5.2.3 简单复合函数的导数同步练习-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

5.2.3　简单复合函数的导数 A级 基础达标练 1.已知函数f(x)=x(1-ax)2(a>0),且f'(2)=5,则a等于(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.设函数f(x)=log3(x-1),则f'(2)=(　　) A.ln 3 B.-ln 3 C. D.- 3.函数y=xln(2x+5)的导数为(　　) A.y'=ln(2x+5)- B.y'=ln(2x+5)+ C.y'=2xln(2x+5) D.y'= 4.曲线y=2x在点(2,4)处切线的斜率k=(　　) A.2e B.e C.6 D.2 5.函数y=的导数是　　　　　.  6.已知函数f(x)=sin 2x-f'·cos x,则f'=　　　　　.  7.已知函数f(x)=ln(2x-3)+axe-x,若f'(2)=1,则a=　　　　　.  8.求下列函数的导数: (1)y=ln(ex+x2); (2)y=102x+3; (3)y=; (4)y=sin 2xcos 3x. B级 能力提升练 9.已知函数f(x)=sin 2x+f'(0)cos x-1,则f(0)=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 10.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D.1 11.(多选题)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值可以是(　　) A. B. C. D. 12.(多选题)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=[f'(x)]',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是(　　) A.f(x)=sin x+cos x B.f(x)=ln x-2x C.f(x)=x3+2x-1 D.f(x)=xex 13.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f'(x),且f(ln x)=x+ln x,则f'(1)=　　　　　. 14.设函数f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ=　　. 15.设函数f(x)=ln(x+1)++ax+b,曲线y=f(x)与直线y=x在点(0,0)处相切,则a=　　　　　,b=　　　　　. 16.已知函数f(x)及其导数f'(x),若存在x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”,则下列函数中有“巧值点”的是　　　　　.(填序号)  ①f(x)=x2;②f(x)=e-x;③f(x)=ln x; ④f(x)=tan x;⑤f(x)=. 17.有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离S(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数为S=S(t)=5-.求函数在 t=1 s时的导数,并解释它的实际意义. 18.已知函数f(x)的定义域为D,导函数为f'(x),若∀x∈D,均有f(x)<f'(x),则称函数f(x)为D上的“梦想函数”. (1)已知函数f(x)=sin x+cos x,试判断f(x)是否为其定义域上的“梦想函数”,并说明理由; (2)若函数g(x)=ax+a-1,x∈为其定义域上的“梦想函数”,求实数a的取值范围. C级 拓展探究练 19.(多选题)若曲线y=e2xcos 3x在点(0,1)处的切线与直线l平行,且两直线间的距离为,则直线l的方程可能为(　　) A.y=2x+6 B.y=2x-4 C.y=3x+1 D.y=3x-4 20.已知f'(x)是函数f(x)的导函数,对任意的x∈R,f'(x)+kf(x)=2xe-kx,且f=1. (1)若k=-1,求使f(x)<3ex成立的x的取值范围; (2)若k=1,求函数的取值范围. 参考答案 1.A　2.C　3.B　4.C　 5.y'=10(2x+1)4　6.2　7.e2 8.解(1)令u=ex+x2,则y=ln u. ∴ y'x=y'u·u'x=·(ex+x2)'=·(ex+2x)=. (2)令u=2x+3,则y=10u,∴ y'x=y'u·u'x=10u·ln 10·(2x+3)'=2ln 10·102x+3. (3)设y=,u=1-x2,则y'x=y'u·u'x='(1-x2)'=-·(-2x)=x(1-x2. (4)∵ y=sin 2xcos 3x,∴ y'=(sin 2x)'cos 3x+sin 2x(cos 3x)'=2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x. 9.C　10.A　11.CD 12.AB　解析对于A,f'(x)=cos x-sin x,令u(x)=cos x-sin x,则u'(x)=-sin x-cos x,因为x∈0,,所以u'(x)<0,所以f(x)在0,上是凸函数,故A正确;对于B,f'(x)=-2,令u(x)=-2,则u'(x)=-<0,故f(x)在0,上是凸函数,故B正确;对于C,f'(x)=3x2+2,令u(x)=3x2+2,则u'(x)=6x>0,故f(x)在0,上不是凸函数,故C错误;对于D,f'(x)=(x+1)·ex,令u(x)=(x+1)·ex,则u'(x)=(x+2)ex>0,故f(x)在0,上不是凸函数,故D错误.故选AB. 13.1+e　14.　15.0　-1 16.①③⑤　解析①f'(x)=2x,则x2=2x,解得x=0或x=2,有“巧值点”;②f'(x)=-e-x,e-x=-e-x无解,无“巧值点”;③f'(x)=,方程ln x=有解,有“巧值点”;④f'(x)=,方程tan x=无解,无“巧值点”;⑤f'(x)=-,方程=-有解,x=-1,有“巧值点”. 17.解函数S=5-可以看作函数S=5-和x=25-9t2的复合函数,其中x是中间变量. 由导数公式,得Sx'=-,xt'=-18t. 由复合函数求导法则,得S'(t)=Sx'xt'=-·(-18t)=. 将t=1代入S'(t),得S'(1)=2.25(m/s). 它表示当t=1 s时,梯子上端下滑的速度为2.25 m/s. 18.解(1)函数f(x)=sin x+cos x不是其定义域上的“梦想函数”.理由如下:f(x)=sin x+cos x的定义域为R,f'(x)=cos x-sin x,存在x=,使得f>f',故f(x)=sin x+cos x不是其定义域上的“梦想函数”. (2)g(x)=ax+a-1,所以g'(x)=a.若函数g(x)=ax+a-1在(0,π)上为“梦想函数”,则ax+a-1<a在(0,π)上恒成立,即a<在(0,π)上恒成立.因为y=在(0,π)上的值域为,+∞,所以a≤,所以实数a的取值范围为-∞,. 19.AB　解析y'=e2x(2cos 3x-3sin 3x),所以在点(0,1)处切线的斜率为e0·(2cos 0-3sin 0)=2,则所求的切线方程为y=2x+1. 设直线l的方程为y=2x+b,则,解得b=6或b=-4, 所以直线l的方程为y=2x+6或y=2x-4.故选AB. 20.解(1)由f'(x)-f(x)=2xex,得=2x,即'=2x. 令g(x)=,则g'(x)=2x,g(x)= x2+c(c为常数). 因为f(0)=1,所以g(0)==1=c,所以g(x)=x2+1. 若f(x)<3ex,则<3,即g(x)=x2+1<3,解得-<x<. 故实数x的取值范围是(-). (2)由f'(x)+f(x)=2xe-x,得 exf'(x)+exf(x)=2x,即[exf(x)]'= 2x.令h(x)=exf(x),则h'(x)=2x,所以h(x)=x2+C(C为常数),则x2+C=exf(x),所以f(x)=.又f(0)=1,所以C=1,所以f(x)=,则f'(x)=,所以.令=t,可得(t+1)x2-2x+t+1=0.当t=-1时,x=0;当t≠-1时,Δ=4-4(t+1)2=-4t(t+2)≥0,解得-2≤t≤0,此时-2≤t<-1或-1<t≤0.综上,的取值范围是[-2,0]. 学科网（北京）股份有限公司 $$