精品解析：河北省石家庄市第十七中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年第一学期作业诊断初三年级数学 本试卷分卷I和卷Ⅱ两部分；卷I为选择题，卷Ⅱ为非选择题 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题3分，共36分，请把选择题答案涂在答题卡上） 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，根据已知条件可设，，代入到化简后直接得出结果. 【详解】解：∵， ∴设，， ∴. 故选：A 2. 已知线段，，是线段，的比例中项，则线段的长为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例中项的性质可得，即可求解． 【详解】解：由题意可得且，即，解得 故选B 【点睛】此题考查了比例中项的性质，比例中项的平方等于两个数的乘积，掌握比例中项的概念是解题的关键，易错点为线段． 3. 已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是：（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的弦长小于等于直径长即可判断； 【详解】解：∵圆的弦长小于等于直径长， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆的性质，掌握圆的性质是解题的关键． 4. 在中，，，，则的长是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：在中，，，， ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟记正弦的定义和勾股定理是解题的关键． 5. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、，两三角形的对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，两三角形不相似，故本选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，在中，D，E，F分别是边上的点，，且，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用．熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键． 根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，在中，，是边上的高，则下列选项中不能表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可推出△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出tanB即可． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AD是BC边上的高， ∴△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形， 又∵∠C+∠B=90°，∠C+∠DAC=90°， ∴∠B=∠DAC， 在Rt△ABC中，tanB=，故A可以表示； 在Rt△ABD中，tanB=，故B可以表示； 在Rt△ADC中，tanB=tan∠DAC=，故C可以表示； D不能表示tanB； 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键． 8. 如图，在中，，，是的平分线，交于点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用是的平分线，求出，得出，再计算的长即可． 【详解】解：在中， ，， ， 是的平分线， ， ， 在中， ， 在中，， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，属于简单题．′ 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 10. 从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ） A. AB、AC边上的高所在直线的交点 B. AB、AC边的垂直平分线的交点 C. AB、AC边上的中线的交点 D. ∠BAC与∠ABC的角平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形可知所求玻璃镜的圆心是外接圆的圆心，据此可得出答案． 【详解】根据题意可知，所求的玻璃镜的圆心是外接圆的圆心，而外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形外接圆，掌握三角形三边垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心是解题的关键． 11. 已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. y随x的增大而减小 C. 若矩形面积为2，则 D. 若图象上两个点的坐标分别是，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断；根据反比例函数系数k的几何意义对C进行判断． 【详解】解：A、反比例函数图象分布在第二象限，则，所以A选项错误； B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误； C、矩形面积为2，则，而，所以，所以C选项正确； D、图象上两个点的坐标分别是，，则，所以D选项错误． 故选：C． 12. 反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得，即可判断①；设点的坐标为，则点的坐标为，点，求出的长度，由此可得出与的关系无法确定，即可判断②；利用分割图形求面积法即可得出，即可判断③；设点的坐标为，则点的坐标为，点，由点是的中点可得出，将其带入点的坐标即可得出点是的中点，即可判断④，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：①∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，故①正确； ②设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∴，， ∵与的关系无法确定，故结论②错误； ③∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴，故结论③正确； ④设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴点是的中点，故结论④正确； ∴正确的结论为①③④， 故选：． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（每题3分，共12分，请把填空题答案写在答题纸上） 13. 计算：____________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，把代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 14. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，余弦的定义．理解余弦的定义，正确的连接辅助线是解题关键． 【详解】解：如图，取格点，由图可知，，，， 勾股定理可得， 则 故答案为：． 15. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，    由图可知，，，， ， 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， ， 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，， ， ． 故答案为：． 16. 如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）函数的图象为曲线． （1）若过点，则__； （2）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的整数值有__个． 【答案】 ①. -16 ②. 7 【解析】 【分析】（1）由题意可求T1～T8这些点的坐标，将点T1的坐标代入解析式可求解； （2）由曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得T1，T2，T7，T8与T3，T4，T5，T6在曲线L的两侧，即可求解． 【详解】解：（1）每个台阶的高和宽分别是1和2， ，，，，，，，， 过点， ， 故答案为：； （2）若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ， 整数，，，，，，共7个， 故答案为：7； 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，点的规律变化，找出点的规律，正确求出各点的坐标是本题的关键． 三、解答题（17题8分，18题8分，19题8分，20题8分，21题8分，2题10分，23题10分，24题12分，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ，，， ， ， ，． 18. 如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的； （2）点A的对应点D的坐标是______； （3） ______． 【答案】（1） 如图所示， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了位似作图，相似三角形的判定与性质，写出直角坐标系中点的坐标，准确画出位似图形是解题关键． （1）依据点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，即可画出放大后的； （2）依据点D的位置，即可得到点A的对应点D的坐标； （3）依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方，即可得到，进而得出． 【小问1详解】 解：位似中心为点，位似比，已知，，， ∴对应点的坐标分别是，，， 连接点， 【小问2详解】 解： 由（1）知， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，连接，， ， ， ， ∴， ∴设，则， ∴， 故答案为：． 19. 如图，在中，，于点D，，求与的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，解此题的关键是掌握锐角三角函数的定义．根据余角的性质得，根据勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，． 20. 如图，在中，，为延长线上一点，，延长到点．且． （1）求证:； （2）若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴； （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质， （1）根据，直接证明即可； （2）根据，可得，即可得，进而可证明，则有，问题随之得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21. 如图，直立在B处的标杆，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知，．人高，求树高． 【答案】5.28米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形． 过E作交于H点，交于点G，可证明四边形为长方形，可得的长；可证明，故可求得的长，所以树高的长即可知． 【详解】解：过E作交于H点，交于点G，如下图所示： 由已知得，， ∵， ∴四边形为矩形，四边形为矩形， ∴米，米，米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：米， ∴米． 答：故树高为5.28米． 22. 一次函数与反比例函数为交于点． （1）分别求两个函数的解析式； （2）根据图象直接写出，当时，x的取值范围 （3）在坐标轴上找一点P，使得的面积为6，求出P点坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，根据题意细心分析是解题关键． （1）首先将A，B两点坐标代入反比例函数解析式，得出m，n的值，再利用待定系数法即可解决问题； （2）观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数图象下方时，x的取值范围即可； （3）分两种情况讨论，设出P点坐标，再根据三角形的面积求解即可． 【小问1详解】 解：（1）将，代，得， 反比例函数的解析式为， 将代入，得， ， 将A，B两点坐标代入，得， 解得， ∴一次函数解析式为， ∴两个函数的解析式分别为，； 【小问2详解】 解：根据题意得，一次函数的图象在反比例函数图象下方时所对应的x的取值范围即为所求，此时x的范围是：或； 【小问3详解】 解：当P在x轴上时， 设， 的面积为6， ， ， 点坐标为或， 当P在y轴上时， 设， 的面积为6， ， ， 点坐标为或， 综上所述，P点的坐标为或或或． 23. 如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中．研究表明，当手机（）与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． （1）如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数； （2）在（1）的条件下求点D点到的距离（结果保留整数）． （参考数据：） 【答案】（1） （2）D到的距离约为 【解析】 【分析】（1）过点D作于H，利用四边形内角和定理计算即可． （2）过点D作于H，延长、交于点E，利用解直角三角形的知识，求得长度即可． 本题考查了四边形内角和定理，解直角三角形的相关计算，熟练掌握进行解直角三角形的计算是解题的关键． 【小问1详解】 过点D作于H， 由题意得： ∴． 【小问2详解】 过点D作于H， 延长、交于点E， ∵． ∴， ∵． ∴ 答：D到的距离约为． 24. 如图在四边形中，，动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． （1）的长为____________； （2）当时，求t的值； （3）试探究：t为何值时，为等腰三角形； （4）直接写出是锐角三角形时t持续的时长． 【答案】（1） （2） （3）或或 （4）秒 【解析】 【分析】（1）作，可推出四边形是矩形得分别在直角三角形求出即可求解； （2）作可得四边形是平行四边形，推出，；结合可得，推出，即可求解； （3）分类讨论时时，三种情况即可求解； （4）求出两种临界状态、下的的值即可求解； 【小问1详解】 解：作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：作交于点G，如图所示： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得： 【小问3详解】 解：时： 即：， 解得：； 时：作， 则， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：； 时：作， 则， ∵， ∴， ∴， 即：； 解得：； 综上所述：当或或时，为等腰三角形 【小问4详解】 解：由（1）可知：， 当时，如图所示： ， 解得：； 当时，如图所示： ， 解得：； ∵点M从点B运动到图6中点M的位置的过程中；点M从图6中点M的位置运动到图7中点M的位置的过程中，是锐角三角形；点M从图7中点M的位置继续向点C运动时，， ∴是锐角三角形时t持续的时长为：秒 【点睛】本题考查了几何动点问题，涉及了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义和性质等等，利用分类讨论的所学求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期作业诊断初三年级数学 本试卷分卷I和卷Ⅱ两部分；卷I为选择题，卷Ⅱ为非选择题 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟 卷I（选择题，共36分） 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题3分，共36分，请把选择题答案涂在答题卡上） 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知线段，，是线段，的比例中项，则线段的长为（ ） A. 或 B. C. D. 3. 已知的直径长为6，点A，B在上，则的长不可能是：（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 在中，，，，则的长是（ ） A. B. 3 C. D. 5. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，D，E，F分别是边上的点，，且，那么的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是边上的高，则下列选项中不能表示的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，是的平分线，交于点，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ） A. AB、AC边上的高所在直线的交点 B. AB、AC边的垂直平分线的交点 C. AB、AC边上的中线的交点 D. ∠BAC与∠ABC的角平分线的交点 11. 已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. y随x的增大而减小 C. 若矩形面积为2，则 D. 若图象上两个点的坐标分别是，则 12. 反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③ C. ②③④ D. ①③④ 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（每题3分，共12分，请把填空题答案写在答题纸上） 13. 计算：____________ 14. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则_______ ． 15. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为______． 16. 如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）函数的图象为曲线． （1）若过点，则__； （2）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的整数值有__个． 三、解答题（17题8分，18题8分，19题8分，20题8分，21题8分，2题10分，23题10分，24题12分，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． （1）以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的； （2）点A的对应点D的坐标是______； （3） ______． 19. 如图，在中，，于点D，，求与的值． 20. 如图，在中，，为延长线上一点，，延长到点．且． （1）求证:； （2）若，求的长度． 21. 如图，直立在B处的标杆，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知，．人高，求树高． 22. 一次函数与反比例函数为交于点． （1）分别求两个函数的解析式； （2）根据图象直接写出，当时，x的取值范围 （3）在坐标轴上找一点P，使得的面积为6，求出P点坐标． 23. 如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中．研究表明，当手机（）与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． （1）如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数； （2）在（1）的条件下求点D点到的距离（结果保留整数）． （参考数据：） 24. 如图在四边形中，，动点M从B点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． （1）的长为____________； （2）当时，求t的值； （3）试探究：t为何值时，为等腰三角形； （4）直接写出是锐角三角形时t持续的时长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $