精品解析：贵州省贵阳市花溪区久安中学2024-2025学年八年级上学期期中质量监测数学试题（10月）

贵阳市花溪区久安中学2024-2025学年度第一学期期中质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列各组图形中，属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，若，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 4. 在下列线段的组合中，能与长度的线段构成三角形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 利用一块含角的透明直角三角板过点A作的边的垂线，下列三角板摆放的位置正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 若一个多边形的每个外角都等于36°，则它的内角和是( ) A. 1 080° B. 1 440° C. 1 800° D. 2 160° 7. 如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，，，添加以下条件之一仍不能证明的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分，，垂足为点．若的面积为16，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 9. 如图，∠BDC=100°，∠C=35°，∠A=28°，则∠B的度数是（ ） A. 43° B. 33° C. 47° D. 37° 10. 如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，以的顶点A为圆心，以长为半径作弧；再以顶点为圆心，以长为半径作弧，两张交于点，连接，．若，的大小为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，点分别在边上，将沿折叠至的位置，点的对应点为．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 为使一个四边形木架不变形我们会从中钉一根木条，这是利用了三角形的____________． 14. 已知的三个内角的数量关系为，则是____________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 15. 如图，在中，为边上的中线，过点作的垂线交的延长线于点E，过点B作于点F．若的面积为12，的面积为3，则的面积为______． 16. 如图，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动（当点P运动结束时，点Q运动随之结束），当点Q的运动速度为________，有与全等． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，点，在的边上，且，，．求证：． 18. 如图，在△BCD中，BC=1.5，BD=2.5， （1）若设CD的长为偶数，则CD的取值是______． （2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数． 19. 如图，在中，于点平分．若，求的度数． 20. 如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长少的长与的长的和为，求的长． 21. 如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在上取一点，在小山外取一点，连接并延长，使，过点作的平行线，交的延长线于点，那么测量的长就是的长，请你说明其中的道理． 22. 如图，直线l与a、b相交于点A、B，且． （1）尺规作图：过点B作的角平分线交直线a于点D（保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若，求的度数； （3）P为直线l上任意一点，若点D到直线b的距离为，则DP的最小值为________cm． 23. 如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P． （1）求证：△ABM≌△BCN； （2）求∠APN的度数． 24. 如图①，根据图形填空： （1）____________，____________； （2）________________________； 【应用】 （3）如图②，求的度数． 25. 在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么________； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市花溪区久安中学2024-2025学年度第一学期期中质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列各组图形中，属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是全等图形，根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：A、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故A选项不符合题意； B、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故B选项不符合题意； C、由图可知两个图形可以完全重合，所以是全等图形，故C选项符合题意； D、由图可知两个图形不可能完全重合，所以不是全等形，故D选项不符合题意． 故选：C． 2. 在中，，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形内角和为，据此计算的度数即可． 【详解】解：在中， ，，， ∴． 故选：C． 3. 如图，若，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 4. 在下列线段的组合中，能与长度的线段构成三角形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系分析即可． 【详解】A．， ，，无法构成三角形，故此选项不合题意； B．.， ，，无法构成三角形，故此选项不合题意； C．.， ，，可以构成三角形，故此选项符合题意； D．， ，，无法构成三角形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 5. 利用一块含角的透明直角三角板过点A作的边的垂线，下列三角板摆放的位置正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的高的定义即可求解．从三角形一个顶点向它的对边(或对边所在的直线)作垂线，那么这个顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线 ． 【详解】解：∵画上的垂线， ∴垂足在直线上，过顶点A， 故选：D． 【点睛】本题考查了画三角形的高，掌握三角形高的定义是解题的关键． 6. 若一个多边形的每个外角都等于36°，则它的内角和是( ) A. 1 080° B. 1 440° C. 1 800° D. 2 160° 【答案】B 【解析】 【详解】设这个多边形是n边形，根据多边形的外角和为360°可得，36°×n=360°，解得n=10．所以这个多边形的内角和为（10-2）×180°=1440°．故选B. 7. 如图，已知E，B，F，C四点在一条直线上，，，添加以下条件之一仍不能证明的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理：，，，，．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 由，可得出，又有，本题具备了一组边、一组角对应相等，然后根据全等三角形的判定定理求解判断即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∵， A．添加，根据能证明，不符合题意． B．添加与原条件满足，不能证明，符合题意； C．添加， ∴，根据能证明，不符合题意． D．添加， ∴，根据能证明，不符合题意． 故选：B． 8. 如图，在中，平分，，垂足为点．若的面积为16，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，先利用三角形的面积公式求出，然后再利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 的面积为16，， ， ， 平分，，， ， 故选：C． 9. 如图，∠BDC=100°，∠C=35°，∠A=28°，则∠B的度数是（ ） A. 43° B. 33° C. 47° D. 37° 【答案】D 【解析】 【分析】延长BD交AC于点E，根据三角形外角的性质可得∠BDC=∠A+∠B+∠C，计算可求解． 【详解】解：延长BD交AC于点E， ∵∠BDC=∠C+∠BEC，∠BEC=∠A+∠B， ∴∠BCD=∠A+∠B+∠C， ∵∠BDC=100°，∠A=28°，∠C=35°， ∴∠B=100°-28°-35°=37°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，证得∠BDC=∠A+∠B+∠C是解题的关键． 10. 如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，作三角形的三外角平分线，有三个交点，内角平分线有一个交点，但除去深水湖泊那个交点，共有3个． 【详解】解：根据角平分线上的点到角两边距离相等可知， 三角形内心（即三角形内角角平分线的交点）为1个位置， 另外两外角平分线的交点，到三条公路的距离也相等，可找到3个， 但因为有1个在深水湖泊， 所以，有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 11. 如图，以的顶点A为圆心，以长为半径作弧；再以顶点为圆心，以长为半径作弧，两张交于点，连接，．若，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，即有，再再根据两直线平行同旁内角互，即可作答． 【详解】根据作图可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质，是解答本题的关键． 12. 如图，在中，点分别在边上，将沿折叠至的位置，点的对应点为．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，折叠的性质，得到，平角的定义，求出的度数，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 为使一个四边形木架不变形我们会从中钉一根木条，这是利用了三角形的____________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】题中给出四边形的不稳定性，即可判断是利用三角形的稳定性． 【详解】为使四边形木架不变形，从中钉上一根木条，让四边形变成两个三角形，因为三角形不变形，故应该是利用三角形的稳定性． 故答案为：稳定性 【点睛】本题考查三角形稳定性的应用，关键在于熟悉三角形的基本性质． 14. 已知的三个内角的数量关系为，则是____________三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，求出的度数是解题的关键．根据、、之间的关系结合三角形内角和定理即可得出，进而可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴为直角三角形， 故答案为：直角． 15. 如图，在中，为边上的中线，过点作的垂线交的延长线于点E，过点B作于点F．若的面积为12，的面积为3，则的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】首先利用已知条件证明，然后利用全等三角形的性质和已知条件可以求出的面积为9，的面积为9，从而求出的面积为6． 【详解】解：，， ， 为边上的中线， ， 在和中， ， ∴， ， 的面积为12，的面积为3， 的面积为9， 的面积为9， 的面积为6． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了三角形的面积的计算，同时也利用了全等三角形的性质与判定，也利用了三角形的中线的性质． 16. 如图，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线上运动（当点P运动结束时，点Q运动随之结束），当点Q的运动速度为________，有与全等． 【答案】2或 【解析】 【分析】分两种情形：①当△ACP≌△BPQ时，可得：AP=BQ；②当△ACP≌△BQP时，AC=BQ=7，AP=BP=分别求解即可． 【详解】解：①当△ACP≌△BPQ时，可得：AP=BQ， ∴点P、Q的运动路程相同， 又∵当点P运动结束时，点Q随之结束运动，即运动时间相同， ∴点P，Q的运动速度也相同， ∴Q的运动速度是2cm/s ②当△ACP≌△BQP时， 则AP=BP，AC=BQ=7cm， ∴点P是AB的中点， 又∵AB=9cm，AC=7cm， ∴AP=， ∴， 又∵点P，Q的运动时间也相同， ∴点Q与点P的速度之比是：， 又∵ ∴ 故答案为：2或． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识进行分类解决问题． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，点，在的边上，且，，．求证：． 【答案】证明： ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】由，得，即可证明，从而． 【详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握其定理是解题的关键． 18. 如图，在△BCD中，BC=1.5，BD=2.5， （1）若设CD的长为偶数，则CD的取值是______． （2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数． 【答案】（1）2；（2）∠C=70° 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系定理求出CD取值范围，再根据CD的长为偶数即可得出CD的取值； （2）由平行线的性质和已知条件求解即可． 【详解】解：（1）∵在△BCD中，BC=1.5，BD=2.5， ∴1＜CD＜4， ∵CD的长为偶数， ∴CD的取值是2． 故答案为2； （2）∵AE∥BD，∠BDE=125°， ∴∠AEC=55°， 又∵∠A=55°， ∴∠C=70°． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，平行线的性质和判定，掌握定理与性质是解题的关键． 19. 如图，在中，于点平分．若，求的度数． 【答案】59° 【解析】 【分析】本题考查了垂线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理．理解相关知识是解答关键． 由垂线的性质和求出，进而得到，结合角平分线的性质得到的度数，再利用三角形内角和定理求解． 【详解】．解：， ， ． ． 平分， ． ． 20. 如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长少的长与的长的和为，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线．熟练掌握三角形中线定义，三角形周长定义，解二元一次方程组，是解决问题的关键．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形中线．三角形三边长的和叫做三角形的周长． 根据中线的定义知，结合三角形周长公式知；因为与的和为，则可求出的长度． 【详解】解：是边上的中线， ． 的周长比的周长少， ， 即． 又， 得． 21. 如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在上取一点，在小山外取一点，连接并延长，使，过点作的平行线，交的延长线于点，那么测量的长就是的长，请你说明其中的道理． 【答案】 ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，解题关键是证明．首先根据可得，然后利用“”证明，即可证明． 【详解】解：略． 22. 如图，直线l与a、b相交于点A、B，且． （1）尺规作图：过点B作的角平分线交直线a于点D（保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若，求的度数； （3）P为直线l上任意一点，若点D到直线b的距离为，则DP的最小值为________cm． 【答案】（1） 如图所示： （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）结合角平分线和平行线的性质求解即可； （3）过点D作DE⊥b于点E，DF⊥l于点F，根据“垂线段最短”可知，当P，F两点重合时，DP有最小值，由角平分线的性质可知，DE＝DF，进而可得出答案． 【小问1详解】 解：以点B为圆心，任意长为半径画弧，与BA、BC分别交于一点，然后再以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接B与这个点，交直线a于点D，则BD即为所求作的的角平分线， 【小问2详解】 解：∵， ∴∠1＝∠ABC＝48°，∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD=∠ABC＝24°， ∴∠ADB=∠CBD＝24°． 【小问3详解】 解：过点D作DE⊥b于点E，DF⊥l于点F，如图所示： 根据“垂线段最短”可知，当P，F两点重合时，DP有最小值， ∵点D到直线b的距离为3cm， ∴DE＝3cm， ∵BD平分∠ABC，DE⊥b，DF⊥l， ∴DE＝DF， ∴DF＝3cm， ∴DP的最小值为3cm． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和平行线的性质，是解答本题的关键． 23. 如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P． （1）求证：△ABM≌△BCN； （2）求∠APN的度数． 【答案】（1）证明：∵正五边形ABCDE， ∴AB=BC，∠ABM=∠C， ∴在△ABM和△BCN中 ， ∴△ABM≌△BCN（SAS）； （2）∠APN的度数为108°． 【解析】 【分析】（1）利用正五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，再利用全等三角形的判定得出即可； （2）利用全等三角形的性质得出∠BAM+∠ABP=∠APN，进而得出∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）∵△ABM≌△BCN， ∴∠BAM=∠CBN， ∵∠BAM+∠ABP=∠APN， ∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°． 即∠APN的度数为108°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，多边形内角与外角，解题的关键是掌握多边形内角与外角之间的关系． 24. 如图①，根据图形填空： （1）____________，____________； （2）________________________； 【应用】 （3）如图②，求的度数． 【答案】（1）；；（2）；180；（3） 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理及外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解答的关键． （1）根据三角形的外角新性质求解即可； （2）根据三角形的内角和定理求解即可； （3）根据三角形的外角性质得到，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）如图①， ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， 故答案为：，； （2）∵在中，， ∴， 即， 故答案为：，180； （3）如图②， ∵是的一个外角， 是的一个外角， ∴，， ∵在中，， ∴， 即． 25. 在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么________； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【答案】（1） （2） ①∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ② ∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及角度关系的探究，解题的关键是推导出，结合已知边相等构造全等三角形 （1）由推导出，再得出，再求出； （2）①根据全等三角形的性质得到对应角相等，再结合三角形内角和、邻补角等关系，建立与的等量关系；②点在延长线上，的构成不同，需分别推导，证全等思路一样，再利用建立关系． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $