精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年高三上学期高考适应性月考卷（二）（10月）数学试题

重庆市第八中学2025届高考适应性月考卷（二） 数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 设是非零向量，则“”是“共线”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及共线向量的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，得，整理得， 而向量均为非零向量，则反向共线且，有； 反之，若，可能同向共线，也可能反向共线，即， 所以“”是“共线”的充分而不必要条件. 故选：A 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求，进而用复数的除法运算即可求解. 【详解】由得， 则. 故选：C. 3. 已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极大值点 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值. 【详解】根据的图象可得： 当时，，时，，时，，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极小值，在处取得极大值. 故选：C. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式，化简求的值，再根据二倍角的余弦公式，并用正切表示，即可求解. 【详解】由条件可知，， 即，得， 所以. 故选：D 5. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】结合等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出结果. 【详解】设设等差数列的公差为，因为，， 所以，所以，解得. 故选：B. 6. 已知函数．将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象平移求出，分析的单调性和值域，画出即的图象数形结合求解即可. 【详解】由函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，所以， 当时，即单调递增，又，则， 又时，单调递增，又，则， 作出的图象如图，由，则， 解得或，所以实数的取值范围为． 故选：C. 7. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为（ ） A. 62 B. 63 C. 64 D. 65 【答案】B 【解析】 【分析】根据“速增数列”的定义，结合累加法建立不等式并求解即得. 【详解】当时，， 因为数列为“速增数列”， 所以，且， 所以，即，， 当时，，当时，， 故正整数的最大值为63. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用累加法将与“速增数列”定义结合得到不等式，由该不等式即可求解. 8. 已知，当时，恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，不等式恒成立，设，，利用导数研究的零点，并由两个函数有相同零点结合韦达定理，经变形构造出函数，再利用导数求出最小值. 【详解】当时，原不等式化为恒成立， 令，，求导得， 由得，；由得，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，当时，，当时，， 则函数在上有两个零点，记为， 显然当或时，，当时， 要使恒成立，则也是的两个零点， 于是，由，得，即，因此， 令，求导得，由，得，由得， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：将原不等式恒成立转化为函数，在上有相同的零点是求解的关键. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知点与点关于点对称.若，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则这组数满足（ ） A. 平均数为 B. 中位数为 C. 方差为 D. 极差为 【答案】AD 【解析】 【分析】首先由条件确定，，再结合平均数，中位数，方差，极差公式，即可求解. 【详解】由条件可知，，，， A.由题意可知，数据的平均数为，所以数据的平均数为，故A正确； B.设数据按从小到大排列，中位数为，则数据按从小到大排列为，中位数为，故B错误； C.由，且数据的方差为，所以数据的方差为，故C错误； D.由B可知，数据的极差为，故D正确. 故选：AD 10. 若是平面内两条相交成角的数轴，和是轴、轴正方向上的单位向量，若向量，则规定有序数对为向量在坐标系中的坐标，记作，设，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若构成锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量坐标的定义逐项运算求解可判断其正误. 【详解】由，得， 所以，故A错误； 由，所以，， 所以， 所以，故B正确； 由，可得，， 所以，又，， 所以，所以， 由平面向量基本定理可得，解得，故C正确； 由题意可得，，， 因为构成锐角三角形，则为锐角， 则可得，解得， 所以与显然不共线， 若为锐角，则， 解得，若与共线，则可得，所以且， 若锐角，则， 解得或，可得与不共线，则可得，所以或， 综上所述：构成锐角三角形，则，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 若的图象关于点对称，则在上单调递增 C. 在上最小值不可能为 D. 若的图象关于直线对称，函数是常数，有奇数个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得，求得即可判断A；利用三角函数的对称中心，结合求出，即可判断B；由和，结合三角函数的单调性即可判断C，由题意可得，函数与的图象在共9个交点，计算可判断D. . 【详解】对于A：因为的图象在上有且仅有两条对称轴， 因为，所以，所以， 所以，故A错误； 对于B：因为的图象关于点对称，则， 即，因为，所以， 当时，，则在上单调递增，故B正确； 对于C：当时，，因为， 所以，所以在上的最小值小于，故C正确． 对于D：因为的图象关于直线对称，则， 即，又，所以，所以， 令函数的根即为函数与的交点的横坐标， 作出图象如图所示，因为，， 要使有奇数个零点，则， 由，得， 函数与的图象在共9个交点， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：求解正弦函数的对称轴、对称中心和值域的问题时，常利用整体代换法和验证法将问题转化到我们熟悉的正弦函数上，利用正弦函数的图象与性质解答，数形结合一种常用方法. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线的虚轴长为2，则双曲线的渐近线方程是_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先求，再求双曲线的渐近线方程. 【详解】由条件可知，，所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 13. 设等比数列的前项和为.令，若也是等比数列，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】首先求，再求，根据等比数列的性质，，求得的值，再验证等比数列的定义，即可求解. 【详解】若，则，，则是等差数列，不是等比数列，所以， 则，所以，且， ，， ， 因为数列是等比数列，所以， 即，， 当时，，，数列是等比数列. 所以. 故答案为： 14. 曲率在数学上是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值.对于半径为的圆，定义其曲率，同样的，对于一般曲线在某点处的曲率，我们可通过该点处的密切圆半径计算.其中对于曲线在点处的密切圆半径计算公式为，其中表示的导数，表示的导数.已知曲线，则曲线在点处的曲率为_____；C上任一点处曲率的最大值为_____. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】首先求处的，再代入曲率公式，即可求解；代入公式，利用导数求函数的最小值，即可求解曲率的最大值. 【详解】，，，， ,所以曲线在点处的曲率为； 上任一点处的，， ， 得（舍）或， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值，此时曲率取得最大值，最大值为. 故答案为：； 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 的内角的对边分别为,已知. （1）求角； （2）若平分交于点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先由正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式及特殊角的函数值，即可求解； （2）根据余弦定理求，面积公式表示，即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知，， 即，则， ， ，且， 所以，，所以； 【小问2详解】 由余弦定理可知，， 即，解得：或（舍）， 由， 可知，， 所以. 16. 已知正项数列的前项和为、且. （1）求数列的通项公式; （2）若数列的前项和为，且，证明:. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【小问1详解】 当时，，又，解得， 当时，由，可得， 两式相减可得， 所以，又数列是正项数列， 所以，所以奇数项是以为首项，6为公差的等差数列， 所以， 由，可得偶数项是以为首项，6为公差的等差数列， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 . 17. 在平面直角坐标系中，已知动点到直线的距离与点到点的距离的比是 （1）求动点P的轨迹方程E； （2）若轨迹E与x轴的交点分别为.过点的直线分别与轨迹相交于点M和点N，求四边形AMBN面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据轨迹法，结合条件，即可求解； （2）根据坐标写出直线和的直线方程，并求出点的坐标，即可表示四边形的面积，并根据换元法和基本不等式求面积的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，， 整理为， 所以动点的轨迹方程； 【小问2详解】 如图，设，，， 则直线，， 联立，得， 则，得， 联立，得， 则，得，， 所以四边形的面积 , 设， 则，函数在区间单调递增， 当时，取得最小值，此时面积取得最大值，最大值为. 所以四边形面积最大值为. 18. 某企业生产的产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表: 质量指标值 质量指标等级 废品 合格 废品 为了解该产品的经济效益，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件.将其质量指标值的数据作为样本，绘制如图的频率分布直方图: （1）若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87，求的值; （2）若每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）的关系如下表: 质量指标值 利润（万元） 以频率作为概率，期望作为决策依据，若，对任意的，生产该产品一定能盈利，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用中位数、平均数的意义列式求解. （2）以频率作为概率，求出利润的期望，由“，恒成立”构造函数，利用导数求出的范围. 【小问1详解】 由中位数为87.5，得，则， 由平均值为87，得， 则，联立解得， 所以. 【小问2详解】 以频率作为概率，每件产品的质量指标值与利润（单位:万元）及对应概率关系为： 质量指标值 利润（万元） 0.05 0.1 5a 5b 0.3 依题意，，即， 每件产品的利润，， 由对任意的，生产该产品一定能盈利，得，恒成立， 此时，令，， 求导得，令，， 求导得，而，， 当，即时，，函数在上单调递增， ，函数在上单调递增，，符合题意； 当时，则存在，使得， 由在上单调递增，得当时，，函数在上单调递减， ，，函数在上单调递减，，不符合题意， 由，及，得，因此， 所以的取值范围是. 19. 已知函数在上有两个极值点. （1）求的取值范围; （2）求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将问题转化为与在上有两个不同交点，利用导数可作出的图象，采用数形结合的方式可求得结果； （2）由可求得的范围，根据极值点偏移的基本思想，构造函数、，通过导数可证得，，进而证得结论. 【小问1详解】 ，令得：， 令， 在有两个极值点，与在上有两个不同交点； ，令，则在上恒成立， 在上单调递增，又， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，，当时，， 大致图象如下图所示， 结合图象可知：当时，与在上有两个不同交点， ，即的取值范围为. 【小问2详解】 令，解得：或，； ①先证：； 要证，只需证， ，，又，上单调递增， 只需证，又，即证， 令，则， 令， 则， 令，则， 在上单调递增，， 在上单调递减，在上单调递减， ，， 在上单调递减，，， 在上单调递增，， 又，，即，则得证； ②再证： 若，则由知：； 若，只需证， 又，在上单调递增，只需证， ，只需证， 令，则， 令，则， 令，则， 当时，，在上单调递增， ，， ，使得，且当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， 又，， ，使得，且当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 又，， 当时，，， 即，则得证； 综上所述：. 【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点个数求解参数范围、极值点偏移的问题；处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第八中学2025届高考适应性月考卷（二） 数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 设是非零向量，则“”是“共线”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的增区间是 B. 函数的减区间是 C. 是函数的极大值点 D. 是函数的极大值点 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 6. 已知函数．将函数向左平移一个单位，再向上平移一个单位后得函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为（ ） A. 62 B. 63 C. 64 D. 65 8. 已知，当时，恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知点与点关于点对称.若，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则这组数满足（ ） A. 平均数 B. 中位数为 C. 方差为 D. 极差为 10. 若是平面内两条相交成角的数轴，和是轴、轴正方向上的单位向量，若向量，则规定有序数对为向量在坐标系中的坐标，记作，设，则（ ） A. B. C. 若，则 D. 若构成锐角三角形，则 11. 已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 若的图象关于点对称，则在上单调递增 C. 在上的最小值不可能为 D. 若的图象关于直线对称，函数是常数，有奇数个零点，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线的虚轴长为2，则双曲线的渐近线方程是_____. 13. 设等比数列的前项和为.令，若也是等比数列，则_____. 14. 曲率在数学上是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值.对于半径为的圆，定义其曲率，同样的，对于一般曲线在某点处的曲率，我们可通过该点处的密切圆半径计算.其中对于曲线在点处的密切圆半径计算公式为，其中表示的导数，表示的导数.已知曲线，则曲线在点处的曲率为_____；C上任一点处曲率的最大值为_____. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 的内角的对边分别为,已知. （1）求角； （2）若平分交于点，求长. 16. 已知正项数列的前项和为、且. （1）求数列的通项公式; （2）若数列的前项和为，且，证明:. 17. 在平面直角坐标系中，已知动点到直线的距离与点到点的距离的比是 （1）求动点P轨迹方程E； （2）若轨迹E与x轴的交点分别为.过点的直线分别与轨迹相交于点M和点N，求四边形AMBN面积的最大值. 18. 某企业生产的产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表: 质量指标值 质量指标等级 废品 合格 废品 为了解该产品的经济效益，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件.将其质量指标值的数据作为样本，绘制如图的频率分布直方图: （1）若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87，求的值; （2）若每件产品质量指标值与利润（单位:万元）的关系如下表: 质量指标值 利润（万元） 以频率作为概率，期望作为决策依据，若，对任意的，生产该产品一定能盈利，求的取值范围. 19. 已知函数在上有两个极值点. （1）求的取值范围; （2）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $