精品解析：江苏省南京市玄武区南京外国语学校2024-—2025学年九年级上学期10月数学阶段练习

初三年级数学学科阶段练习 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程定义，掌握一元二次方程式是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程是解题的关键，根据一元二次方程的定义即可得出结果． 【详解】A．中有2个未知数， 不是一元二次方程，故A错误， B．中有1个未知数，当时，未知数的最高次数是一次， 不一定是一元二次方程，故B错误， C．中有1个未知数，且未知数的最高次数是二次， 是一元二次方程，故C正确， D．中有2个未知数， 不是一元二次方程，故D错误， 故选：C． 2. 一组数据5，6，6，x，7，8，9的平均数是7，则中位数是（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平均数和中位数的计算，根据“平均数一组数据的总和这组数据的个数”求出这组数据的总和，然后用加法求出x的值，再根据中位数的求法求出这组数据的中位数. 【详解】解：∵， 解得：， ∴这列数排列为：5，6，6，7，8，8，9， 中位数为：7， 故选C 3. 某款手机上市时的售价为2000元，半年内经过两次降价后售价降到1620元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据该款手机上市时的售价及半年内经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，邻补角是解题的关键．如图2，连接，则，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5. 为了解全班学生的身高情况，王老师测量了班上在场学生的身高，经计算后发现男生的平均身高是，女生的平均身高是，当天有两名学生缺课．第二天这两名学生均到校上课，老师也测量了他们的身高．有趣的是，重新计算后全班男、女生的平均身高都不变．下列说法正确的是（ ） A. 全班学生的平均身高不变 B. 缺课的两名学生身高相同 C. 若缺课的两名学生都是男生，则身高都是 D. 若缺课的学生是男、女生各一名，则男生身高，女生身高 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平均数，根据平均数的定义逐项分析即可得出答案，熟练掌握平均数的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵全班男、女生的平均身高都不变， ∴若缺课的学生是男、女生各一名，则男生身高，女生身高，故D正确，符合题意； 若缺课的学生两名都是男生或都是女生，则全班学生的平均身高都会发生变化，故A不符合题意； 若缺课的两名学生都是男生，则他们的平均身高是即可，但这两个男生的身高不一定都是，故C不符合题意； 若缺课的两名学生都是男生，则他们的平均身高是即可，若缺课的两名学生都是女生，则他们的平均身高都是，但缺课的两名学生的身高不一定相同，故B不符合题意； 故选：D． 6. 如图，在中，C是上一点，，过点C作弦交于E，若，则与满足的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，易得，进而得到，，利用外角的性质，得到，又，得到，即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的外角的性质．正确的识图，确定角之间的和差关系，是解题的关键． 二、填空题（每题2分，共20分） 7. 方程的根是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 将方程移项后因式分解，利用零乘积性质即可求解． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， 由零乘积性质，得或， ∴或． 故答案为：或． 8. 已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为___________（填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相切 【解析】 【分析】本题主要考查了直线和圆的位置关系，求出半径为6cm，再根据圆心到直线的距离可得答案． 【详解】根据题意可知半径，圆心到直线的距离， ∴， ∴直线和圆的位置关系是相切． 故答案为：相切． 9. 把方程配方后得到方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半，这样把方程左边变形为完全平方式．先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上，这样方程左边就为完全平方式． 【详解】解：原方程变形为：， 方程两边都加上，得， ∴． 故答案为：． 10. 如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质以及圆周角定理推论．熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，直径对的圆周角是直角，是解决问题的关键． 根据圆切线性质得到，得到，根据直径性质得到，得到． 【详解】解：∵与相切， ∴． 又∵， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． 故答案为：． 11. 小明同学用计算一组数据方差，那么________． 【答案】80 【解析】 【分析】根据方差的计算公式，即可得出这组数据的平均数为8，即可求出答案． 【详解】由可知： 这10个数据的平均数为8， 则， 故填：80． 【点睛】本题考查方差的计算公式，解题关键是掌握方差公式：一般地设n个数据的平均数为，则方差． 12. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为，则：，， 在中，， ∴， 解得：； ∴圆形工件的半径为． 故答案为： 13. 如图，圆内接四边形中，，连接，．则的度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 由题意知，，则，，进而可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则四边形周长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】根据正方形的性质，得到，，推出均为圆O的切线，根据切线长定理，推出，推出正方形的边长为4，设设，则，，勾股定理求出的值，再根据周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵以正方形的边为直径作半圆O， ∴，，， ∴均为圆O的切线， ∵过点C作直线切半圆于点F，交边于点E， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，， ∴四边形周长， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了正方形的性质、圆的切线判定、切线长定理、勾股定理等知识点，利用正方形的性质和圆的切线的判定得出均为圆O的切线是解题关键． 15. 如图，有一块矩形菜地，，，面积为，现将边增加，边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式以及一元二次方程的解法，由题意得， 根据题意列出关于的一元二次方程，根据求出的值即可求解，掌握一元二次方程根的判别式的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∵边增加，边增加，得到的矩形面积为， ∴， ∴， 整理得，， ∴， ∵有且只有一个的值使得到的矩形面积为， ∴， 即， ∴， 解得(不符合，舍去)或， 故答案为：． 16. 已知的半径为4，是上两定点，点A是上一动点，且，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点F．下列说法中正确的是______． ①的最大值是8；②点D为上一定点；③的最大值是；④与相交；⑤若为锐角三角形，则． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】①由圆周角定理可知，当在优弧的中点时，为最大值，即可得出结论， ②由的平分线交于点D，，可得，再由是上两定点即可得出结论， ③当时，最大，再由勾股定理求出高，即可求出面积得出结论， ④连接，根据平行线的性质和切线的定义，得出DF与相切，即可得出结论， ⑤分别求出时，，时，，即可得出为锐角三角形的范围． 【详解】解：①当在优弧的中点时， 为直径，值最大，最大值为，故①正确． ②的平分线交于点D，， ， ， 是上两定点， 点D为上一定点，故②正确． ③是上两定点， 的长度不变， 则当时，的高最大， 设与交于点，连接， ， ， ， ， ，， , ， ，故③不正确． ④连接， ， ， ， ， 为的半径， 为圆的切线，故④不正确． ⑤如图，与交于点，当时，为直径， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ， 如图，连接，，为直径， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 同理可得，， ， ， ， ， 若为锐角三角形，则，故⑤正确． 正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 三、解答题（共88分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4）无解 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法：公式法、因式分解法是解题的关键． （1）用因式分解法解方程即可， （2）用因式分解法解方程即可， （3）用公式法解方程即可， （4）用公式法解方程即可． 【小问1详解】 整理方程得， 因式分解得， 当时，， 当时，， 解得． 【小问2详解】 ， 整理方程得， 因式分解得， 当时，， 当时，， 解得． 【小问3详解】 ， ， ， 解得 【小问4详解】 ， ， ， 方程无解 18. 射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环） 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩制作如下尚不完整的统计表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 C 3.2 根据以上信息，解答下面的问题： （1）_____；_____；_____； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛．教练的理由是什么？ （3）若乙选手再射击第六次，命中的成绩是8环．则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会有何变化？（变大，变小或不变）并说明理由． 【答案】（1）8，8，9 （2） 教练选择甲参加射击比赛的理由是两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差小，即甲的成绩较稳定， 答：甲的成绩较稳定． （3） 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变小，理由如下： 由题可得，选手乙这6次射击成绩5，9，7，10，9，8的方差， ， 选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会变小． 【解析】 【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数，众数，方差与稳定性之间的关系，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据中位数，平均数，众数的定义求解即可； （2）二人平均成绩相同，但是甲的方差更小，即成绩更稳定； （3）根据方差计算公式求出选手乙再射击第6次后，6次成绩的方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题可得，； 甲的成绩7，8，8，8，9中，8出现的次数最多，故众数； 而乙的成绩5，7，9，9，10中，中位数； 故答案为：8，8，9； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：略． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，该方程有一个实数根为，求方程的另一个根和的值． 【答案】（1）； （2）方程另一根为，． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及判别式的运用： （1）根据该方程有两个不相等的实数根，得，代入数值化简计算，即可作答． （2）运用根与系数的关系：，代入数值化简计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 解得； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程有一个实数根为，设另一个根为， ∴ 解得； ∵ ∴解得． 20. 关于的方程 （1）方程有实数根，求的取值范围． （2）是否存在的值使得方程有两个根、且满足，若存在、请算出的值，若不存在、请说明理由． 【答案】（1） （2） 不存在，理由如下： 由（）可知，当且时，方程为一元二次方程且有实数根， 由根和系数的关系可得，，， ∵， ∴， 整理得，， 解得， ∵不在的取值范围内， ∴不存在的值使得方程有两个根、且满足． 【解析】 【分析】（）分和两种情况，利用一元二次方程根的判别式解答即可； （）根据（）所求的取值范围及一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； 本题考查了一元二次根的判别式及根和系数的关系，掌握一元二次根的判别式及根和系数的关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵当时，方程为，有实数根； 当时，， 解得； 综上，的取值范围； 【小问2详解】 略 21. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？ 【答案】衬衫的单价降了15元． 【解析】 【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设衬衫的单价降了x元．根据题意，得 （20+2x）（40﹣x）=1250， 解得：x1=x2=15， 答：衬衫的单价降了15元． 22. 如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，交于点F．连接并延长交于点E，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，则的半径是 ． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，勾股定理， （1）如图，连接，根据等边对等角得到，则可证明，再证明，即可证明，进而可证明是的切线； （2）根据得到，再由，在利用勾股定理建立方程求出半径即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ，即的半径是2. 23. 请用直尺与圆规按要求完成下列作图． （1）如图：已知两个半径不同的圆，请用不同的方法分别画出两个圆的直径． （2）请再画出一个圆使得它的面积等于已知两个圆面积的和 （3）请再画出一个圆使得它的周长等于已知两个圆周长和的倍． 【答案】（1） 方法一：如图所示，线段即为所求； 方法二：如图所示，线段即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（）方法一：画圆的一条弦，作弦的垂直平分线，与圆的交点构成的线段即为圆的直径；方法二：作圆周角，连接，则线段即为所求； （）分别作出两个圆的圆心，确定出两个圆的半径，再以为直角边作直角三角形，最后以斜边为半径画，可知的面积为，即等于已知两个圆面积的和； （）以为边长作等边，再作直角，与的延长线相交于点，最后以半径，点为圆心画，由三角形函数可知，可得的周长为，即的周长等于已知两个圆周长和的倍； 本题考查了作圆及圆的直径，掌握圆的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． （1）用含t的代数式表示 ； ； （2）当为何值时？ （3）在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 【答案】（1）t，； （2）当时，； （3） 的值不可能为5；理由如下： 由题意可得， ， 假设的值可能为5得， ，即， ∵， ∴方程无解， 故的值不可能为5． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列方程是解答的关键： （1）根据题意以及路程、速度和时间的关系求解即可； （2）利用三角形的面积公式列方程求解即可； （3）利用三角形的面积公式列方程，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可 【小问1详解】 解：∵点D从点C开始沿运动，速度为， ∴， ∵，点E从点B开始沿边运动，速度为， ∴， 故答案为：t，； 【小问2详解】 解：由题意可知，t的最大值为，即， ∵，， ∴， 由题意可知，，，，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴当时，； 【小问3详解】 解：略． 25. 如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． （1）求证：点是的内心； （2）如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【答案】（1） 证明：中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， 点是的内心； （2）． 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，再根据平分得，进而可求出，则，由此得平分，然后根据三角形内心的定义可得出结论； 连接，，，，，依题意得，，在同一条直线上，且，，，由此得，则，在中由勾股定理可求出，则；根据三角形内心性质得，再根据可求出，由此可得的内心与外心的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，，，，如图所示： 是等腰三角形，点是内心，点是外心 ，，在同一条直线上，且，， ， 在中，，， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 点为的内心，，，为切点， ， ， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径；的内心与外心的距离． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内心和外心的定义及性质是解决问题的关键． 26. 是的两条弦，且． （1）如图，若弦的延长线相交于点，求证： 小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为． 小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接． 小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接． 请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明． （2）如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长． （3）如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值． 【答案】（1） 证明：小明同学：过点作，，垂足为，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 小华同学：连接，则由圆周角定理得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴； 小刚同学：连接， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 即， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（）小明同学：过点作，，垂足为，连接，由弦、弧、圆心角、弦心距的关系可得，进而可得，得到，再根据垂径定理得，进而即可求证； 小华同学：连接，则由圆周角定理得，由弦、弧、圆心角的关系可得，进而得，得到，再证明即可求证； 小刚同学：连接，同理小华同学证明，再根据圆周角定理得到即可求证； （）连接，过点作交于点，则，由过点，可得点与点关于对称，即得，再根据勾股定理即可求解； （）连接，先证明四边形是正方形，过点作直线于，交折叠后于点，交折叠前于点，交于点，则，由图可知线段的长为出折叠后上的一点到最小值，利用正方形的性质和勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过点作交于点，则，， ∵过点， ∴点与点关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点三点共线，点三点共线，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， 过点作直线于，交折叠后于点，交折叠前于点，交于点，则，由图可知线段的长为出折叠后上的一点到最小值， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ 由正方形性质可得，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， 根据折叠可知，， ∴， ∴， ∴折叠后上的一点到最小值为． 【点睛】本题考查了弦、弧、圆心角的关系，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 27. 阅读：转化是解决数学问题重要的思想方法，如图：在中，，我们知道，当我们遇到含有的直角三角形时，我们可以利用转化的数学思想和等腰三角形的知识来解决（如下示意图），这也是学习数学的一种美． 下面就请你利用上述阅读材料，解决下面问题： （1）如图，在平面直角坐标系中，点，若将直线绕着点A逆旋转得直线，其中点C在x轴，则______．点C坐标______． （2）若与相切、则点（在内部）的轨迹是______，若与三边均相切，求出的半径．（分母不必有理化但不可出现双重根号） （3）若与相切、且半径为，现将x轴绕着点B逆时针旋转，旋转角为，请分析旋转后的x轴与的位置关系并直接写出对应的取值范围．（不必写解答步骤） 【答案】（1）； （2）点在的角平分线上， （3） 当或时，旋转后的x轴与圆相离， 当或时，旋转后的x轴与圆相切， 当时，旋转后的x轴与圆相交． 【解析】 【分析】（1）根据正切函数的定义，求出，即可得出结论，在轴上取一点，使，连接，构建等腰三角形，设，，，根据列方程求解即可． （2）根据角平分线的性质可知点在的角平分线上，再等腰直角三角形、直角三角形的边长关系，根据，列方程得，即可求内切圆的半径． （3）先确定过点B与相切的直线位置，再根据图形结合直线与圆的位置关系分析即可． 【小问1详解】 ， ， ， 在轴上取一点，使，连接， 由直线AB绕着点A逆旋转45°得直线， 可知， ， ， ， ， 设，则，， ∵，即， ∴， 点C坐标为． 【小问2详解】 与相切， 圆心到的距离相等， 点在的角平分线上， 当与三边均相切时， 所以是的角平分线， ∵，， ∴，， 如图：与相切于，设的半径为，即， ∴， ∴， 在上取一点K，使， ∴， ∴， ∴，， ∵，即：， ∴ 【小问3详解】 如图：与相切于，在上取一点K，使， ∵ ∴， ∵的半径为，即， ∴， ∵，由(2)得， ∴。 ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴ ∴， 过点B作与相切与异于点H的一点， ∴， ∴， ∴， ∴当或时，旋转后的x轴与圆相离， 当或时，旋转后的x轴与圆相切， 当时，旋转后的x轴与圆相交． 【点睛】本题主要考查旋转的概念，正切函数的定义，勾股定理，三角形内切圆等知识点，掌握三角形内切圆的等面积法求半径是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学学科阶段练习 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 一组数据5，6，6，x，7，8，9的平均数是7，则中位数是（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 8 3. 某款手机上市时的售价为2000元，半年内经过两次降价后售价降到1620元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图2，筒车与水面分别交于点，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，是的直径，连接，点M在的延长线上，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 为了解全班学生的身高情况，王老师测量了班上在场学生的身高，经计算后发现男生的平均身高是，女生的平均身高是，当天有两名学生缺课．第二天这两名学生均到校上课，老师也测量了他们的身高．有趣的是，重新计算后全班男、女生的平均身高都不变．下列说法正确的是（ ） A. 全班学生的平均身高不变 B. 缺课的两名学生身高相同 C. 若缺课的两名学生都是男生，则身高都是 D. 若缺课的学生是男、女生各一名，则男生身高，女生身高 6. 如图，在中，C是上一点，，过点C作弦交于E，若，则与满足的数量关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题2分，共20分） 7. 方程的根是________． 8. 已知圆的直径为，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系为___________（填“相交”、“相切”或“相离”）． 9. 把方程配方后得到方程______． 10. 如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为______． 11. 小明同学用计算一组数据方差，那么________． 12. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为__________． 13. 如图，圆内接四边形中，，连接，．则的度数是_______． 14. 如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为12，则四边形周长为______． 15. 如图，有一块矩形菜地，，，面积为，现将边增加，边增加，有且只有一个的值，使得到的矩形面积为，则的值是______． 16. 已知的半径为4，是上两定点，点A是上一动点，且，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点F．下列说法中正确的是______． ①的最大值是8；②点D为上一定点；③的最大值是；④与相交；⑤若为锐角三角形，则． 三、解答题（共88分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 18. 射击训练班中的甲、乙两名选手在5次射击训练中的成绩依次为（单位：环） 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 教练根据他们的成绩制作如下尚不完整的统计表： 选手 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 0.4 乙 9 C 3.2 根据以上信息，解答下面的问题： （1）_____；_____；_____； （2）教练根据这5次成绩，决定选择甲参加射击比赛．教练的理由是什么？ （3）若乙选手再射击第六次，命中的成绩是8环．则选手乙这6次射击成绩的方差与前5次射击成绩的方差相比会有何变化？（变大，变小或不变）并说明理由． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，该方程有一个实数根为，求方程的另一个根和的值． 20. 关于的方程 （1）方程有实数根，求的取值范围． （2）是否存在的值使得方程有两个根、且满足，若存在、请算出的值，若不存在、请说明理由． 21. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？ 22. 如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，交于点F．连接并延长交于点E，连接，． （1）求证：是的切线； （2）若，，则的半径是 ． 23. 请用直尺与圆规按要求完成下列作图． （1）如图：已知两个半径不同的圆，请用不同的方法分别画出两个圆的直径． （2）请再画出一个圆使得它的面积等于已知两个圆面积的和 （3）请再画出一个圆使得它的周长等于已知两个圆周长和的倍． 24. 如图，在中，，，，点D从点C开始沿边运动，速度为，与此同时，点E从点B开始沿边运动，速度为，当点E到达点C时，点D，E同时停止运动，连接，，设运动时间为，的面积为． （1）用含t的代数式表示 ； ； （2）当为何值时？ （3）在点D运动过程中，的值可能为5吗？通过计算说明． 25. 如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． （1）求证：点是的内心； （2）如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 26. 是的两条弦，且． （1）如图，若弦的延长线相交于点，求证： 小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为． 小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接． 小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接． 请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明． （2）如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长． （3）如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值． 27. 阅读：转化是解决数学问题重要的思想方法，如图：在中，，我们知道，当我们遇到含有的直角三角形时，我们可以利用转化的数学思想和等腰三角形的知识来解决（如下示意图），这也是学习数学的一种美． 下面就请你利用上述阅读材料，解决下面问题： （1）如图，在平面直角坐标系中，点，若将直线绕着点A逆旋转得直线，其中点C在x轴，则______．点C坐标______． （2）若与相切、则点（在内部）的轨迹是______，若与三边均相切，求出的半径．（分母不必有理化但不可出现双重根号） （3）若与相切、且半径为，现将x轴绕着点B逆时针旋转，旋转角为，请分析旋转后的x轴与的位置关系并直接写出对应的取值范围．（不必写解答步骤） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $