精品解析：山东省泰安市新泰市弘文中学2025届高三上学期10月月考数学试卷

新泰市弘文中学2024—2025学年10月份月考 高三年级数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1. 文娱晚会中，学生的节目有5个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则排法种数为（ ） A. 720 B. 1440 C. 2400 D. 2880 【答案】B 【解析】 【分析】先将学生的节目全排列，然后对教师节目进行插空即可得解. 【详解】由题意可知，先将学生的节目全排列有种排法， 然后对教师节目进行插空有种排法， 所以满足题意的排法种数为种. 故选：B. 2. 如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 平面 D. 平面内存在与平行的直线 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，逐项判定计算即可． 【详解】因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面的一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C 3. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? ”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，结合扇形的面积公式即可得解. 【详解】由题意， 在中，， 即，解得， 故，易知， 因此. 故选：C. 4. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦和差公式化简得到，由正切二倍角公式和得到，从而得到方程，求出实数m的值. 【详解】因为， 则，即， 整理可得，即， 又因为，故，解得或， 且，则，可得， 即，解得. 故选：C. 5. 函数的图象如下，则其解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图象可知，由此可判断BCD不可能，结合函数周期说明A中图象可能正确，即可得答案. 【详解】结合题意以及各选项可知A可为2， 结合图象可知， 则对于B，，由此可判断B中解析式不可能； 对于C，，由此可判断C中解析式不可能； 对于D，，由此可判断D中解析式不可能； 对于 A，由于，即可取2； 由，则，由于，可取， 此时，A可能， 故选：A 6. 若函数在上不单调，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数在上存在变号零点即可求解. 【详解】由题可得， 若函数在上不单调，则时，， 故，则． 故选：A． 7. 已知，两点到直线的距离相等，求a的值（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式列出关于的方程求解即可. 【详解】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：C. 8. 在锐角中，若，则的最小值为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据和可得，令，结合正切和角公式可求m范围.要求的式子可化为，可继续化为用m表示的式子，根据m的范围可求其最小值. 【详解】由，得， 两边同时除以，得. 令， ∵是锐角三角形， ∴，∴. 又在三角形中有： ， 故当时，取得最小值 故选：C. 二、多项选择题 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AB 【解析】 【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可. 【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确； 两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误； 直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误． 故选：AB 10. 数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题目所给递推公式对选项进行逐一验证，从而确定正确答案. 【详解】由已知，A正确； ，B正确； ，C错； ，D正确， 故选：ABD 11. 已知椭圆上有一点，､分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则满足题意的点有个； C. 若是钝角三角形，则； D. 椭圆的内接矩形的周长的最小值为. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用焦点三角形的面积公式可求解，对于B，利用三角形的面积公式求出三角形的高与比较即可判断，对于C，三角形是钝角三角形，求出三角形是直角三角形的面积，进而可求出范围，对于D，利用椭圆的参数方程以及三角函数的性质求出即可 【详解】由椭圆可得，则， 对于A，设，，则，由此可得，所以的面积为 所以，所以A正确， 对于B，因为，则，所以由椭圆的对称性可知满足题意的点有个，所以B正确， 对于C，因为是钝角三角形，所以中有一个角大于，当时，设，则，因为，所以解得，所以，所以是钝角三角形时，有，所以C正确， 对于D，令，，则椭圆内接矩形的周长为 （其中且满足），由得，所以椭圆内接矩形的周长的范围为，即，所以D错误， 故选：ABC 三、填空题 12. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由两线平行求得，再应用平行线的距离公式求两条直线间的距离. 【详解】由两线平行知：，即直线与平行， 所以它们的距离为. 故答案为： 13. 在空间直角坐标系中已知，，，为三角形边上的高，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】应用空间向量法求点到直线距离. 【详解】，，则， ， 所以， 故答案为：3 四、双空题 14. 清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有__________种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有__________种不同的走法. 【答案】 ①. 35 ②. 14 【解析】 【分析】根据题意，由组合数的意义即可得到结果，结合卡特兰数的定义，即可得到结果. 【详解】 从左下角走到右上角共需要7步，其中3步向上，4步向右， 故只需确定哪3步向上走即可，共有种不同的走法； 若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线）， 则由卡特兰数可知共有种不同的走法， 又到达右上角必须最后经过，所以满足题目条件的走法种数也是14. 故答案为：35；14 五、解答题 15. 如图，已知的三个顶点分别为，，． （1）试判断的形状； （2）设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 【答案】（1）直角三角形； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用两点间距离公式直接计算三角形三边长即可判断作答. (2)求出点D坐标，再用两点间距离公式计算作答. 【小问1详解】 根据两点间的距离公式，得，， ，，即， 所以是直角三角形. 【小问2详解】 依题意，线段BC的中点，， 所以BC边上中线的长为. 16. 已知坐标平面内三点. （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】（1）斜率为1，倾斜角为； （2）； （3）. 【解析】 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【小问1详解】 解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； 【小问2详解】 解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； 【小问3详解】 解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，侧面平面分别为的中点． （1）证明：平面． （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明线面平行； （2）利用向量法计算直线与平面所成角的正弦值； 【小问1详解】 证明：连接，设与相交于点，因为， ，所以为平行四边形，即为的中点． 连接，因为为的中点，所以． 因为平面平面，所以平面． 【小问2详解】 因为，所以．因为平面平面，平面平面平面，所以平面． 取的中点，连接．因为是等腰梯形，所以． 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为，则 令，则，可得． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， （1）求线段的长； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1），结合向量数量积运算，求模即可. （2），由向量数量积关于垂直的表示即可判断. 【小问1详解】 设，则， ∵，则. ∵，∴. 故线段的长为. 【小问2详解】 证明：∵，∴. 故. 19. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上. （1）求证：平面； （2）若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1） 因为底面，、底面，所以，， 所以，， 所以矩形是正方形，所以， 因为，所以平面 （2）. 【解析】 【分析】（1）由条件可得，，然后算出的长度可得矩形是正方形，然后可得，即可证明； （2）、、两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知、、两两垂直，建系如图， ，0，，，2，，，0，，，2，，，1，， ，，，，1，，，2，， 设平面的法向量为， 则，，即 所以可取，0，， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰市弘文中学2024—2025学年10月份月考 高三年级数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1. 文娱晚会中，学生的节目有5个，教师的节目有2个，如果教师的节目不排在第一个，也不排在最后一个，并且不相邻，则排法种数为（ ） A. 720 B. 1440 C. 2400 D. 2880 2. 如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 平面 D. 平面内存在与平行的直线 3. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何? ”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（ ） A. B. 8 C. D. 4. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象如下，则其解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上不单调，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，两点到直线的距离相等，求a的值（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 在锐角中，若，则的最小值为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、多项选择题 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 10. 数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆上有一点，､分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则满足题意的点有个； C. 若是钝角三角形，则； D. 椭圆的内接矩形的周长的最小值为. 三、填空题 12. 若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为______． 13. 在空间直角坐标系中已知，，，为三角形边上的高，则__________． 四、双空题 14. 清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有__________种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有__________种不同的走法. 五、解答题 15. 如图，已知的三个顶点分别为，，． （1）试判断的形状； （2）设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 16. 已知坐标平面内三点. （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，侧面平面分别为的中点． （1）证明：平面． （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， （1）求线段的长； （2）求证：． 19. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上. （1）求证：平面； （2）若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $