精品解析：辽宁省铁岭市开原市2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024—2025学年度上学期随堂练习九年数学（二）北师大 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下面几对图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可． 【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答． 【详解】解：一元二次方程方程的二次项系数是3，一次项系数、常数项． 故选：A． 3. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段成比例的运用，掌握线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据线段成比例，进行即可比较即可求解． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，线段成比例，符合题意； D、，不符合题意；   故选：C ． 4. 关于的一元二次方程没有实数根，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求出n的取值范围，即可选择． 【详解】根据题意可知：， ∴． ∴符合题意的选项为D． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和解一元一次不等式．根据题意可知一元二次方程没有实数根时其根的判别式小于0是解答本题的关键． 5. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出，从而可求出，即得出顶点的坐标为． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为， ∴．　 ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴顶点的坐标为． 故选C． 6. 每年8月8日是我国全民健身日，据有关部分统计，某市民8月份第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，若设人均运动时长周平均增长率为x，依题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．根据第一周人均运动时长（1+周平均增长率）2第三周人均运动时长列出方程即可． 【详解】解：∵第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，周平均增长率为x， ∴． 故选：A． 7. 如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量n/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量m/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率 (精确到) 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为（ ）(结果精确到0.01) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率，读懂表格是关键．根据表格即可求出． 【详解】解：由表格可得：随着实验种子数量的增加，其发芽的频率稳定在左右，即估计它能发芽的概率为， 故选：C． 9. 如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故A正确； B．根据无法判断，故B错误； C．∵， ∴， ∵， ∴，故C错误； D．∵， ∴， ∵， ∴，故D错误． 故选：A． 10. 如图，在菱形中，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（ ） A. 逐渐增加 B. 先减小再增加 C. 恒等于 D. 恒等于4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，连接，由菱形的性质推出，，判定、是等边三角形，得到，，由，推出，由判定，得到，于是得到，关键是由菱形的性质推出． 【详解】解：连接BD， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，根据比例性质即可求解，解题的关键是正确理解比例的性质． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12. 如图，某小区有一块长为15米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．设人行通道的宽度为x米，则所列方程是____________________________________． 【答案】 【解析】 【分析】设人行通道的宽度为x米，利用“平移法”将两块矩形绿地合在一起，则长为，宽为，即可列出方程．审清题意，根据面积正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：若设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为，宽为，由已知得：． 故答案为： 13. 书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，，，， ∵矩形∽矩形， ∴， ∴ ， 解得， 【点睛】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 14. 如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了整式乘法与图形面积，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积以及用平方差公式求解．根据正方形面积为，得出正方形边长为，将阴影部分面积根据三角形面积公式表示出来可得，即可求解． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴正方形边长为， 设正方形边长为x，则， ∴，， ∵阴影部分面积为， ∴， 整理得：， ∴，解得：， ∴正方形面积为． 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，，点E在对角线上，且不与A，C重合，过点E作于点F，于点G，连接，，①．②若 ，则 ．③．④的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是________________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】由正方形的性质得 ，，由勾股定理求解，即可判断①；连接交于，由正方形的性质得，由勾股定理得，即可判断②； 连接，由矩形的判定方法得四边形是矩形，由矩形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质即可判断③； 当时，的值最小，此时，即可判断④； 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ，故①正确； 如图，连接交于， 四边形是正方形， ， ， ， ，故②不正确； 如图，连接， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中 ， （）， ， ，故③正确； 当时，的值最小， 此时， 四边形是正方形， ， ， ， 的最小值为；故④正确； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，垂线段最短，化为最简二次根式等；掌握相关的判定方法及性质，找出取得最值的条件是解题的关键． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）方程化为一般形式，利用公式法解方程即可； （2）变形后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ∴， 则， ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 则， ， 整理得，， ∴或， 解得 17. 2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）概率公式：； （2）画树状图求概率． 【小问1详解】 解：恰好抽到B（滑板）的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的结果数为2， ∴体育老师抽到的两张卡片恰好是A（冰壶）和C（匹克球）的概率为：． 18. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 19. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） （1）若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 （3） 解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 【解析】 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【小问1详解】 解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； 【小问3详解】 略 20. 如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m，搅拌棍A到底端D处的长度为，最后测量出桶的高为，圆桶内壁的底面直径为．已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π） 【答案】桶内所装液体的体积为立方米． 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据油面和桶底是一组平行线，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用圆柱的体积公式计算即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， ，解得：， ∴桶内所装液体的体积（立方米）． 答：桶内所装液体的体积为立方米． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为每个50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 【小问1详解】 解： 设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个50元． 22. 定义：对于一个凸四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中正四边形”． （1）概念理解：下列四边形中一定是“中正四边形”的是______ ； A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）性质探究：如图，四边形是“中正四边形”，观察图形，直接写出关于四边形对角线的两条结论； （3）问题解决：如图，为锐角三角形，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，，求证：四边形是“中正四边形”． 【答案】（1）D （2）①，② （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中正四边形的概念得出结论即可； （2）根据三角形中位线的性质得出结论即可； （3）先根据三角形中位线的性质证四边形是平行四边形，再证≌，得出四边形是菱形，然后得出四边形是正方形即可得证结论． 【小问1详解】 平行四边形的“中点四边形”仍然是平行四边形，矩形的“中点四边形”是菱形，菱形的“中点四边形”是矩形，正方形的“中点四边形”是正方形， 根据中正四边形的概念知，正方形的“中点四边形”一定是“中正四边形”， 故答案为：； 【小问2详解】 性质探究：四边形是“中正四边形”， 四边形是正方形， ，且， 且，且， ，； 【小问3详解】 问题解决：如图，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于， 四边形各边中点分别为、、、， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，，，， ，，，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形都是正方形， ，，， 又， ， 即， 在和中， ， ≌， ，， 又，， ， 是菱形， ， ， 又，， ， ， 又，， ， 菱形是正方形， 即原四边形是“中正四边形”． 【点睛】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形与正方形的判定等知识是解题的关键． 23. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，李老师发给每名同学一个菱形纸片，，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 问题发现：奋进小组在边上取一点E，连接，将这个纸片沿翻折，点A的对应点为F，如图1所示． 如图2，小明发现，当点F落在边上时，． 如图3，小红发现，当点E是的中点时，连接，若已知和的长，则可求的长． 问题提出与解决：奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答． 问题1：在菱形中，，点E是边上一点，将沿翻折得到． （1）如图2，当点F在边上时，求证：． （2）如图3，当点E是的中点时，连接，若，，求的长． 拓展延伸：小刚受到探究过程的启发，将改为锐角；尝试画图，并提出问题2，请你解答． 问题2：如图4，点D是外一点，，，，求的长． 【答案】 （1）证明：将沿翻折得到， ， ， ， ∵四边形是菱形， ∴， ， ， ； （2）； 拓展延伸：如图2，． 【解析】 【分析】问题1， （1）由，得出结论； （2）作于，作于H，根据等腰三角形的性质得出，进而得出的值，可证得，从而，，进而在中求得，进一步得出结果； 问题2， 连接，作于，作，交的延长线于，可证得四边形是矩形，从而，，在中求得，进而求得，进而在中求得，从而得出，进而在中求得的值，进一步得出结果． 【详解】问题1， （1）略 （2）解：如图， 作于，作于H， ， 由折叠得， ，， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得，， ； 问题2， 解：连接，作于，作，交的延长线于， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，矩形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期随堂练习九年数学（二）北师大 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下面几对图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程没有实数根，则实数的值可以为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 每年8月8日是我国全民健身日，据有关部分统计，某市民8月份第一周人均运动时长为4小时，第三周人均运动时长为4.84小时，若设人均运动时长周平均增长率为x，依题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量n/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量m/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率 (精确到) 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为（ ）(结果精确到0.01) A. B. C. D. 9. 如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（ ） A. 逐渐增加 B. 先减小再增加 C. 恒等于 D. 恒等于4 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若，则_________． 12. 如图，某小区有一块长为15米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．设人行通道的宽度为x米，则所列方程是____________________________________． 13. 书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为___________ 14. 如图，四边形、均为正方形，其中正方形面积为，若图中阴影部分面积为，则正方形面积为______． 15. 如图，在正方形中，，点E在对角线上，且不与A，C重合，过点E作于点F，于点G，连接，，①．②若 ，则 ．③．④的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是________________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 2025年我县冬季运动会新增了四个项目：冰壶，滑板，匹克球，蹦床，依次记为．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在县运会中的得分标准，恰好抽到B（滑板）的概率是_____； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（冰壶）和（匹克球）的概率． 18. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 19. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） （1）若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 20. 如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m，搅拌棍A到底端D处的长度为，最后测量出桶的高为，圆桶内壁的底面直径为．已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π） 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 22. 定义：对于一个凸四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中正四边形”． （1）概念理解：下列四边形中一定是“中正四边形”的是______ ； A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 （2）性质探究：如图，四边形是“中正四边形”，观察图形，直接写出关于四边形对角线的两条结论； （3）问题解决：如图，为锐角三角形，以的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，，求证：四边形是“中正四边形”． 23. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，李老师发给每名同学一个菱形纸片，，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 问题发现：奋进小组在边上取一点E，连接，将这个纸片沿翻折，点A的对应点为F，如图1所示． 如图2，小明发现，当点F落在边上时，． 如图3，小红发现，当点E是的中点时，连接，若已知和的长，则可求的长． 问题提出与解决：奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答． 问题1：在菱形中，，点E是边上一点，将沿翻折得到． （1）如图2，当点F在边上时，求证：． （2）如图3，当点E是的中点时，连接，若，，求的长． 拓展延伸：小刚受到探究过程的启发，将改为锐角；尝试画图，并提出问题2，请你解答． 问题2：如图4，点D是外一点，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $