】D 【思路点拨】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式展开得出，然后把，整体代入计算即可． 【规范解答】解∶∵，且， ∴ ， 故选∶D． 2．（2024·福建福州·模拟预测）下列运算正确的是 (    ) A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘除法，熟练运用考点知识是解题的关键．运用合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘除法逐项判断即可求解． 【规范解答】解：A．，故A项错误； B．，故B项错误； C．与不是同类项，不能合并，故C项错误； D．，故D项正确； 故选：D． 3．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（   ） A．或5 B．5 C．8 D．8或 【答案】D 【思路点拨】本题考查了求完全平方公式中的字母系数，利用完全平方公式得到或，则或，然后解一次方程得到a的值． 【规范解答】解：， 而能用完全平方公式因式分解， 或， 或， 解得或． 故选：D． 4．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）已知，则的值是（   ） A．4 B．9 C．7 D．6 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式得到，则． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知，那么的值为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【思路点拨】先根据非负数的性质，把所给的式子进行变形，得出，求出、的值，再代入求值即可．本题考查了完全平方公式，乘方运算；解题的关键是根据非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0进行解答． 【规范解答】解：， ， ，， 解得，， ． 故选：B． 6．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）计算 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平方差公式的应用，先根据平方差公式进行计算，再求出答案即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【规范解答】解：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）已知a，b，c是的三边长，且满足，判断此三角形的形状为 三角形． 【答案】等边 【思路点拨】本题考查了完全平方公式，三角形的分类，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 首先移项，然后利用完全平方公式得到，，求出，进而求解即可． 【规范解答】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴此三角形的形状为等边三角形． 故答案为：等边． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知实数满足等式和，则 ． 【答案】18 【思路点拨】本题考查了整式的加减、完全平方公式和其性质等知识．对已知条件进行恰当的变形，结合平方的非负性即可得出答案． 【规范解答】解：， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：18． 9．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）若能分解成一个含x的一次多项式的平方，则k的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了求完全平方式中的字母系数．利用完全平方公式进行求解． 【规范解答】解：是完全平方式， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·黑龙江绥化·阶段练习）设，则 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查完全平方公式及多项式乘法，先根据及多项式乘法法则求解，再根据多项式相等各个项分别相等即可得到答案； 【规范解答】解：由题意可得， ， ∵， ∴，，，， ∴ ， 故答案为：2． 11．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【思路点拨】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式和平方差公式，先根据完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项，然后运算除法，得，再把，代入计算，即可作答． 【规范解答】解： ， 把，代入， ∴． 12．（24-25八年级上·河南洛阳·阶段练习）数学课堂上，邱老师让同学们计算：．小贤同学的解答过程如下： 解：   第一步   第二步 (1)小贤同学的解答过程中第______步错了； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)过程见解析 【思路点拨】本题考查了整式的乘法运算，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）括号前面是负号，去括号时，括号里面各项都要变号，据此即可作答． （2）根据平方差公式和单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，即可作答． 【规范解答】（1）解：小贤同学在解答过程中，对原式进行变形，第二个括号去括号没变号，故从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）解： ． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算——化简求值，涉及知识有：完全平方公式、多项式乘以多项式、多项式除以单项式，熟练掌握公式及法则是解题的关键． 将中括号中的第一项利用完全平方公式展开，第二项利用多项式乘以多项式的法则计算，去括号合并后，再利用多项式除以单项式的法则计算，得到最简结果，将x和y的值代入化简后的式子，即可得到原式的值． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 14．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：，其 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查整式的混合运算化简求值的运算能力．先利用完全平方公式、平方差公式、整式的乘法法则，再合并同类项对式子进行化简；将代入化简后的式子中计算即可得出结果． 【规范解答】解: . 将 代入， 得 培优题真题汇编练 15．（2024·福建莆田·模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了实数比较大小，平方差公式，完全平方公式，通过得到，通过，利用完全平方公式和算术平方根得到，利用平方差公式得到，从而推出，据此可得答案． 【规范解答】解： ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 16．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知，且，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．根据完全平方公式解决此题即可． 【规范解答】解：， ． ． ． ， ． ． 故选：C． 17．（23-24九年级下·广东广州·开学考试）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查整式的运算，根据合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式，幂的乘方的法则，逐一进行计算，判断即可． 【规范解答】解：A．与不能合并，原式计算错误，故A不符合题意； B．，原式计算正确，故B符合题意； C．，原式计算错误，故C不符合题意； D．，原式计算错误，故D不符合题意； 故选：B． 18．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）若实数a、b分别满足、且，则的值为（    ） A．3 B． C． D．11 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平方差公式，完全平方公式，以及代数式求值，根据题意结合平方差公式，完全平方公式，推出，，再将变形为，代入，求解，即可解题． 【规范解答】解：实数a、b分别满足、， ， 整理得， ， ， 解得， ，即有， 又， 整理得， 解得， ． 故选：D． 19．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列说法中，不正确的个数是（    ） ①实数包括有理数、无理数和零；②有理数和数轴上的点一一对应；③所有无理数都是无限不循环小数；④；⑤平方根与立方根都等于它本身的数为和． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【思路点拨】本题考查了实数的概念和分类，实数与数轴关系，无理数，完全平方公式，平方根和立方根的性质，根据实数的概念和分类，实数与数轴关系，无理数的定义，完全平方公式，平方根和立方根的性质分别判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：①实数包括有理数和无理数，属于有理数，该选项说法错误； ②实数和数轴上的点一一对应，该选项说法错误； ③所有无理数都是无限不循环小数，该选项说法正确； ④，该选项说法错误； ⑤平方根与立方根都等于它本身的数为，该选项说法错误； ∴不正确的个数有个， 故选：． 20．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，求一个数的算术平方根，根据得到，则可推出，再由完全平方公式的变形可得，据此求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 21．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如下所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式中的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了完全平方公式，数字规律，读懂题意并根据所给的式子寻找规律是解题的关键．根据题中的规律将展开，即可求解． 【规范解答】解：， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查平方差公式，原式两次运用平方差公式进行计算即可得到答案． 【规范解答】解： ， 故答案为： 23．（24-25八年级上·天津宝坻·阶段练习）若，则 ， ．若，则 ． 【答案】 /3.5/ 【思路点拨】本题考查了完全平方公式的变形运算，立方根的应用，由可得，进而根据完全平方公式的变形运算可求出、，由得，根据立方根的定义即可求出，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：∵，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，． 24．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习） ． 【答案】4 【思路点拨】此题考查平方差公式的应用．原式变形为，运用平方差公式计算即可． 【规范解答】解： 故答案为：4． 25．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【思路点拨】本题考查了平方差公式，积的乘方，熟练掌握乘法公式及运算法则是解题的关键． （1）运用平方差公式，将变形为，再根据有理数的混合运算即可求解； （2）根据积的乘方的逆运算方法进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 26．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）5；（2）15 【思路点拨】本题考查完全平方公式的应用，熟记完全平方公式，并灵活运用是解答的关键． （1）利用公式和已知求解即可； （2）利用完全平方公式和已知求解即可． 【规范解答】解:（1）∵， ∴， 又， ∴； （2）∵，， ∴， ∴. 27．（24-25八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】， 【思路点拨】本题考查了整式的混合运算—化简求值，非负数的性质，括号内先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后计算除法即可化简，由非负数的性质得出，，代入计算即可得解． 【规范解答】解： ， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴原式． 28．（22-23八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在中， 且 过A作 于点P，点M是直线上一动点，设点M到 两边、的距离分别为m，n， 的高为h．    (1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由． (2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论． (3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证： 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【思路点拨】（1）当点P与点M重合时，过点M作于点D，于点E，由等边三角形的性质得出，则，根据三角形面积公式可得出结论； （2）连接，根据可得出结论； （3）连接，根据可得出，进行变形后可得出结论． 【规范解答】（1）解：当点P与点M重合时，， 理由：过点M作于点D，于点E， 如图，则，，    ∵且 ∴是等边三角形， ∵即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：．理由如下： 如图②，连接，则 ，    ∴，即， 又∵是等边三角形， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，则 ，    ∴，即 ， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 两边同时除以2022得，， ∴，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$