精品解析： 福建省泉州市第七中学 2024-2025学年九年级上学期第一次质检数学试卷

2024-2025学年福建省泉州七中九年级（上）第一次质检数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：由题可知， 当时，式子有意义， 解得． 故选：A． 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，根据设，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴令，， ∴． 故选：C． 3. “翻开华师大版数学九年级上册，恰好翻到第56页，讲述的是“黄金分割”相关知识”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件． 【详解】解：“翻开华师大版数学九年级上册，恰好翻到第56页，讲述的是“黄金分割”相关知识”，这个事件是随机事件， 故选：C． 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将二次根式化简为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可． 【详解】A：，与被开方数不同，不是同类二次根式； B：，与被开方数相同，是同类二次根式； C：，与被开方数不同，不是同类二次根式； D：，与被开方数不同，不是同类二次根式． 故选：B． 【点睛】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式是解题的关键． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：D． 6. 某县为做大旅游产业，在2015年投入资金3.2亿元，预计2017年投入资金6亿元，设旅游产业投资年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A. 3.2+x＝6 B. 3.2x＝6 C. 3.2（1+x）＝6 D. 3.2（1+x）2＝6 【答案】D 【解析】 【分析】设这两年投入资金的年平均增长率为x，根据题意可得，2015的投入资金×（1+增长率）2＝2017年的投入资金，据此列方程即可． 【详解】解：设这两年投入资金的年平均增长率为x， 由题意得，3.2（1+x）2＝6． 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 7. 已知m、n为一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据题意，得，进一步可得，根据根与系数的关系可得，即可求出代数式的值． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图是由4个边长为1的正方形组成的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性质， 连接，根据勾股定理求出，，的长，进而根据勾股定理的逆定理判定为等腰直角三角形，即可解答． 【详解】解：连接， 由图可知，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：A． 9. 如图，以点O为位似中心，将放大得到．若与的周长之比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长之比等于相似比． 根据题意求出与的位似比，得到相似比，周长之比等于相似比． 【详解】解：∵将放大得到， ∴，， ∵与的周长之比为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在中，两直角边分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且，将绕点B逆时针旋转后得到，若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点C，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】作于D，设，根据正切定义得到，证明，则，得到，由点C为斜边的中点得到，则，解得：或（负值舍去），得到，，即可求出的面积． 【详解】解：作于D，则， 设， ∵ ∴， ∴， ∵绕点B逆时针旋转后得到， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点C为斜边的中点， ∴， ∵反比例函数的图象恰好经过斜边的中点C． ∴， 解得：或（负值舍去）， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、正切的定义、直角三角形斜边中线的性质等知识，构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一元二次方程的根是____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解： ∴即 解得：， 12. 某次体能测试，要求每名考生从跳绳、长跑、游泳三个项目中随机抽取一项参加测试，小东和小华都抽到游泳项目的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据列表法求概率即可． 【详解】解：设跳绳、长跑、游泳三个项目分别为A,B,C，列表如下， A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 共有9种等可能结果，小东和小华都抽到游泳项目只有1种结果，则 小东和小华都抽到游泳项目的概率为 故答案为： 【点睛】本题考查了列表法求概率，掌握列表法求概率是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比． 13. 如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的坡度为i＝1：2.5，过B点作BC⊥AC．垂足为点C．若大厅水平距离AC的长为7.5m，则两层之间的高度BC为_____米． 【答案】3 【解析】 【分析】根据AB的坡度即为BC：AC，从而求出BC的长. 【详解】解：∵AB的坡度为i＝1：2.5， BC⊥AC，大厅水平距离AC的长为7.5m， ∴BC：AC＝1：2.5， 则BC＝7.5÷2.5＝3（m）． 故答案为3． 【点睛】此题考查的是坡度，熟知坡度的公式：坡面的垂直高度和水平距离的比，是解决此题的关键. 14. 已知非零实数x，y满足，则____________________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是对相应的运算法则的掌握，本题对已知条件进行整理，再代入所求的式子运算即可． 【详解】解：∵非零实数x，y满足， ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 15. 如图，由三个全等的三角形（）与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G．若．则的长是 ______________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质等知识， 根据已知条件得，，因此求得，，过点C作的延长线于点H，利用直角三角形的性质求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵（已知）， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，， 如图，过点C作的延长线于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 16. 如图，在和中，，，，M，N分别为，的中点，连结．则 ______________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，证明三角形相似是解题的关键． 连接，，在中，可求得，，，在中，同理可求得，，，得到，又，可证得，根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：连接，． ∵在中，，， ∴， ∵点M是的中点， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∵点N是的中点， ∴，， ∵， ， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算零指数幂和特殊角三角函数值，再去绝对值后计算加减法即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 19. 一个不透明的袋子里有4个小球，小球上各标有一个数字，分别是2，3，5，8．这些小球除标有的数字不同外其他都相同． （1）从这个袋子里随机摸出一个小球（摸出后不放回），摸出标有数字“3”的小球的概率是________；下一次在袋子中摸出的是标有数字“8”的小球的概率是________． （2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字后，放回、摇匀，再从袋子中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，第一次记下的数放在十位，第二次记下的数放在个位组成两位数，请利用画树状图或列表的方法，求这个两位数是奇数的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到这个两位数是奇数的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4个数字，每个数字被摸到的概率相同， ∴摸出标有数字“3”小球的概率是； ∵摸出后不放回， ∴再下一次摸球过程中，只有3个球，每个球被摸到的概率相同， ∴下一次在袋子中摸出的是标有数字“8”的小球的概率是； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中这个两位数是奇数的结果数有8种， ∴这个两位数是奇数的概率为． 20. 某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、相似三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的方法和相似三角形的判定和性质是解题的关键． “测角仪”方案：如图：过C作于F，根据矩形的性质得到,再根据三角函数的定义求解即可； “平面镜”方案：根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可． 【详解】解：选择“测角仪”方案： 如图：过C作于F，则，， 在中，，， ， ． 选择“平面镜”方案： 由题意得，， ． 又， ， ，即， ． 21. 如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【小问1详解】 证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； 【小问2详解】 证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 22. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）当时，实验田的面积S最大，最大面积是 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到； 【小问3详解】 ， 当时，有最大值． 23. 同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． （1）直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； （2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 【答案】（1）等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；底为，高为，面积为； （2）画图见解析． 【解析】 【分析】（）①解直角三角形即可求解； 由题意可知四边形是矩形，利用线段和差可求出矩形的边长，进而可求出面积； （）根据题意画出图形即可； 本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键． 【小问1详解】 解：①如图，为等腰直角三角板，， 则； 如图，为含的直角三角形板，，，， 则，； 综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和； 由题意可知， ∴四边形是矩形， 由图可得，，， ∴， 故小平行四边形的底为，高为，面积为； 【小问2详解】 解：如图，即为所作图形． 24. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或. 【解析】 【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 25. 如图，在中，，，点D、点O分别为是的中点，，垂足为E，过点A作交的延长线于点F． （1）求的值； （2）求证：； （3）求证：与互相平分． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，熟练掌握相关图形的性质定理是关键． （1）先证得，再在中，．在中，，可得，再证得结果； （2）过点作，交延长线于点，先证明，可得，再证得，再由相似三角形的判定可得结论； （3）如图，连接，由（2），可得，从而得出，得出， 得出，再由平行线判定得出，，从而得出四边形是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果． 小问1详解】 解：，点D、点O分别为是的中点， ． ， 在中，． ， 在中，． ， ； 【小问2详解】 证明：过点B作，交延长线于点M． ． ， ， ． ， ， ， ，， ． ， ， ， ， ． 【小问3详解】 证明：如图，连接． 在中，，，点D、点O分别为是的中点， ∴，， 由（2）知，， ， ， ． ． ， ． 由（2）知，， ． ， ， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年福建省泉州七中九年级（上）第一次质检数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要使有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. 7 D. 3. “翻开华师大版数学九年级上册，恰好翻到第56页，讲述的是“黄金分割”相关知识”，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定事件 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 6. 某县为做大旅游产业，在2015年投入资金3.2亿元，预计2017年投入资金6亿元，设旅游产业投资的年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A. 3.2+x＝6 B. 3.2x＝6 C. 3.2（1+x）＝6 D. 3.2（1+x）2＝6 7. 已知m、n为一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是由4个边长为1的正方形组成的图形，则的度数为（ ） A B. C. D. 9. 如图，以点O为位似中心，将放大得到．若与的周长之比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 10. 如图，在中，两直角边分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且，将绕点B逆时针旋转后得到，若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点C，则的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 一元二次方程的根是____． 12. 某次体能测试，要求每名考生从跳绳、长跑、游泳三个项目中随机抽取一项参加测试，小东和小华都抽到游泳项目的概率是______． 13. 如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的坡度为i＝1：2.5，过B点作BC⊥AC．垂足为点C．若大厅水平距离AC的长为7.5m，则两层之间的高度BC为_____米． 14. 已知非零实数x，y满足，则____________________． 15. 如图，由三个全等三角形（）与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G．若．则的长是 ______________________． 16. 如图，在和中，，，，M，N分别为，的中点，连结．则 ______________________． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中 19. 一个不透明的袋子里有4个小球，小球上各标有一个数字，分别是2，3，5，8．这些小球除标有的数字不同外其他都相同． （1）从这个袋子里随机摸出一个小球（摸出后不放回），摸出标有数字“3”的小球的概率是________；下一次在袋子中摸出的是标有数字“8”的小球的概率是________． （2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字后，放回、摇匀，再从袋子中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，第一次记下的数放在十位，第二次记下的数放在个位组成两位数，请利用画树状图或列表的方法，求这个两位数是奇数的概率． 20. 某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 21. 如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 22. 如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 23. 同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． （1）直接写出： 两个直角三角形直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； （2）请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 24. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 25. 如图，在中，，，点D、点O分别为是的中点，，垂足为E，过点A作交的延长线于点F． （1）求的值； （2）求证：； （3）求证：与互相平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$