精品解析： 湖南省岳阳市平江县启明中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

2023-2024学年湖南省岳阳市平江县启明中学九年级（上）期中 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列不是关于的反比例函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的三种常见形式为：(为常数，)、(为常数，)、(为常数，)．关键是将各选项的式子与反比例函数的形式进行对比，判断是否符合，同时注意区分正比例函数与反比例函数的形式差异． 【小问1详解】 解：根据反比例函数的定义，一般地，形如(为常数，)的函数叫做反比例函数，其等价形式为()或()． 选项A：可变形为，符合()的形式，是反比例函数； 选项B：符合正比例函数()的形式，不是反比例函数； 选项C：两边除以()得，符合反比例函数的形式，是反比例函数； 选项D：可变形为，符合()的形式，是反比例函数； 故选：B． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，1，5 B. 2，1， C. 2，0， D. 2，0，5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，1，． 故选：B． 3. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与系数的关系，解题的关键在于熟知对于反比例函数，当时，反比例函数图象位于第一、三象限，当时，反比例函数图象位于第二、四象限． ． 4. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：在反比例函数中，， 此函数图象在二、四象限， ， 点，在第二象限， ，， 函数图象在第二象限内为增函数，， ． ，点在第四象限， ， ，，的大小关系为． 故选：C． 【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单． 5. 关于的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设方程的一个根，另一个根为，再根据根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：设方程的一个根，另一个根为，根据题意得： ， 将代入，得， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系，，是一元二次方程的两个根，则，． 6. 如图，在中，若，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件得出，根据相似三角形的性质得出，代入数据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 7. 把写成比例式，写错的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质及应用，解题的关键是利用“比例式中两内项之积等于两外项之积”，将每个选项的比例式转化为乘积式，与已知条件对比，判断其正确性． 根据比例基本性质，对每个选项分别计算“两内项之积”和“两外项之积”；若积等于，则该比例式正确；若积不等于，则该比例式错误． 【详解】解：根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，逐一分析选项： A、对于，内项为和，外项为和，则内项积，外项积； ∵， ∴此比例式正确，该选项不符合题意． B、对于，内项为和，外项为和，则内项积，外项积； ∵， ∴此比例式正确，该选项不符合题意． C、对于，内项为和，外项为和，则内项积，外项积； ∵， ∴此比例式正确，该选项不符合题意． D、对于，内项为和，外项为和，则内项积，外项积； 不一定相等 ∴此比例式错误，该选项符合题意． 故选：D． 8. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 9. 等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1＋m＝0的两根，则m的值为（ ） A. 15 B. 16 C. 15或17 D. 16或17 【答案】D 【解析】 【分析】分3为底边长或腰长两种情况考虑：当3为底时，由a=b及a+b=8即可求出a、b的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系即可求得的值；当3为腰时，则a、b中有一个为3，a+b=8即可求出b，再利用根与系数的关系即可求得的值． 【详解】①当3为底时，由a=b， a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1＋m＝0的两根， ， ， ， 解得； ②当3为腰时，则a、b中有一个为3，设， ， ， ， 解得， 综上所述，或者． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键． 10. 如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10米的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设米，米，则下列说法正确的是（ ） A. y关于x的函数关系式为 B. 自变量x的取值范围为，且y随x的增大而减小 C. 当时，x的取值范围为 D. 当为3米时，长为6米 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得y关于x的函数关系式为，利用反比例函数的图象和性质逐项判断即可得出答案． 【详解】解：根据矩形园子的面积为可知， ，故A选项错误，不合题意； 由题意可知自变量x的取值范围为，且y随x的增大而减小，故B选项正确，符合题意； 当时，，解得，又， x的取值范围为，故C选项错误，不合题意； 当为3米时，米，故D选项错误，不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若点(3，5)在反比例函数的图象上，则k＝__________. 【答案】15 【解析】 【分析】把点(3，5)代入反比例函数解析式进行求解即可. 【详解】∵点(3,5)在反比例函数上， ∴， ∴， 故答案为15. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定符合反比例函数的解析式是解题的关键. 12. 如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则_______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：∵点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3， ∴S1+S2=3+3-1×2=4． 故答案为：4 13. 关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的定义和根的情况，掌握一元二次方程的定义和根的个数与判别式的关系是解决此题的关键，根据一元二次方程的条件和根的情况列不等式即可． 【详解】解：根据题意：且， 解得：且， 故答案为：且． 14. 已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于__________． 【答案】7 【解析】 【分析】利用根于系数的关系解题即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为为：． 【点睛】本题考查根于系数的关系，掌握根于系数的关系是解题的关键． 15. 黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为的黄金分割点，如果的长度为，则的长度为______．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割的定义，熟记黄金比是解题的关键．根据黄金分割的定义可知：，由此求解即可． 【详解】为的黄金分割点，， ， ． 故答案为：． 16. 如图所示，在中，，于D，下列四个结论中：①；②；③；④．其中正确的有_________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由垂线的定义结合同角的余角相等可推出，故②正确；因为不确定，故不一定成立，故①错误；证明即可推出，故③正确；证明，即可推出，故④正确． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，故②正确； 当时，， ∵不确定， ∴①错误； ∵，， ∴， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∴，即，故④正确． 综上可知正确的为②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查垂线的定义，同角的余角相等，相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 选择合适的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 两边开方，得， ，； 【小问2详解】 解： 因式分解，得， ∴或， 解得，． 18. “瞎转圈”现象指人蒙上眼睛后行走的是一个圆圈，圆圈的半径是其两腿迈出的步长差的反比例函数． （1）求R与d的函数表达式； （2）若小王蒙上眼睛走出的圆圈半径不小于35m，求他两腿迈出的步长差d的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意，结合图形求出函数关系式是解题的关键． （1）设R与d的函数表达式为，把代入，求出k即可得到解析式． （2）当时，即，求出d的范围即可． 【小问1详解】 解：设R与d的函数表达式为， ， ， ∴与d之间的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，即 ∴，又， ∴． ∴两腿迈出的步长之差d的范围是． 19. 已知：，且，求、、的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】由，可设，，，代入求得k的值，即可得到、、的值． 【详解】解：由，可设，，， ， ， ， ，， ，，． 【点睛】此题考查了比例，根据题意设，，是解题的关键． 20. 如图，在中，D为上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ， ， ， ． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两个根分别为，且满足，求实数m的值． 【答案】（1）实数m的取值范围是； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得根的判别式，据此得到不等式求解即可； （2）由根与系数的关系可得；然后代入求出m的值即可． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴，整理得，解得， ∴实数m的取值范围是； 【小问2详解】 解：由两根关系得， ∵， ∴， 整理得： 解得：（不符合要求，舍去）或， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 22. 某商场在2023年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． （1）国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少? （2）国庆节过后，该商场商品还有库存，为了尽快销售完这批商品，再次降价，当售价降为每件150元时，每天可售出10件．经过市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品共获利500元，则这天该商场商品在每件150元的基础上降价多少元？ 【答案】（1）商场对商品平均每次每次降价的百分率为 （2）这天商场对商品在每件150元的基础上降价20元 【解析】 【分析】（1）设商场对商品平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （2）设这天商场在每件150元的基础上降价元，根据“商场某天销售商品共获利500元”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设商场对商品平均每次降价的百分率为， 由题意得： 解得：，（舍去）， ， 答：商场对商品平均每次每次降价的百分率为； 【小问2详解】 解：设这天商场在每件150元的基础上降价元， 由题意得：， 解得：， 为了尽快销售完这批商品， ， 答：这天商场对商品在每件150元的基础上降价20元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先利用点B在直线上求出点B的横坐标m，再将点B坐标代入反比例函数求k，进而得到解析式； （2）先联立直线与反比例函数解析式求点A坐标，再根据三角形面积关系求出点P的纵坐标，最后代入反比例函数求横坐标； （3）通过观察函数图象，确定直线在反比例函数下方时x的取值范围． 【小问1详解】 解：点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； 又，即， 所以， 故点纵坐标为4或． 将代入得，． 将代入得，． 所以点的坐标为或． 【小问3详解】 结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质及其交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用图象解不等式．利用已知条件通过代数运算求解未知参数是解题的关键． 24. 把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用.如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即． 所以，所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_____________； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； （3）若代数式，试求N的最大值． 【答案】（1） （2），2 （3）17 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式求解； （2）利用配方法求最小值； （3）先对式子进行配方化成完全平方式，求出最大值即可． 【小问1详解】 解：∵， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， 其中，， 的最小值是2； 故答案为：2． 【小问3详解】 解： ， 的最大值是17． 【点睛】本题主要考查完全平方式的变换，根据式子进行变换化成完全平方式是解题的关键. 25. 如图，在中，， ．如果点P由B出发沿向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿向点C匀速运动．已知点P的速度为，点Q的速度为．连接，设运动的时间为t（单位：）． （1）求，的长； （2）当t为何值时，的面积为面积的； （3）当t为何值时，与相似． 【答案】（1）， （2）1或； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用正弦和勾股定理可求出、的长； （2）的面积为面积的，则需要把两个三角形的面积表示出来，过点P作于点E，能够推出，能够用t表示出的面积，从而得到一个关于t的方程，解就为t值； （3）由问题中看不出相似的对应定点，故此题应分类讨论，但C与A不可能是对应顶点，所以分两种情况：①当时，根据相似对应边成比例可求出t值，②当，根据相似对应边成比例可求出t值． 【小问1详解】 解：∵在中，， ， ∴，； 【小问2详解】 解：过点P作于E．由已知可知：，， 则． 由可得：， ∴． ∴的面积， 解得：或． 【小问3详解】 解：①当时，， ∴，即， 解得． ∴当时，与相似． ②当时， ∵，， ∴， ∴，即，解得． ∴当时，与相似． 综上所述：当或时，与相似． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角函数、相似三角形的性质和一元一次方程和一元二次方程的应用等，牢固掌握以上知识点并灵活应用是做出本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年湖南省岳阳市平江县启明中学九年级（上）期中 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列不是关于的反比例函数的是( ) A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2，1，5 B. 2，1， C. 2，0， D. 2，0，5 3. 若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　　） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的一个根是，则方程的另一个根为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 6. 如图，在中，若，则的长是（　　） A. B. C. D. 7. 把写成比例式，写错的是( ) A. B. C. D. 8. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1＋m＝0的两根，则m的值为（ ） A. 15 B. 16 C. 15或17 D. 16或17 10. 如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10米的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设米，米，则下列说法正确的是（ ） A. y关于x的函数关系式为 B. 自变量x的取值范围为，且y随x的增大而减小 C. 当时，x的取值范围为 D. 当为3米时，长为6米 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若点(3，5)在反比例函数的图象上，则k＝__________. 12. 如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则_______． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________． 14. 已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于__________． 15. 黄金分割大量应用于艺术、大自然中，例如树叶的叶脉也蕴含着黄金分割．如图，B为的黄金分割点，如果的长度为，则的长度为______．（结果保留根号） 16. 如图所示，在中，，于D，下列四个结论中：①；②；③；④．其中正确的有_________． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 选择合适的方法解方程： （1）； （2）． 18. “瞎转圈”现象指人蒙上眼睛后行走的是一个圆圈，圆圈的半径是其两腿迈出的步长差的反比例函数． （1）求R与d的函数表达式； （2）若小王蒙上眼睛走出的圆圈半径不小于35m，求他两腿迈出的步长差d的范围． 19. 已知：，且，求、、的值． 20. 如图，在中，D为上一点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两个根分别为，且满足，求实数m的值． 22. 某商场在2023年国庆期间进行促销活动，商品每件进价120元，国庆前售价为每件200元． （1）国庆期间经过两次降价后，售价为每件162元，求国庆期间商场对商品平均每次降价的百分率是多少? （2）国庆节过后，该商场商品还有库存，为了尽快销售完这批商品，再次降价，当售价降为每件150元时，每天可售出10件．经过市场调研发现，商品售价每降低1元，每天可以多卖出2件．商场某天销售商品共获利500元，则这天该商场商品在每件150元的基础上降价多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 24. 把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用.如利用配方法求最小值，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即． 所以，所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_____________； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； （3）若代数式，试求N的最大值． 25. 如图，在中，， ．如果点P由B出发沿向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿向点C匀速运动．已知点P的速度为，点Q的速度为．连接，设运动的时间为t（单位：）． （1）求，的长； （2）当t为何值时，的面积为面积的； （3）当t为何值时，与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $