精品解析：山东省泰安市新泰市弘文中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

新泰市弘文中学2024—2025学年10月份月考 高一级部数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题(共40分) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的不等式的解集为，则（    ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 3. “”是“方程有实数解”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列关系中正确的个数为（ ） ①，②，③④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b是实数，则“且”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知集合，，又，那么集合的真子集共有（ ） A. 3个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 8. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合. 则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 二、多项选择题(共18分) 9. 满足的集合可能是（　　） A. B. C. D. 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，，则下列说法正确的是（    ） A. 当时， B. C. 函数的值域为 D. 当时，函数的值域为 11. 下列结论中，错误的结论有（ ） A. 取得最大值时的值为 B. 若，则的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 若，，且，那么的最小值为 三、填空题(共10分) 12. 已知，，则的取值范围是__________． 13. 已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是______． 四、双空题(共5分) 14. 设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：， ①若A⊆B．则对任意x∈R，m（1-n）=______； ②若对任意x∈R，m+n=1，则A，B的关系为______． 五、解答题(共77分) 15. 已知全集，集合，. （1）求； （2）若集合，满足，，求实数的取值范围. 16. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为，求a，b的值. （2）求关于x的不等式（其中）的解集． 17. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数， （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）设函数在上的最小值为，求函数的表达式. 19. 问题：正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数满足，求的最小值； （2）若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）求代数式的最小值，并求出使得最小的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新泰市弘文中学2024—2025学年10月份月考 高一级部数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题(共40分) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的运算法则求解. 【详解】由已知， 所以. 故选：B. 2. 已知关于的不等式的解集为，则（    ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集可判断A；利用韦达定理可得，代入BCD依次判断即可. 【详解】对A，由不等式的解集为可知，A错误； 对B，又2和3是方程的两根，由韦达定理可得， 即，所以， 解得，B错误； 对C，，C正确； 对D，，解得，D错误. 故选：C. 3. “”是“方程有实数解”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义求解. 【详解】当时，此时的方程为，即无解，所以有实数解； 因为，所以，即，所以方程有实数解； 所以“”是“方程有实数解”的必要不充分条件． 故选：B. 4. 下列关系中正确的个数为（ ） ①，②，③④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】正确理解常用数集的定义，并正确表达元素与集合之间的关系即得. 【详解】对于①，显然正确； 对于②，是无理数，故②正确； 对于③，是自然数，故③正确； 对于④，是无理数，故④错误. 故正确个数为3. 故选：C. 5. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的对称轴，结合单调性的定义可得，计算即可. 【详解】显然，又因为函数图象的对称轴方程为， 又函数在上单调递增，所以，即，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 6. 已知a，b是实数，则“且”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合不等式的性质，立意充分性、必要性的定义即可得出答案. 【详解】充分性：若且可以得且，故充分性成立， 必要性：若，可得同号，又，可得“且”，故必要性成立， 所以“且”是“且”的充分必要条件. 故选：C． 7. 已知集合，，又，那么集合的真子集共有（ ） A. 3个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 【答案】B 【解析】 【详解】因为N={x|0＜x＜3，x∈Z}={1，2}， 又M={1，3}，所以P=M∪N={1，3}∪{1，2}={1，2，3}， 所以集合{1，2，3}的真子集有： ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个． 故选B． 8. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合. 则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】,有两个元素；且，所以B中有一个或者三个元素，然后分情况讨论． 【详解】因为，有两个元素，，所以B中有一个或者三个元素． 当B有一个元素时，有一个解，可得． 当B有3个元素时，有三个解，其中， 当有一个解时，则，可得 当有两个解且其中一个和0或者相等时也满足条件． 此时， 显然，不等于0 所以或者 解出或者也满足条件． 综上所述的取值为，-3，3 构成集合S的个数为：5 故选D 【点睛】本题主要考查集合的个数及一元二次方程的实根分析，关键点新定义题目读懂题意，属于较难题目． 二、多项选择题(共18分) 9. 满足的集合可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据并集的概念分析，转化为求解子集的问题即可. 【详解】由，知，且中至少有个元素. 所以，或，或，或． 故选：ABD 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，，则下列说法正确的是（    ） A. 当时， B. C. 函数的值域为 D. 当时，函数的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接由高斯函数定义来验证即可；对于B，注意到，使得，即可运算判断；对于C，由B选项可得的周期，故只需讨论在上的值域即可；对于D，分别求出每一段的值域，再求并集即可. 【详解】对于A，当时，，正确； 对于B，因为，使得，此时， 从而，错误； 对于C，由B选项分析可知，函数是以1为周期的周期函数， 故只需讨论在上的值域即可， 当时，，即函数的值域为，正确； 对于D，当时，，当时，， 当时，，依次类推，当时，，取并集得函数的值域为，正确. 故选：ACD. 11. 下列结论中，错误的结论有（ ） A. 取得最大值时的值为 B. 若，则的最大值为 C. 函数的最小值为 D. 若，，且，那么的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次函数的性质判断A，利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】对于A，因为，则函数的对称轴为， 所以取得最大值时的值为，故A错误； 对于B，令， 若，，，，当时取等号， 所以，则，则的最大值为，故B错误； 对于C，函数， 令，当时，解得，不满足题意，故C错误； 对于D，若，，且， 所以， 当时，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ABC. 三、填空题(共10分) 12. 已知，，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可得答案. 【详解】因为，，则， 所以，即的取值范围是． 故答案为：. 13. 已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数的单调性结合题设即可列出关于m的不等式，解不等式即可得解. 【详解】由题得定义域为R，， 所以时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在区间上不单调， 所以，故m的取值范围是. 故答案为：. 四、双空题(共5分) 14. 设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：， ①若A⊆B．则对任意x∈R，m（1-n）=______； ②若对任意x∈R，m+n=1，则A，B的关系为______． 【答案】 ①. 0 ②. A=∁RB 【解析】 【分析】①由A⊆B．分x∉A和x∈A两种情况讨论； ②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，分类讨论即可得出A，B的关系． 【详解】解：①∵A⊆B．则x∉A时，m=0，m（1-n）=0． x∈A时，必有x∈B，∴m=n=1，m（1-n）=0． 综上可得：m（1-n）=0． ②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1， 即x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A， ∴A，B的关系为A=∁RB． 故答案为0，A=∁RB． 【点睛】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 五、解答题(共77分) 15. 已知全集，集合，. （1）求； （2）若集合，满足，，求实数的取值范围. 【答案】（1）或.；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出以及后可得. （2）根据集合等式关系可得，故可得各集合中范围的端点的大小关系，从而可求实数的取值范围. 【详解】（1）由题，或， 或. （2）由得，则，解得， 由得，则，解得， ∴实数的取值范围为． 【点睛】本题考查集合的交和补以及在包含的条件下参数的取值范围的求法，注意根据集合的等式关系判断出集合之间的包含关系，本题属于中档题. 16. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为，求a，b的值. （2）求关于x的不等式（其中）的解集． 【答案】（1）； （2）时，不等式解集为；时，不等式解集为； 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，结合对应方程根与系数关系列方程组求参数； （2）分类讨论参数a，求对应不等式解集即可. 【小问1详解】 由题设，易知且是方程的两个不同根， 则，经验证满足题设， 所以. 【小问2详解】 由题设，且，所以， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为； 17. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解. 【小问1详解】 ，， ，解得， . 【小问2详解】 在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减. 【小问3详解】 由对任意恒成立得， 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数的取值范围为. 18. 已知函数， （1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）设函数在上的最小值为，求函数的表达式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）按照和分类讨论，当时，根据一次函数判断，当时，根据二次函数性质列不等式组求解即可. （2）当时，根据一次函数性质判断，当时，根据二次不等式恒成立列不等式组求解即可. （3）动轴定区间问题，按照、、分类讨论求解最值即可. 【小问1详解】 因为函数在上单调递增， ∴当，即时，满足函数在单增，所以； 当时，若在上单调递增，则需满足，解得， 综上：. ∴所求实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，由得，不符合题意； 当，为使得恒成立，则需满足， 即，解得； 综上：∴实数的取值范围为. 【小问3详解】 二次函数的对称轴为. 当，即时，在上单调递增， 此时； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当，即时，在上单调递减， 此时． 综上，. 19. 问题：正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数满足，求的最小值； （2）若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）求代数式的最小值，并求出使得最小的的值． 【答案】（1） （2），当且仅当且同号时等号成立 （3）时，取得最小值 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）由，结合基本不等式，求得，即可求解； （3）令，得到，构造，由（2）知，即可求解. 【小问1详解】 解：因为且， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是． 【小问2详解】 解：由， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当且同号时等号成立，所以， 此时也满足. 【小问3详解】 解：令，由，可得， 则， 因为，所以，构造， 由，可得，因此， 由（2）知， 取等号时，且同正， 结合，解得，即． 所以时，取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $