精品解析：广东省汕尾市河城中学2024—2025学年上学期九年级10月月考数学试题

河城中学2024─2025第一学期九年级第一次阶段考试 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 方程（a﹣2）x2+ax+b＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A. a≠0 B. a≠2 C. a＝2 D. a＝0 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. ， C. ， D. 3. 已知抛物线过、和三点，那么、、的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 下列关于x的方程中一定没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 由于受禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤12元连续两次降价后售价下调到每斤5元，下列所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线y＝x2+1的对称轴是（ ） A. 直线x＝﹣1 B. 直线x＝1 C. 直线x＝0 D. 直线y＝1 8. 二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（　　） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线经过点（2，3） C. 抛物线的对称轴是直线x=1 D. 抛物线与x轴有两个交点 9. 方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别为（ ） A. 6，2，9 B. 2，，9 C. 2，， D. ，6， 10. 三角形边长分别为6和5，第三边是方程的解，则此三角形的周长是（　　） A. 15 B. 13 C. 15或13 D. 15或17 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 方程的根为__________ 12. 方程（x+5）（x﹣7）＝﹣26，化成一般形式是_____，其二次项的系数和一次项系数的和是_____． 13. 写出一个开口向上的抛物线的解析式___________． 14. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为________． 15. 已知都在函数图象上，则的大小关系为_______（用“＜”连接）． 16. 抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于点A、B，则AB＝_____． 三、解答题（一）解下列一元二次方程．（每小题7分，共21分） 17. 解方程：． 18. 解方程：． 19. 解方程：． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 20. 已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 21. 已知函数，求这个二次函数图像的开口方向，顶点坐标和对称轴． 22. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料． （1）设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2． （2）当BC为何值时，矩形ABCD的面积有最大值？并求出最大值． 五、解答题（三）（每小题12分，共24分） 23. 已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 4 … y … 10 1 ﹣2 1 25 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)写出这个二次函数图象的顶点坐标． 24. 如图，抛物线经过、、三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河城中学2024─2025第一学期九年级第一次阶段考试 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 方程（a﹣2）x2+ax+b＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A. a≠0 B. a≠2 C. a＝2 D. a＝0 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到a-2≠0，由此求得a的取值范围． 【详解】解：依题意得：a﹣2≠0， 解得a≠2． 故选B． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. ， C. ， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法求解可得． 【详解】解：， 或， 解得，， 故选：B 3. 已知抛物线过、和三点，那么、、的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】将、和三点代入抛物线过,利用待定系数法求得该抛物线的解析式. 【详解】 ， 解得，. 所以D选项是正确. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式.解答该题时,借用了二次函数图象上的点的坐标特征,经过图象上的某点一定在该函数图象上，熟悉掌握是关键. 4. 下列关于x的方程中一定没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据根的判别式的概念,求出△的正负即可解题. 【详解】解: A. x2-x-1=0,△=1+4=50,∴原方程有两个不相等的实数根, B. , △=36-144=-1080,∴原方程没有实数根, C. , , △=10,∴原方程有两个不相等的实数根, D. , △=m2+80,∴原方程有两个不相等的实数根, 故选B. 【点睛】本题考查了根的判别式,属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键. 5. 用配方法解方程下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．两边配上一次项系数一半的平方即可得． 【详解】解：， ，即， 故选：C 6. 由于受禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降．由原来每斤12元连续两次降价后售价下调到每斤5元，下列所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降低的百分率），把相应数值代入即可求解． 【详解】解：第一次降价后的价格为，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低， 为，则列出的方程是， 故选：B 7. 抛物线y＝x2+1的对称轴是（ ） A. 直线x＝﹣1 B. 直线x＝1 C. 直线x＝0 D. 直线y＝1 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线解析式可直接求得答案． 【详解】解：∵抛物线y=x2+1， ∴抛物线对称轴为直线x=0，即y轴， 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）． 8. 二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（　　） A. 抛物线开口向下 B. 抛物线经过点（2，3） C. 抛物线的对称轴是直线x=1 D. 抛物线与x轴有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对选项A、选项C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对选项B进行判断；利用方程解的情况对选项D进行判断． 【详解】解：A、a＝2，则抛物线的开口向上，故A选项错误； B、当x＝2时，，则抛物线不经过点（2，3），故B选项错误； C、抛物线的对称轴为直线x＝0，故C选项错误； D、当y＝0时，，此方程中，因此此方程有两个不相等的实数解，所以抛物线与x轴有两个交点，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的性质 ，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识． 9. 方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别为（ ） A. 6，2，9 B. 2，，9 C. 2，， D. ，6， 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的标准形式求解即可． 【详解】∵方程， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：B． 10. 三角形边长分别为6和5，第三边是方程的解，则此三角形的周长是（　　） A. 15 B. 13 C. 15或13 D. 15或17 【答案】C 【解析】 【分析】先求解一元二次方程，再利用构成三角形的条件及三角形的周长即可求解． 【详解】解：， 解得：，， ，且， 6、5、2能构成三角形， ，且， 6、5、4能构成三角形， 三角形的周长是或， 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、构成三角形的条件及三角形的周长，熟练掌握构成三角形的条件是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 12. 方程（x+5）（x﹣7）＝﹣26，化成一般形式是_____，其二次项的系数和一次项系数的和是_____． 【答案】x2﹣2x﹣9=0；﹣1． 【解析】 【详解】试题分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． ①由方程（x+5）（x﹣7）=﹣26，得 x2﹣2x﹣35=﹣26， 即x2﹣2x﹣9=0； ②x2﹣2x﹣9=0的二次项系数是1，一次项系数是﹣2， 所以其二次项的系数和一次项系数的和是1+（﹣2）=﹣1； 故答案为x2﹣2x﹣9=0；﹣1． 考点：一元二次方程的一般形式． 13. 写出一个开口向上的抛物线的解析式___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，二次项系数大于0时，函数图象的开口向上，写出即可． 【详解】解：根据题意得：抛物线的开口向上． 故答案为：（答案不唯一，只要二次项系数为正数即可）． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，是开放型题目，答案不唯一． 14. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．设共有x个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 【详解】赛制为双循环形式，每个队都要和其他队赛两场，则比赛总场数为场， 已知共比赛90场， 所以． 故答案为：． 15. 已知都在函数图象上，则的大小关系为_______（用“＜”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】把各点的横坐标代入函数解析式求出函数值，即可得解． 【详解】解：x=时，y1=（-1）2=1， x=2时，y2=22=4， x=时，y3=（-3）2=9， ∴y1＜y2＜y3． 故答案为：y1＜y2＜y3． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，准确计算求出各函数值是解题的关键． 16. 抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于点A、B，则AB＝_____． 【答案】1． 【解析】 【分析】先解方程x2-3x+2=0得到交点A、B的坐标为（1，0），（2，0），然后计算两交点间的距离． 【详解】解：当y=0时，x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2， 所以抛物线y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标为（1，0），（2，0）， 所以AB=2-1=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． 三、解答题（一）解下列一元二次方程．（每小题7分，共21分） 17. 解方程：． 【答案】x1=3+，x2=3﹣ 【解析】 【分析】先把-4移到方程的右边，然后方程两边都加9，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，然后两边同时开平方即可. 【详解】解：移项得x2﹣6x=4， 配方得x2﹣6x+9=4+9， 即（x﹣3）2=13， 开方得x﹣3=±， ∴x1=3+，x2=3﹣ 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 ∴ 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 19. 解方程：． 【答案】. 【解析】 【分析】根据公式法即可解出一元二次方程. 【详解】解：因为 所以 代入公式，得 所以原方程的根为. 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 20. 已知是关于的一元二次方程的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】；另一个根是 【解析】 【分析】由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值，然后根据根与系数的关系可以求出方程的另一根． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， 设另一个根为，则， ∴， ∴的值是，另一个根是． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，将一根代入原方程，转化为关于m的方程，解出m的值,再根据根与系数的关系求出另一根． 21. 已知函数，求这个二次函数图像的开口方向，顶点坐标和对称轴． 【答案】开口方向向上，顶点坐标是，对称轴直线为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，二次函数的性质，熟练掌握配方法的操作以及根据顶点式形式写出对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．根据配方法的操作将二次函数一般式化为顶点式，根据大于0确定出抛物线开口向上，根据顶点式解析式写出顶点坐标和对称轴． 【详解】解：， 因为， 所以该抛物线的开口方向向上， 由，知抛物线的顶点坐标是，对称轴直线为． 22. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料． （1）设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2． （2）当BC为何值时，矩形ABCD的面积有最大值？并求出最大值． 【答案】 (1)设AB为xm，则BC为（50-2x）m， x（50-2x）=300， 解得，x1=10，x2=15， 当x1=10时50-2x=30＞25（不合题意，舍去）， 当x2=15时50-2x=20＜25（符合题意）， 答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米； (2) BC长为25米时，最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得到相应的一元二次方程，从而可解答本题；（2）根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后化为顶点式，注意求出的边长要符合题意． 【详解】（1）略 （2）设AB为xm，矩形花园的面积为ym2， 则y=x（50-2x）=-2（x-）2+， ∴x= 时，此时y取得最大值，50-2x=25符合题意，此时y=， 即当砌墙BC长为25米时，矩形花园的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 五、解答题（三）（每小题12分，共24分） 23. 已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 4 … y … 10 1 ﹣2 1 25 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)写出这个二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1） （2）（1，-2） 【解析】 【详解】解：（1）由题意得， ， 解得a =3，b = -6，c=1． ∴ 这个二次函数的解析式是． （2）∵y=3x2-6x+1=3（x-1）2-2， ∴顶点坐标是(1，－2) ． 24. 如图，抛物线经过、、三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，四边形周长的最小值为9 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题． （1）设交点式为，然后把点坐标代入求出，于是得到抛物线解析式为； （2）先确定抛物线的对称轴为直线，连接交直线于点，如图，利用对称性得到，所以，根据两点之间线段最短得到最短，于是可判断此时四边形的周长最小，然后计算出，再计算即可． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为，即； 【小问2详解】 存在． 因为、， 所以抛物线的对称轴为直线， 连接交直线于点，如图，则，，此时最短， 所以此时四边形的周长最小， 因为， 所以四边形周长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $