精品解析：上海市上海市南汇第二中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年上海市浦东新区南汇二中九年级（上） 第一次月考数学试卷 一、单选题（每题4分，共6小题） 1. 已知，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质，可判断A、B；根据合比性质，可判断C、D． 【详解】A、有无数个值，故A错误，符合题意； B、由比例的性质，得，故B正确，不符合题意； C、由合比性质，得，故C正确，不符合题意； D、由合比性质，得，故D正确，不符合题意； 故选：A． 2. 如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，设在地图上图距是的两地，实际距离是，，利用比例尺的定义得到，然后根据比例的性质求出即可，对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 （即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．理解比例尺的定义是解决问题得关键． 【详解】解：设在地图上图距是的两地，实际距离是， 根据题意得，解得， 故选：C． 3. 已知点是线段上一点，且，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把当作已知数求出，求出，再分别求出各个比值，在逐项进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 边长为正值， ，， ，故错误； ，故错误； ，故正确； ，故错误， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和黄金分割的应用，把当作已知数求出，求出，再分别求出各个比值是解题关键． 4. 在下列命题中，真命题是（ ）． A. 两边之比是的两个直角三角形相似 B. 两边之比是的两个等腰三角形相似 C. 有一个内角是的两个等腰三角形相似 D. 四边长分别是、、、和、、、的两个四边形相似 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题与定理、多边形相似的判定、熟练掌握两个相似多边形的对应角相等、对应边成比例是解题关键．根据相似多边形的性质、举反例解答即可得答案． 【详解】解：A．三边比分别为与的两个直角三角形不相似，故该选项是假命题，不符合题意， B．两边之比是的两个等腰三角形相似，故该选项是真命题，符合题意， C．三个内角分别为、、和、、的两个三角形不相似，故该选项是假命题，不符合题意， D．∵四边形不具有稳定性， ∴四边形的各内角可以改变，故不一定相似，该选项是假命题，不符合题意， 故选：B． 5. 如图，在梯形中，，对角线和相交于点E，且，下列等式成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，再利用相似三角形的性质和面积公式，逐一判断即可解答，熟练利用相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，故A不成立； , ，即，故B不成立； ， ， ，即，故C成立； , ，故D不成立， 故选：C． 6. 如图，在正方形中，是等边三角形，和的延长线分别交边于点E和点F，连结交线段于点G，连结，下列结论中错误的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形和等边三角形的性质可证，从而，再证明可判断A；证明可判断B；由平行线的性质可证，由补角的性质可求，从而可判断C；由可判断D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴与不相似， ∴不成立，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 二、填空题（每题4分，共12小题） 7. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的运算，分式的化简求值，正确掌握设参数表示比值是解题的关键． 先根据比例关系设参数表示变量，再代入分式化简，即可求解． 【详解】解：设 （）， 则 ，，， ． 故答案为 ． 8. 已知P是线段上的一个黄金分割点，，，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，，若， 则， 故答案为：． 9. 已知线段b是线段c和线段d的比例中项，且，则线段__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例中项的定义，根据比例中项的定义得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵线段b是线段c和线段d的比例中项，且， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，，如果，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，关键是找准对应关系，列出比例式． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 11. 在某一时刻，测得一根长为1米的竹竿影长为1.6米，同时同地测得一栋居民楼的影长为96米，那么这栋居民楼的高度为__________米． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解，利用同时同地物高与影长成正比是解题的关键． 【详解】解：设栋楼的高度是米， 由题意得：， 解得：． 故答案为：60． 12. 在中，点E和点F分别是边和上的点，已知，，，，则和是否平行？__________（填“一定平行”或“可能平行”或“一定不平行”）． 【答案】可能平行 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段．根据，证明；以点E为圆心，2为半径画圆，交于点，如图，显然和不平行，据此求解即可． 【详解】解：如图， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴； 以点E为圆心，2为半径画圆，交于点，如图， 此时满足，，，， 显然和不平行， ∴和可能平行， 故答案为：可能平行． 13. 如果将一个三角形的形状保持不变但面积扩大为原三角形面积的25倍，那么扩大后的三角形的周长为原三角形周长的__________倍． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查对相似三角形性质的性质，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解，熟知：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，是解题的关键． 【详解】解：如果将一个三角形的形状保持不变但面积扩大为原三角形面积的25倍，那么扩大后的三角形的周长为原三角形周长的倍， 故答案为：5． 14. 在中，，垂足为点D，当时， __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，画出图形，证明，即可得到，再利用勾股定理即可解答，熟练利用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ， ，， ， ， ∴，即， ， ， ， 利用勾股定理可得, 故答案为：． 15. 如图，在中，，点O是的重心，如果，则点O到边的距离是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 连接并延长交于点E，作于点F，证明得，由点O是的重心得，，代入比例式即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点E，作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点O是的重心，， ∴，， ∴， ∴，即点O到边的距离是2． 故答案为：2． 16. 如图，在中，正方形的一边在边上，点G、F分别在边上，是边上的高，与相交于点O，已知，则正方形的边长是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键；设正方形的边长为x，由正方形的性质可知，，从而，由相似三角形对应边成比例得，再建立关于x的方程求解即可； 【详解】设正方形的边长为x， 四边形是正方形， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 17. 如图，在中，，点D是的中点，点E以的速度沿着的方向运动，运动到点A后停止，当与相似时，运动时间是__________秒． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．由勾股定理求出的长，分两种情况，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∵与有一个公共角， ∴与相似有2种情况． 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴运动时间是秒； 当时， 则， ∴， ∴， ∴， ∴运动时间是秒； 故答案为：或． 18. 如图，在矩形中，，点在边上，且，点是边上的一个动点，将四边形沿翻折，、的对应点、与点在同一条直线上，与边交于点，当时，的长为____________________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据折叠的性质及矩形的性质可得，根据相似三角形的性质可求出，进而得出，利用勾股定理求出的长，即可得出的长，利用同角的余角相等可证明，利用相似三角形的性质得出的长即可得答案． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是矩形，将四边形沿翻折，、的对应点、与点在同一条直线上， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质矩形的性质及勾股定理，解题的关键是找到轴对称前后相等的边和角，并熟练掌握相似三角形的判定定理． 三、解答题（本大题共7题，满分78分．19-22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分．） 19. 如图，在中，点D、E分别在、上，与交于点F，点G在边上，，，，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质． （1）由，，即可求得的长，又由，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，继而求得的长； （2）由，，，根据平行线得到，即可求得，根据比例的性质，即可求得的值． 【小问1详解】 解：∵， ， ，，， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ， ∵，， ∴， 同理可得． ， ∴， ∴， ． 20. 如图，在中，，点C和点D都在边上，且． （1）求证：． （2）求证：． 【答案】（1） 证明： ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：由题（1）可得， ， ， , , ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）通过，可得，再利用角度转换即可解答； （2）证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知平行四边形，，垂足为E，，垂足为F． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，，， ，垂足为，，垂足为， ， ； （2） 证明：∵，，， ， ， ， ， ， ， 与相等或互为相反数， ，， ． 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识． （1）由平行四边形的性质得，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由得，则，由相似三角形的性质得，则，所以，则． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 22. 如图，直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，，且． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1） 证明：如图：与相交于点O， ∵， ， ， ． ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． （1）如图：与相交于点O，根据平行线分线段成比例定理，由得到，利用比例的性质得到， 进而得到，然后证明可得，最后根据同位角相等、两直线平行即可证明结论； （2）如图：过D点作交于N点，交于点M，易得四边形和四边形都为平行四边形，，所以，利用比例的性质得，接着利用得到，则可计算出，然后计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：过D点作交于N点，交于点M， ∵， ∴， ∴四边形和四边形都为平行四边形， ∴， ， ， ∵， ， ， ． 23. 已知：如图，四边形，对角线，点E是边AB的中点，CE与BD相交于点. （1）求证：BD平分； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：， ， ， 即， ∽， ， 即BD平分； （2） 证明：过点C作CMBE交BD延长线于点M， ∴∠M=∠EBF， ∵∠EBF=∠CBF， ∴∠M=∠CBF， ∴CM=CB， ∵CMBE， ∴△CFM∽△EFB， ∴， ∴， ． 【解析】 【分析】（1）通过证明△ABD∽△DCB，从而得∠ABD=∠DBC，问题得证； （2）过点C作CM//BE交BD延长线于点M，由已知可推得CM=CB，再由CM//BE，可得△CFM∽△EFB，从而可得，通过等量代换再根据比例的性质即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 24. 如图，函数的图象过点和点B，过点A作轴，（C在A的下方），过点C作轴，与函数的图象交于点D，过点B作于点E，连接． （1）求的面积； （2）延长交于点F，当时，求的长； （3）连接，取中点Q，以线段为较长直角边且Q为直角顶点作，使得与相似，求出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出反比例函数的解析式，然后求出点D的坐标，即可求出三角形的面积； （2）根据反比例函数的解析式求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点F的坐标，进而完成解答； （3）过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M，再求出点Q的坐标，可得点P在上且点P为或的中点，利用中点坐标公式求解即可． 【小问1详解】 解：的图象经过点， ∴， ∵轴，， ∴点C的坐标为， ∴点D的坐标为， ∴， ； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ， ∵， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ； 【小问3详解】 解：过点Q作交x轴于点N，交y轴于点M， ∵Q是的中点， ∴点Q坐标为，且， ，即， ∴点，点， 线段为较长直角边作，使与相似， ， ∴点P在上且点P为或的中点， ∴点P的坐标为或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象和性质、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的性质、勾股定理、中点坐标公式等知识点，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 25. 如图，在中，，，，点D是上一点，且，过点D作，垂足为E，点F是边上的一个动点，连接，过点F作交线段于点G（不与点B、C重合）． （1）求证：； （2）设，，求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量取值范围； （3）连接，若与相似，直接写出的长度． 【答案】（1） 证明：在中，，点D是上一点，过点D作，垂足为E， ，，， ， ； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据垂直的定义及同角的余角相等得出，即可证明； （2）利用勾股定理求出，根据，，得出，即可证明，根据相似三角形的性质得出，，根据，利用相似三角形的性质求解，即可解题； （3）根据与相似，分以下两种情况：当时，过点F作于H，当时，结合全等三角形性质和判定，矩形的判定与性质，以及相似三角形性质和判定求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，点D是上一点，且，点F是边上的一个动点，交线段于点G（不与点B、C重合）， ， ， ，，， ， ，， ， ， ，即， 解得：，， ，， ，， ， ，即， 整理得：， ，， ， ； 【小问3详解】 解：如图1，当时，过点F作于H， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 由（2）可知：， ， 解得：， ， ． 如图，当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，垂直的定义，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质及勾股定理，平行线性质和判定，以及求函数解析式，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市浦东新区南汇二中九年级（上） 第一次月考数学试卷 一、单选题（每题4分，共6小题） 1. 已知，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知点是线段上一点，且，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 在下列命题中，真命题是（ ）． A. 两边之比是的两个直角三角形相似 B. 两边之比是的两个等腰三角形相似 C. 有一个内角是的两个等腰三角形相似 D. 四边长分别是、、、和、、、的两个四边形相似 5. 如图，在梯形中，，对角线和相交于点E，且，下列等式成立的是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，是等边三角形，和的延长线分别交边于点E和点F，连结交线段于点G，连结，下列结论中错误的是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共12小题） 7. 若，则______． 8. 已知P是线段上的一个黄金分割点，，，那么__________． 9. 已知线段b是线段c和线段d的比例中项，且，则线段__________． 10. 如图，，如果，则__________． 11. 在某一时刻，测得一根长为1米的竹竿影长为1.6米，同时同地测得一栋居民楼的影长为96米，那么这栋居民楼的高度为__________米． 12. 在中，点E和点F分别是边和上的点，已知，，，，则和是否平行？__________（填“一定平行”或“可能平行”或“一定不平行”）． 13. 如果将一个三角形的形状保持不变但面积扩大为原三角形面积的25倍，那么扩大后的三角形的周长为原三角形周长的__________倍． 14. 在中，，垂足为点D，当时， __________． 15. 如图，在中，，点O是的重心，如果，则点O到边的距离是__________． 16. 如图，在中，正方形的一边在边上，点G、F分别在边上，是边上的高，与相交于点O，已知，则正方形的边长是__________． 17. 如图，在中，，点D是的中点，点E以的速度沿着的方向运动，运动到点A后停止，当与相似时，运动时间是__________秒． 18. 如图，在矩形中，，点在边上，且，点是边上的一个动点，将四边形沿翻折，、的对应点、与点在同一条直线上，与边交于点，当时，的长为____________________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分．19-22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分．） 19. 如图，在中，点D、E分别在、上，与交于点F，点G在边上，，，，，． （1）求的长； （2）求的值． 20. 如图，在中，，点C和点D都在边上，且． （1）求证：． （2）求证：． 21. 已知平行四边形，，垂足为E，，垂足为F． （1）求证：； （2）若，求证：． 22. 如图，直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，，且． （1）求证：； （2）如果，求的长． 23. 已知：如图，四边形，对角线，点E是边AB的中点，CE与BD相交于点. （1）求证：BD平分； （2）求证：． 24. 如图，函数的图象过点和点B，过点A作轴，（C在A的下方），过点C作轴，与函数的图象交于点D，过点B作于点E，连接． （1）求的面积； （2）延长交于点F，当时，求的长； （3）连接，取中点Q，以线段为较长直角边且Q为直角顶点作，使得与相似，求出点P的坐标． 25. 如图，在中，，，，点D是上一点，且，过点D作，垂足为E，点F是边上的一个动点，连接，过点F作交线段于点G（不与点B、C重合）． （1）求证：； （2）设，，求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量取值范围； （3）连接，若与相似，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $