精品解析：山东省济南市历城第二中学2024-2025学年高二上学期第一次调研数学试题

60级高二上第一次调研考试（数学试题） （选择性必修一第一章和第二章） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，进而求出倾斜角即可计算作答. 【详解】直线的斜率为，而直线l与直线垂直， 且为直线的倾斜角，于是得，而， 则，计算可得. 故选：C. 2. ，若则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的平行性质，列出方程组，解出的值，即可得答案. 【详解】根据，则存在一个常数使得， 所以可得，解之可得，所以. 故选：C 3. 已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出PA，PB所在直线的斜率，判断直线l的倾斜角与斜率的变化，数形结合得答案． 【详解】点， 直线的斜率，直线的斜率， 直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足或， 即或，所以直线l的斜率的取值范围为. 故选：D. 4. 在空间四边形ABCD中，，设，若向量，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到，求出答案. 【详解】 ， 故，所以. 故选：C 5. 点P是圆上一动点，过点P向圆作两条切线，设两切线所成的最大角为α，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断两圆位置关系，应用数形结合，确定两切线所成角最大时点位置，进而由及二倍角余弦公式求值. 【详解】由圆可得圆心，半径为， 由圆，可得圆心，半径为， ，即两圆相离， 示意图如下，当为线段与圆的交点时，两切线所成角最大， 此时，，则， 所以，. 故选：C 6. 在三棱柱中，若是等边三角形，E为的中点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】若分别是的中点，，确定异面直线与所成角，即为所成角，利用空间向量的线性关系及数量积运算律求得，在中应用余弦定理求夹角余弦值. 【详解】由题设，易知四边形都是菱形，且，E为的中点， 分别是的中点，且， 则，且， 又由三棱柱性质可得，故异面直线与所成角，即为所成角， 由 ，又是等边三角形， 所以 ，即， 在中，故. 显然异面直线与所成角余弦值为. 故选：C 7. 已知点，在圆上，点在以为圆心，为半径的圆上，则使得是面积为的等边三角形的点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由面积公式先得的长，根据正三角形与圆的对称性判定三点共线，再根据两圆的位置关系判定即可. 【详解】设中点为，由正三角形面积公式可知，得， 由正三角形及圆的对称性可知，，则三点共线， 而，， 因为点在以为圆心，为半径的圆上，由圆的位置关系可知， 当且仅当时取得，此时，即满足条件的点只有一个. 故选：A 8. ，函数的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据距离公式，利用的几何意义求最小值. 【详解】表示的几何意义为平面内的点到定点的距离， 表示的几何意义为平面内的点到定直线的距离， 所以表示的几何意义是动点到定点和到定直线的距离和， 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，当点在线段时，最小，最小值为. 故选：C 二．多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线（ ） A. 若，则或2 B. 原点O到直线的最大距离为 C. 若，则或 D. 不过第二象限则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据两直线一般式平行和垂直满足的系数关系，即可判断AC，根据直线过定点，即可根据点点距离求解B，根据直线无斜率时，可判断D. 【详解】对于A，若，则且，解得，故A错误， 对于B，由于变形为，故其恒过点，因此原点O到直线的最大距离为,B正确， 对于C，若，则，解得或，C正确， 对于D，若不过第二象限，当无斜率时，，此时直线为，满足不经过第二象限，故可以为0，故D错误， 故选：BC 10. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数的点M的轨迹是圆，已知点，M是平面内的一动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点M的轨迹围成区域的面积为 B. 面积的最大值为 C. 点M到直线的距离的最大值为 D. 若M的轨迹上有四个点到直线的距离为，则实数b的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设，先由求出点M的轨迹方程，从而得点M的轨迹圆的半径，再由圆的面积公式即可得解；对于B，先求出，接着求出圆心到直线的距离再加上半径即为的高最大值，进而可求面积最大值；对于C，求出圆心到直线的距离再加上半径即为解；对于D，求出圆心到直线的距离d，令即可计算求解. 【详解】对于A，设，因为，所以， 整理得即， 所以点M的轨迹是圆心为，半径为的圆， 所以点M的轨迹围成区域的面积为.故A正确； 对于B，，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以点M到直线的距离的最大值为， 所以面积的最大值为，故B错误； 对于C，因为圆心到直线的距离为， 所以点M到直线的距离的最大值为，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离为， 要使M的轨迹上有四个点到直线的距离为， 则，解得故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在长方体中，，，点P，E分别为AB，的中点，点M为直线上的动点，点N为直线上的动点，则（ ） A. 对任意的点N，一定存在点M，使得 B. 向量，，共面 C. 异面直线PM和所成角的最小值为 D. 存在点M，使得直线PM与平面所成角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量的方法可判断ACD的正误，利用中位线和长方体的性质可判断B的正误. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 故，设，，， 而，故即， 故， 若，则即， 当时，不存在，故当为中点，不存在，使得，故A错误. 连接，则，由长方体可得，故， 故，，即，，共面，故B正确 ，故 ， 当时，，此时； 当时，， 令，设，则， 故， 所以异面直线PM和所成角的范围为，故直线PM和所成角的最小值为， 故C正确. 平面的法向量为， 故， 若直线PM与平面所成角为，则， 故，所以或，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：空间位置关系中的最值问题，可通过建立空间直角坐标系，把角的最值问题或存在性问题转化为函数的最值或方程的解的问题. 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 已知经过点，法向量为的平面方程为，现给出平面的方程为，平面的方程为，则平面α、β成角的余弦值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】由定义可得：两个平面的法向量，再利用向量的数量积公式可得两个向量的夹角的余弦值即可求解. 【详解】由定义可得：平面:的法向量为， 平面 :的法向量为， 所以两个向量的夹角余弦值为：， 所以平面所成角的余弦值0． 故答案为：0． 13. 设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出定点和的坐标，分析得到两条直线互相垂直，从而得到，最后设，在直角三角形中将和表示为的式子，利用三角函数的性质求最值即可求解. 【详解】可以转化为，故直线过定点， 可以转化为，故直线过定点， 由和满足， 所以两条直线互相垂直，可得， 所以，可得， 设为锐角，则，， 所以， 当时，取最大值. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，且．记直线与平面所成角分别为，已知，当三棱锥的体积最小时，的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设点在平面内的投影为，根据线面角定义并结合得到，建立直角坐标系可以得到点的轨迹是圆，根据圆的几何性质进行求解即可. 【详解】设点在平面内的投影为，如下图所示： 由直线与平面所成角分别为，且，则， 可得，于是， 以为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如下图所示： 令，由，，可得， 则，化简可得， 因此点在以为圆心，为半径的圆上， 当最小时，最小，即三棱锥的体积最小， 此时，，而， 易知，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本体的关键是通过建立直角坐标系，得到点的轨迹是圆，最后利用圆的性质进行求解. 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17，各15分，18、19，题各17分共77分． 15. 已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为，求： （1）B点和C点的坐标： （2）入射光线经过点，被AB上的中线CM反射，反射光线过，求反射光线所在的直线方程． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直设直线方程为，将代入，求出，求出直线方程，联立直线与中线CM所在直线方程，求出，设，表达出，将两者分别代入相应的方程，联立求出； （2）设关于中线CM对称点坐标为，则反射光线即为所在直线，由对称性可得，从而得到反射光线方程. 【小问1详解】 直线和直线垂直，故设直线方程为， 将代入得，，解得， 故直线方程为， 联立，解得，故， 设，则， 将代入中得， 又在直线上，故， 联立与，解得， 故； 【小问2详解】 设关于中线CM对称点坐标，则反射光线即为所在直线， 其中，解得，故， 故反射光线方程为，即. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． （1）求F点到的距离 （2）求点F到平面距离： （3）若平面与平面交于直线l，求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对于求点到直线的距离，我们可以利用向量法，通过构建向量关系，根据向量点积公式求出距离. （2）求点到平面的距离，可根据向量法，利用平面的法向量与点和平面上一点构成的向量的关系来求解. （3）求二面角的余弦值，同样利用向量法，先求出两个平面的法向量，再根据法向量的夹角与二面角的关系求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 建立空间直角坐标系，以为原点，为轴，为轴，为轴. 已知正方体棱长为，则，，. 可得，. 设点到的距离为，根据向量积公式， 先求在上的投影，. 计算，，. 则. 根据距离公式，. 【小问2详解】 先求平面的法向量.已知，，， 则，. 设，由且， 可得.令，解得，，所以. 又，点到平面的距离. 计算，.所以. 【小问3详解】 求二面角的余弦值 因为平面与平面交于直线，，. 根据正方体性质，可知平面的法向量可取. 已求得平面的法向量. 设二面角为，则. 计算，，. 所以. 17. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，． （1）当时，证明：平面． （2）判断是否存在，使得EF与平面PCD所成角的正弦值为，若存在，求出λ，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，使得EF与平面PCD所成角的正弦值为，理由见解析 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，计算平面的法向量，即可证明； （2）根据已知条件EF与平面PCD所成角的正弦值为，利用向量法建立方程，即可求出的值. 【小问1详解】 证明：因为侧棱平面，底面为长方形， 以A为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 所以，， 又因为E为的中点，F为上的点，，即F为的中点， 所以， 又因为侧棱平面，平面，所以， 又因为底面为长方形为，有， 平面，，所以平面, 所以为面的法向量. 又因为，所以， 又平面，所以平面． 【小问2详解】 存在，使得EF与平面PCD所成角的正弦值为. 理由如下： 设，所以， 因为，所以，即 所以， 设平面的法向量为，由，， 则有，解得， 令，所以， 所以， 整理得，，解得，， 故存在，使得EF与平面PCD所成角的正弦值为. 18. 已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方. （1）求圆C的方程； （2）直线与圆C交于不同的M，N两点，且，求直线的斜率； （3）过点的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在y轴正半轴上是否存在定点N，使得y轴平分？若存在，请求出点N的坐标：若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出圆心，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于2，确定圆心坐标，即可得圆的方程. （2）根据题意得圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式列方程，即可求解. （3）当直线的斜率存在时，设出方程与圆的方程联立，韦达定理，结合，即可求出点的坐标；当轴时，利用y轴平分求得点N的坐标满足的条件，即可得定点坐标. 【小问1详解】 设圆心，则， 解得或（舍），故圆的方程为． 【小问2详解】 由题意可知圆心到直线的距离为， 则有，解得. 【小问3详解】 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得， 若y轴平分，则，即，即， 即，即，即， 当时，上式恒成立，即； 当直线的斜率不存在时，易知满足题意； 综上，当点的坐标为时，y轴平分. 19. 圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆 （1）求圆C与圆M的根轴l； （2）已知点P为根轴l上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，当最小时，求直线的方程； （3）给出定点，设N，Q分别为根轴和圆M上的动点，求的最小值及此时点N的坐标. 【答案】（1）； （2）； （3）的最小值为，此时. 【解析】 【分析】（1）先求出圆C和圆M的圆心C和M以及半径和，接着由列式化简即可得解. （2）先由题意求得，进而结合求得取得最小值时亦即取得最小值时，接着求出此时的点P坐标，再求出以线段为直径的圆的方程，从而求出该圆与圆C的公共弦所在直线方程即可得解. （3）先求出关于根轴对称的点，接着得，从而得与圆M和根轴l相交的点和使得最小，进而求得的最小值，再由联立根轴的方程即可求出. 【小问1详解】 由题圆的圆心为，半径为；圆圆心为，半径为， 设点为圆C与圆M的根轴l上的任意一点， 则由题可得，即， 整理得，即圆C与圆M的根轴l为直线. 【小问2详解】 由题意可知且，， 设与相交于点H， 则， 又， 所以，所以取得最小值时即为取得最小值时， 又，所以取得最小值时亦即取得最小值时， 而取得最小值时，且该最小值为圆心C到根轴l的距离为， 此时即， 联立，故此时， 所以此时中点坐标为， 所以以线段为直径的圆的方程为，即， 则是该圆与圆C的公共弦，所以两圆方程相减即为直线的方程为：即. 【小问3详解】 设关于根轴对称的点为， 则，故， 则由三角形两边之和大于第三边可得， 连接，则此时与圆M和根轴l相交的点和使得最小为， 且此时即， 联立，即此时， 所以的最小值为，此时. 【点睛】关键点睛：求解直线的方程的关键点1是将转化为，从而求得取得最小值时亦即取得最小值时，进而求出此时的点P坐标，关键点2是求出以线段为直径的圆的方程，从而将直线的方程转化为该圆与圆C的公共弦所在直线方程而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 60级高二上第一次调研考试（数学试题） （选择性必修一第一章和第二章） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 2. ，若则（ ） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（ ） A. B. C. D. 4. 在空间四边形ABCD中，，设，若向量，则（ ） A. B. 0 C. D. 5. 点P是圆上一动点，过点P向圆作两条切线，设两切线所成的最大角为α，则（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱柱中，若是等边三角形，E为的中点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 7. 已知点，在圆上，点在以为圆心，为半径的圆上，则使得是面积为的等边三角形的点的个数为（ ） A. B. C. D. 8. ，函数的最小值为（ ） A 2 B. C. D. 二．多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线（ ） A. 若，则或2 B. 原点O到直线的最大距离为 C. 若，则或 D. 不过第二象限则 10. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数的点M的轨迹是圆，已知点，M是平面内的一动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点M的轨迹围成区域的面积为 B. 面积的最大值为 C. 点M到直线的距离的最大值为 D. 若M的轨迹上有四个点到直线的距离为，则实数b的取值范围为 11. 如图，在长方体中，，，点P，E分别为AB，的中点，点M为直线上的动点，点N为直线上的动点，则（ ） A. 对任意的点N，一定存在点M，使得 B 向量，，共面 C. 异面直线PM和所成角的最小值为 D. 存在点M，使得直线PM与平面所成角为 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 12. 已知经过点，法向量为的平面方程为，现给出平面的方程为，平面的方程为，则平面α、β成角的余弦值为__________． 13. 设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P（P与A，B不重合），则的最大值为______． 14. 在三棱锥中，且．记直线与平面所成角分别为，已知，当三棱锥的体积最小时，的长为__________． 四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，16、17，各15分，18、19，题各17分共77分． 15. 已知的顶点，边AB上的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为，求： （1）B点和C点的坐标： （2）入射光线经过点，被AB上的中线CM反射，反射光线过，求反射光线所在的直线方程． 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． （1）求F点到的距离 （2）求点F到平面的距离： （3）若平面与平面交于直线l，求二面角的余弦值． 17. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，． （1）当时，证明：平面． （2）判断是否存在，使得EF与平面PCD所成角的正弦值为，若存在，求出λ，若不存在，请说明理由． 18. 已知直线，半径为2圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方. （1）求圆C的方程； （2）直线与圆C交于不同的M，N两点，且，求直线的斜率； （3）过点的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在y轴正半轴上是否存在定点N，使得y轴平分？若存在，请求出点N的坐标：若不存在，请说明理由. 19. 圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆 （1）求圆C与圆M的根轴l； （2）已知点P为根轴l上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，当最小时，求直线的方程； （3）给出定点，设N，Q分别为根轴和圆M上的动点，求的最小值及此时点N的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$