4.1.2 指数幂的拓展（教学课件）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

苏教版2019高一数学（必修一）第四章 指数与对数 4.1.2 指数幂的拓展 4.1　指　数 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 观察下面的变形： (25)2 ＝ 210 ， 得 ＝ 25. 又由 5 ＝ ，得 ＝. 类似地，可以得到 ＝ ， ＝ ， ······ 情景导入 这表明，当 m 被 n 整除时，就有 ( a＞0，m，n 均为正整数 ). 一般地，我们规定 ＝ ( a＞0，m，n 均为正整数 ). 新知探究 这就是正数 a 的正分数指数幂的意义. 由此可知， 的意义为 ＝ . 仿照负整数指数幂的意义，我们规定 ( a＞0，m，n 均为正整数 ). 一、分数指数幂的意义 ( a＞0，m，n 均为正整数) 正分数指数幂 负分数指数幂 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. ＝ ＝_______＝______ 二、有理数指数幂的运算性质 asat ＝as＋t， (as)t ＝ast， (ab)t ＝atbt， 其中 s，t∈Q，a＞0，b＞0. 例2：求值： (1) 解：(1) (2) (3) (4) 课本例题 例3：用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中） (1) 解：(1) (2) (3) 课本例题 我们已将指数式 ax中的指数 从整数推广到分数 (有理数)，是否还可以将指数推广到无理数呢? 例如，“”有意义吗? 利用计算器，可以计算出表中的数值： x 2x 用计算器计算 2x的值 1 21 2 1.4 21.4 2.639 015 821 ··· 1.41 21.41 2.657 371 628 ··· 1.414 21.414 2.664 749 650 ··· 1.414 2 21.414 2 2.665 119 088 ··· ··· ··· ··· ？ ？ 随着 x 的取值越来越接近于，2x 的值也越来越接近于一个实数，我们把这个实数记为 一般地，当 a＞0 且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用. 这样，指数幂的概念从有理指数幂推广到实数指数幂. 以后可以证明，当a＞0，a≠1，N＞0时，一定有唯一的实数 x ，满足 ax＝N. 1. 用根式的形式表示下列各式 (a＞0)： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝a 课本练习 2. 用分数指数幂表示下列各式： (1) (a＞0)； (2) ； (4) (x＞0)； ＝ (a＞0) ＝ ＝ (x＞0) (5)(y＞0)； (6) (m＞0)； (7) ； (8) (m＞n). ＝ (y＞0) ＝ (m＞0) ＝ ＝m－n，(m＞n) 3. 求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； ＝ ＝ ＝ ＝ (5) 2××. 4. 化简下列各式 ( a＞0，b＞0，x＞0，y＞0)： ∵ a＞0， ∴ 原式＝ ＝ ∵ a＞0， ∴ 原式＝ ＝ ∵ a＞0， ∴ 原式＝ = ∵ a＞0， ∴ 原式＝ ∵ a＞0， ∴ 原式＝ ∵ x＞0，y＞0， ∴ 原式＝ ∵ a＞0，b＞0， ∴ 原式＝ ∵ x＞0，y＞0， ∴ 原式＝ x3y2÷x ＝x2 D 分层练习-基础 21 B A C ＝a2·a2＝a4. A.a16 B.a8 C.a4 D.a2 BD 5.(多选题)下列各式中一定成立的有(　　) C中当x＝y＝1时，等式不成立；D正确.故选BD. 二、填空题 6.已知3a＝2，3b＝5，则32a－b＝________. 三、解答题 9.求下列各式的值： 解析　因为m＝2，n＝3， 所以原式＝ 分层练习-巩固 29 3 13.(1)已知2x＋2－x＝a(常数)，求16x＋16－x的值； 解　∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝a2－2， ∴(4x＋4－x)2＝16x＋16－x＋2＝(a2－2)2＝a4－4a2＋4， ∴16x＋16－x＝a4－4a2＋2. ∵x＋y＝12，xy＝9，② ∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108. a，b，c均为正整数，∴abc＝70＝2×5×7， 又a，b，c为正整数且a≤b≤c，∴a＝2，b＝5，c＝7. 解　∵ax＝70w且x，w为非零实数， 分层练习-拓展 感受·理解 1. 求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) (x＞y)； (6) . ＝＝4 ＝＝ ＝ 102－100 ＝ －0.1 ＝∣x－y∣ ＝ x－y ＝－(2x＋y) ＝－2x－y 习题4.1 2. 用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)； (1) ； (2) ； (3) a ； (4) ()2； (5) · ； (6) ； (7) ·； (8) ()2 ·. ＝a ＝a ＝a ＝a ＝a ＝a ＝a ＝a b 3. 求下列各式的值： (1) 36 ； (2) () ； (3) 10 000 ； (4) () ； (5) 4 ； － (6) (6) ； ＝＝6 ＝ ＝10 ＝ ＝ ＝ 4. 用计算器计算下列各式的值： (1) 5 ； (2) 321 ； (3) 25.8 ； (4) 723 ； ＝ ≈1.709 976 ＝ ≈46.881 700 ＝ ≈11.447 609 ＝ ≈58 241.224 3 5. 化简下列各式(a＞0，b＞0)： (1) a a a ； (2) a a ÷a ； (3) ( a a )12； (4) ( a b )12； － (5) 4a b ÷ (－a b )； － － － (6) 2a ( a －2a )； － － (7) (2a ＋3b )(2a －3b )； － － (8) (a2－2＋a－2) ÷(a2－a－2). 6. 设a，b是正数，下列各题中的两个代数式是否恒等? 为什么? (am)n与aman； (2) a 与； (3) a 与； (4) (a＋b)n 与 an＋bn. 思考·运用 7. 利用分数指数幂计算：(－)(＋＋). 8. 已知 a＋a－1＝3，求下列各式的值： (1) a －a ； － (2) a －a ； － x3－y3＝(x－y) (x2＋xy＋y2)， x3＋y3＝ (x＋y)(x2－xy＋y2). 9. 解下列方程： (1) x ＝； － (2) 2x －1 ＝15； 1.掌握2个知识点 (1)分数指数幂的意义；(2)分数指数幂的运算性质. 2.掌握2种方法 (1)对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律. (2)解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”. 3.规避1个易错点 在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数. 课堂小结 通过对有理数指数幂aeq \f(m,n)(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 通过对有理数指数幂aeq \f(m,n)、实数指数幂ax含义的认识，提升数学抽象素养；通过指数幂运算性质的应用，提升数学运算素养. A.R B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) 一、选择题 1.若(1－2x)－eq \f(3,4)有意义，则x的取值范围是(　　) 解析　将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x>0，解得x<eq \f(1,2). 解析　原式＝－1÷＋ ＝－1÷＋ ＝－＋＝. A.5 B.eq \r(5) C.－eq \r(5) D.－5 2.化简[]的结果为(　　) 解析　[eq \r(3,（－5）2)]eq \f(3,4)＝(eq \r(3,52))eq \f(3,4)＝5eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝5eq \f(1,2)＝eq \r(5). 3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5\f(1,16)))eq \s\up12(0.5)＋(－1)－1÷0.75－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(10,27)))eq \s\up12(－\f(2,3))＝(　　) A.eq \f(9,4) B.eq \f(4,9) C.－eq \f(9,4) D.－eq \f(4,9) 解析　原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,a\f(9,6))))eq \s\up12(4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6,a\f(9,3))))eq \s\up12(4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\f(3,2)×\f(1,3)))eq \s\up12(4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a3×\f(1,6)))eq \s\up12(4) 4.化简(eq \r(3,\r(6,a9)))4·(eq \r(6,\r(3,a9)))4的结果是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))eq \s\up12(7)＝n7meq \f(1,7) B.eq \r(12,（－3）4)＝eq \r(3,3) C.eq \r(4,x3＋y3)＝(x＋y)eq \f(3,4) D.eq \r(\r(3,9))＝eq \r(3,3) 解析　A中应为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m)))eq \s\up12(7)＝n7m－7；eq \r(12,（－3）4)＝eq \r(12,34)＝eq \r(3,3)，B正确； 解析　eq \f(a2,\r(a\r(3,a2)))＝eq \f(a2,\r(aa\f(2,3)))＝eq \f(a2,\r(a\f(5,3)))＝eq \f(a2,a\f(5,3)×\f(1,2)) ＝a2a－＝a2－＝a. 解析　32a－b＝＝. 7.设a>0，将eq \f(a2,\r(a\r(3,a2)))表示成分数指数幂的形式，其结果是________. a 解析　原式＝eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(2))＋eq \r(2)＋1－22＝2eq \r(2)－3. 8.2－eq \f(1,2)＋eq \f(（－4）0,\r(2))＋eq \f(1,\r(2)－1)－eq \r(（1－\r(5)）0)·8eq \f(2,3)＝________. 2－3 解　(1)原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(34×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(4,3)))\s\up12(\f(1,2))))eq \s\up12(\f(1,4))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(34＋\f(2,3)))eq \s\up12(\f(1,4))＝3eq \f(7,6)＝3eq \r(6,3). (2)原式＝eq \f(5\f(2,3)－5\f(3,2),5\f(1,4))＝5eq \f(2,3)－eq \f(1,4)－5eq \f(3,2)－eq \f(1,4)＝5eq \f(5,12)－5eq \f(5,4)＝eq \r(12,55)－5eq \r(4,5). (1)；(2). 解　(1)原式＝1＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))\s\up12(2)))－eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,2)))－eq \f(4,3)＝1＋eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)＝2. 10.计算：(1)(eq \r(2)－1)0＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)))eq \s\up12(－\f(1,2))＋(eq \r(8))－eq \f(4,3)； (2)0.027－eq \f(1,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))eq \s\up12(－2)＋2560.75－eq \f(1,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))eq \s\up12(0). (2)原式＝(0.33)－－＋(44)－＋1 ＝－36＋64－＋1＝32. ＝(meq \f(4,3)n－eq \f(5,2)m－1neq \f(3,2))3＝mn－3＝2×3－3＝eq \f(2,27). 11.已知m＝2，n＝3，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3,m2)\r(n－3),n·\r(3,m－2))÷\r(\f(m\r(n－4),n\r(m－2))) ))eq \s\up12(3)的值是________. 12.已知a＋b＝1，则＝________. 解析　原式＝＝3a＋b＝31＝3. 又∵x<y，∴x－y＝－6.③ 将②③代入①，得eq \f(x\f(1,2)－y\f(1,2),x\f(1,2)＋y\f(1,2))＝eq \f(12－2×9\f(1,2),－6\r(3))＝－eq \f(\r(3),3). (2)已知x＋y＝12，xy＝9且x<y，求eq \f(x\f(1,2)－y\f(1,2),x\f(1,2)＋y\f(1,2))的值. 解　＝ ＝.① 14.对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，w有ax＝by＝cz＝70w，且eq \f(1,w)＝eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)，求a，b，c的值. ∴(ax)＝(70w)，∴a＝70. 同理可得b＝70，c＝70， 即(abc)＝70＋＋＝70. $$