精品解析：安徽省安庆市 潜山市南片学校联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级 数学（沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的） 1. 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的识别，能够整理为形式的函数为二次函数，由此逐项判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，不合题意； B、，是二次函数，不合题意； C、，是二次函数，不合题意； D、，不是二次函数，符合题意； 故选D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：的顶点坐标为， 故选：． 3. 函数的图象与轴的交点的情况是（ ） A. 有两个交点 B. 有一个交点 C. 没有交点 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，当时，，再根据一元二次方程根的判别式即可求解，解题的关键是把函数图象的交点问题转换成方程解的问题． 【详解】解：由函数得， 当时，， 则， ∴一元二次方程无实数根， ∴函数的图象与轴无交点， 故选：． 4. 已知是二次函数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数． 【详解】解：由题意得，解得：， 故选：． 5. 对于二次函数，下列说法中错误的是（ ） A. 其图象开口向上 B. 其图象关于轴对称 C. 有最小值0 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向、对称轴、顶点坐标逐项判断即可． 【详解】解：A，二次函数中，二次项系数大于0，因此图象开口向上，说法正确，不合题意； B，二次函数图象关于轴对称，说法正确，不合题意； C，开口向上，顶点坐标为，因此有最小值0，说法正确，不合题意； D，开口向上，顶点坐标为，因此当时，随的增大而增大，选项中说法错误，符合题意； 故选D． 6. 某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，设每个月增长的百分率都是，根据题意列出函数表达式即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：设每个月增长的百分率都是，依题意得：， 故选：． 7. 已知二次函数，当时，；当时，，则该二次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式解题的关键． 将当时，；当时，，代入求解即可； 【详解】解：根据题意得， 解得：， ∴抛物线解析式为． 故选：B． 8. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先把每个选项的对称轴的值代入，分别算出对应的顶点C的纵坐标，再与题干条件作比较，即可作答． 【详解】解：A、当对称轴为直线，则，得，那么，故该选项是错误的； B、当对称轴为直线，则，得，那么，故该选项是错误的； C、当对称轴为直线，则，得，那么，故该选项是正确的； D、当对称轴为直线，则，得，那么，故该选项是错误的； 故选：C 9. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定，的符号是解题关键．直接利用一次函数图象经过的象限得出，的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：一次函数的图象经过一、三、四象限， ，， ， 二次函数的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在轴右侧， 故选：D． 10. 如图，已知抛物线，直线，下列结论错误的是（ ） A. 当或时， B. 当或时， C. 当时，随的增大而增大 D. 使的的值有个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象性质逐一判断即可，熟练掌握并能灵活运用二次函数图象性质是解题的关键． 【详解】由题意，可得， ∴或 ， ∴和两图象的交点为，， 、时，即二次函数图象在一次函数图象下方对应的自变量的取值范围 ∴当或时，，此选项正确； 、，即， ∴或，此选项正确； 、由，对应抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大，此选项正确； 、∵ ∴或， ∴对于的，此时方程有两个不等的实数根； 而对于的，此时方程没有实数根， ∴的有个，此选项错误， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 当时，二次函数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，把代入求值即可，解题的关键掌握二次函数的性质． 【详解】解：当时， ∴ ， 故答案为：． 12. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为， 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 13. 在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在轴，则的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，写出二次函数的顶点坐标是解题的关键．先写出抛物线的顶点坐标，再根据已知条件列出关于的方程式即可求得答案． 【详解】解：， ， 抛物线的顶点在轴， ， ． 故答案为：． 14. 已知二次函数（为常数）． （1）若该二次函数图象经过点，则______； （2）若平行于轴的直线与该二次函数图象交于点，且点的横坐标之和大于2，则的取值范围为______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系： （1）利用待定系数法求解； （2）设平行于x轴的直线为，将与联立，可得，根据二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，解不等式即可． 【详解】解：（1）将代入，得：， 解得， 故答案为：1； （2）解：设平行于x轴的直线为， 将与联立，得：， 即， ∵直线与该二次函数的图象交于点A，B， ∴， ∵点的横坐标之和大于2， ∴， 解得， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知抛物线过点和点，求该抛物线的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，将和代入求出a和b的值即可． 【详解】解：将和代入，得： ， 解得， 该抛物线的表达式为． 16. 新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为． （1）图像数为的二次函数表达式为__________． （2）求证：“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 【答案】（1） （2） “图象数”为的二次函数表达式为：. 当时， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 即“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点： （1）根据新定义得到二次函数的解析式即可； （2）根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到，从而求证. 【小问1详解】 解：图像数为的二次函数表达式为：. 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，直线和抛物线都经过点，． （1）求，，的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1），，的值分别为，，； （2）． 【解析】 【分析】（）把点代入求出，把点，代入求出，的值； （）根据图象即可求解； 本题考查了一次函数和二次函数的性质，待定系数法求解析式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵直线点， ∴， ∴， 抛物线都经过点，， ∴，解得：， ∴，，的值分别为，，； 【小问2详解】 解：由图象可知，不等式的解集为． 18. 如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）． （1）求线段的长； （2）若点为抛物线上一点，且，求此时点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】（）令，解出即可求出点和点坐标，从而求出线段的长； （）设，则的高为，，由列出方程即可求出的值，从而可求出的坐标； 本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与轴的交点问题，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 当时，， 解得：，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 设， 由（）得， 则的高为， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由中， ∴此方程无实数根， 由得，， ∴点的坐标为或． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线． （1）以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； （2）当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：需要，理由如下： ， 将代入，得：， 解得， 水面宽度为， 需要采取紧急措施． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）计算出时对应的x的值，进而计算出水面宽度，即可判断． 【小问1详解】 解：由题意知，，， ，，顶点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得， 拱桥所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 20. 已知关于的二次函数（为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）是否存在值，使得该二次函数的图象与轴的两个交点之间的距离为3，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2）存在，k的值为12或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系： （1）将代入解析式，再把二次函数的一般形式化为顶点式，即可得出对称轴和顶点坐标； （2）令，根据二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根与系数的关系，用含k的式子表示出二次函数的图象与轴的两个交点之间的距离，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入， 得：， 当时，y取最小值， 该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为 【小问2详解】 解：令，得， 设该二次函数的图象与轴的两个交点为，，点A在点B的左侧， ，， ， 两个交点之间的距离为3，点A在点B的左侧， ， ， 解得或． 存在，k的值为12或． 六、（本题满分12分） 21. 如图所示，直线与抛物线交于点和，点在第三象限． （1）求直线和抛物线的表达式； （2）抛物线与轴另一交点为A，直线交抛物线对称轴于点，求的面积． 【答案】（1）抛物线的表达式为，线的表达式为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式、二次函数的性质等知识点，解题的关键是找到对应点的坐标，然后运用待定系数法求函数解析式成为解题的关键． （1）把点的坐标代入抛物线方程，即可求得抛物线的解析式；把代入确定点D的坐标，然后在运用待定系数法求解即可； （2）把代入求得点A的坐标，然后再根据抛物线的性质求得点E的坐标，最后根据及三角形面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：把代入，得，解得． 抛物线的表达式为． 把代入，得，解得． 点在第三象限， ． 把代入，得，解得 直线的表达式为． 【小问2详解】 解：把代入，得，解得， ． 抛物线的对称轴是直线， 把代入，得． ． ． 七、（本题满分12分） 22. 某服装店销售一款卫衣，该款卫衣每件进价为元，规定每件售价不低于进价．经市场调查发现，该款卫衣每月的销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系． （1）若服装店每月既想从销售该款卫衣中获利元，又想尽量给顾客实惠，售价应定为多少元? （2）为维护市场秩序，物价部门规定该款卫衣的每件利润不允许超过每件进价的．设该款卫衣每月的总利润为（元），那么售价定为多少元时服装店可获得最大利润?最大利润是多少元? 【答案】（1）售价应定为元 （2）售价定为元时，服装店可获得最大利润，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用； （1）由总利润每件利润数量列出方程，解方程取符合题意的解即可； （2）先算出的范围，再根据总利润每件利润数量列出函数关系式，根据二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， 解得， 尽量给顾客实惠， ，不符合题意，舍去， 答：售价应定为元； 【小问2详解】 解：∵每件利润不允许超过每件进价的， ∴，解得， ∴， 根据题意得 ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取最大值，最大值为 (元)， 答：售价定为元时，服装店可获得最大利润，最大利润是元． 八、（本题满分14分） 23. 如图，已知抛物线的顶点在直线上，且图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）是线段上的一个动点，过点作轴于点，点的坐标为，的面积为． 求的最大值； 在线段上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）当时，有最大值，最大值为；点的坐标为或． 【解析】 【分析】（）设抛物线顶点坐标为则抛物线解析式为，然后代入点坐标进行求解即可； （）由（）得点坐标为，先求出点坐标，进而求出直线解析式，从而得到点的坐标，则，则，由此利用二次函数的性质求解即可； 先求出点的坐标，再利用勾股定理求出，，，再分，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可； 本题主要考查了二次函数的性质，一次函数与几何综合，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设抛物线顶点坐标为，则抛物线解析式为， ∴把代入中得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴，； 【小问2详解】 解：①由（）得：， ∴点坐标为， 由得，当时， 解得或， ∴， 设直线解析式为， ∴ 解得：， ∴直线解析式为， ∵轴，点的坐标为， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 由中, 当时，， ∴， ∵轴，点的坐标为， ∴， ∴， ∴，，， 当时， 则， ∴， 解得或（舍去）， ∴点的坐标为， 当时，则， ∴，， 解得或（舍去）， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级 数学（沪科版） 注意事项： 1．数学试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是正确的） 1. 下列函数中，不是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象与轴的交点的情况是（ ） A. 有两个交点 B. 有一个交点 C. 没有交点 D. 无法判断 4. 已知是二次函数，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 1或 5. 对于二次函数，下列说法中错误的是（ ） A. 其图象开口向上 B. 其图象关于轴对称 C. 有最小值0 D. 当时，随的增大而减小 6. 某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数，当时，；当时，，则该二次函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为，则抛物线的对称轴为直线（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线，直线，下列结论错误的是（ ） A. 当或时， B. 当或时， C. 当时，随的增大而增大 D. 使的的值有个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 当时，二次函数的值为______． 12. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______． 13. 在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在轴，则的值为______． 14. 已知二次函数（为常数）． （1）若该二次函数图象经过点，则______； （2）若平行于轴的直线与该二次函数图象交于点，且点的横坐标之和大于2，则的取值范围为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知抛物线过点和点，求该抛物线的表达式． 16. 新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为． （1）图像数为的二次函数表达式为__________． （2）求证：“图象数”为的二次函数的图象与x轴恒有两个交点． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，直线和抛物线都经过点，． （1）求，，的值； （2）求不等式的解集． 18. 如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）． （1）求线段的长； （2）若点为抛物线上一点，且，求此时点的坐标． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线． （1）以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； （2）当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 20. 已知关于的二次函数（为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）是否存在值，使得该二次函数的图象与轴的两个交点之间的距离为3，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 六、（本题满分12分） 21. 如图所示，直线与抛物线交于点和，点在第三象限． （1）求直线和抛物线的表达式； （2）抛物线与轴另一交点为A，直线交抛物线对称轴于点，求的面积． 七、（本题满分12分） 22. 某服装店销售一款卫衣，该款卫衣每件进价为元，规定每件售价不低于进价．经市场调查发现，该款卫衣每月的销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系． （1）若服装店每月既想从销售该款卫衣中获利元，又想尽量给顾客实惠，售价应定为多少元? （2）为维护市场秩序，物价部门规定该款卫衣的每件利润不允许超过每件进价的．设该款卫衣每月的总利润为（元），那么售价定为多少元时服装店可获得最大利润?最大利润是多少元? 八、（本题满分14分） 23. 如图，已知抛物线的顶点在直线上，且图象与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）是线段上的一个动点，过点作轴于点，点的坐标为，的面积为． 求的最大值； 在线段上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $