精品解析：广东省惠州市水口大湖学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

大湖学校九年级（上）数学中段检测试题（2024.10） 时间：120分钟 滴分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，4，3 B. 0，4，3 C. 1，-4，3 D. 0，-4，3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做二次函数．其中x，y是变量，是常量， a是二次项系数， b是一次项系数， c是常数项作答． 【详解】解：解:二次函数的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是3． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数， 一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 2. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解此题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 分解因式得出，推出方程，求出方程的解即可． 【详解】∵， ∴． ∴． 解得． 故选：C． 3. 将一元二次方程通过配方后所得的方程是（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后，两边同时加上一次项系数一半的平方即可. 【详解】解：x2-2x-2=0 移项得，x2-2x=2 两边加1得，x2-2x+1=1+2 ∴（x-1）2=3， 故选C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟悉掌握配方法的步骤是解决本题的关键． 4. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解决本题的关键是理解相关概念，熟记判别式与根的关系． 根据一元二次方程的定义和根的判别式时方程有两个实数根，可求得a的取值范围． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选A． 5. 把抛物线向上平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】解：由题意，得 ． 故选A． 6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐是 C. 对称轴是直线 D. 函数有最小值为2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握的对称轴为直线，顶点坐标为；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．根据二次函数顶点式的性质，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴函数开口向上，故A不正确； ∵二次函数， ∴函数的顶点坐标为，对称轴为直线，当时，有最小值2， 故B、C不正确，D正确． 故选：D． 7. 点M（﹣3，y1），N（﹣2，y2）是抛物线 y=﹣（x+1）2+3上的两点，则下列大小关系正确的是（ ） A. y1＜y2＜3 B. 3＜y1＜y2 C. y2＜y1＜3 D. 3＜y2＜y1 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，点（-1，3）在对称轴上，即可得到答案． 【详解】抛物线的解析式y=﹣（x+1）2+3可得其对称轴为x=-1，系数a＜0，图像开口下下， 根据抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，点（-1，3）在对称轴上，-3<-2 所以y1＜y2＜3. 故选A. 8. 中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（　　） A. 80个 B. 120个 C. 15个 D. 16个 【答案】D 【解析】 【分析】根据参赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛240场，可列出方程． 【详解】解：设参加比赛的队共有x， 根据题意可得：， 解得：，（舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解． 9. 如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， 故选：D． 10. 对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②；③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断① ，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断② ，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③ ；根据时的函数值，结合，代入即可判断④ ，根据顶点坐标即可判断⑤ ，根据函数图象即可判断⑥ ． 【详解】解：① 由图象可知：， ∵对称轴为直线：， ∴， ∴，故①正确； ② ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③ ∵对称轴为直线，则与的函数值相等， ∴当时，，故③错误； ④ 当时，， ∴，故④正确； ⑤ 当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥ 当时，y随的增大而减小，故⑥正确， 综上，正确的是① ② ④ ⑤ ⑥ 共5个， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，， 解得． 12. 已知m是方程的一个根，则代数式等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据m是方程的一个根，可知，则代数式，由此即可求得结果． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程中解的意义，掌握“整体代入”的方法进行运算是考查重点，切忌进行直接求m值． 13. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是__________； 【答案】5 【解析】 【详解】∵x1，x2是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根， ∴x1⋅ x2=5. 故答案为5. 14. 如图，抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为______________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可推出OB＝2，OA＝1，AD＝OC＝2，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 过抛物线L2的顶点D作CDx轴，与y轴交于点C， 则四边形OCDA是矩形， ∵抛物线L1：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）， ∴OB＝2，OA＝1， 将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2， 根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积， ∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA•AD＝1×2＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质及二次函数图象与几何变换，解题的关键是根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积． 15. 已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数图象与性质，求最短路径，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象性质． 把代入，求出解析式，作点关于直线的对称点，计算的长，即可求解． 【详解】解：把代入，则， 解得：， 二次函数解析式为：， 令，则， 故， ∵抛物线的对称轴为直线， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则， ， ∴此时的值最小， ∴此时周长有最小值， ， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：（每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）移项化为一般式，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， ； 【小问2详解】 解： ， ∴， ∴， 或， ． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m为何值，方程总有实数根 （2）若该方程有两根为，，且，求的值 【答案】（1） 证明：由题意：， ∴ ， ∴不论m为何值，方程总有实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）先计算 再利用配方的方法证明，从而可得结论； （2）由根与系数的关系可得：，再把已知条件化为：，再解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方程的两个实数根 ∵， ∴， 即， 解的或， 经检验：或符合题意. 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练的运用“根的判别式证明方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键. 18. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个面积为矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，求长各为多少m？ 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是找出题目中的等量关系．设，则，根据花园的面积为列方程求解即可． 【详解】解：设，则，根据题意可得， ， 解得：，． 当时，，故不合题意舍去； 时，，符合题意． ∴当，时，矩形花园的面积为300． 四、解答题：（每小题9分，共27分） 19. 已知二次函数． 列表： （1）将二次函数化为顶点式_______； （2）在平面直角坐标系中，列表描点法画出该二次函数的图象； （3）根据图象回答：当 时， 的取值范围是_______． 【答案】（1）； （2） 如图： （3）． 【解析】 【分析】（）由于二次项系数是，直接加上一次项系数一半的平方来凑成完全平方式，再减去一次项系数一半的平方，把一般式转化为顶点式； （）先求出对称轴，在对称轴两边各取两个点，运用列表、描点、连线的方法画出图形即可； （）观察所画函数图象，找出y在给定区间内的最大值与最小值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 列表： 【小问3详解】根据图象可知：时，． 【点睛】此题考查了二次函数与不等式的关系，抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键． 20. 某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个商品售价为20元时，平均每天能够售出40个，当销售单价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品应降价多少元？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）要想获得最大利润，每个商品降价1元，最大利润是250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． （1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 【小问1详解】 解：设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为． 【小问2详解】 解：设降价y元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，为250元， 答：要想获得最大利润，每个商品降价1元，最大利润是250元． 21. 在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以的速度移动，同时，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果两点分别到达两点后就停止移动，回答下列问题： （1）运动开始后第几秒时，的面积等于？ （2）设运动开始后第t秒时，五边形的面积为，写出S关于t的关系式，并求出t的取值的范围； 【答案】（1）2秒或第4秒 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列函数解析式，熟练掌握一元二次方程的解法是解答此题的关键． （1）设运动时间为t秒，则，然后再根据的面积得到关于t的一元二次方程，求解之即可得答案； （2）根据即可得出答案． 【小问1详解】 解：设运动时间为t秒，则， ∴， ∵的面积等于， ∴， ∴， 整理，得， ∴， ∴或； 故运动开始后第2秒或第4秒时，的面积等于； 【小问2详解】 解：∵运动开始后第t秒时， ∴， ∴， ∴． 五、解答题：（2小题，共27分） 22. 阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ， ． 根据你的观察，探究下面的问题： （1），则_______．_______． （2）已知，求的值． （3）已知等腰的三边长都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】（1）1，0 （2） （3）7 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确配方是解答本题的关键． （1）先凑成2个完全平方式的和等于0的形式，再根据非负数的性质求得a、b的值即可解答； （2）先凑成2个完全平方式的和等于0的形式，再根据非负数的性质求得x、y的值，最后代入xy即可解答； （3）先凑成2个完全平方式的和等于0的形式，再根据非负数的性质求得a、b的值，然后根据等腰三角形的定义和三角形三边的关系即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1，0． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3， ∴的周长为． 23. 综合与实践： 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值； （3）小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点和点代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）先确定直线的解析式，设点，则点，根据三角形的面积公式列出函数解析式求解即可； （3）分两种情况求解：当点在轴上方时和当点在轴下方时． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如图1，过点作轴交线段于点，垂足为点， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， 设直线的表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为； 【小问3详解】 如图2，当点在直线的上方的抛物线上时， ∵， ∴， ∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为， 当时，则， 解得，，， ∴， 如图3，当点在直线的下方的抛物线上时， 设交轴于点， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大湖学校九年级（上）数学中段检测试题（2024.10） 时间：120分钟 滴分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，4，3 B. 0，4，3 C. 1，-4，3 D. 0，-4，3 2. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程通过配方后所得的方程是（      ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 5. 把抛物线向上平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐是 C. 对称轴是直线 D. 函数有最小值为2 7. 点M（﹣3，y1），N（﹣2，y2）是抛物线 y=﹣（x+1）2+3上的两点，则下列大小关系正确的是（ ） A. y1＜y2＜3 B. 3＜y1＜y2 C. y2＜y1＜3 D. 3＜y2＜y1 8. 中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（　　） A. 80个 B. 120个 C. 15个 D. 16个 9. 如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（ ） A. B. C. D. 10. 对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②；③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________． 12. 已知m是方程的一个根，则代数式等于______． 13. 若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1+x2的值是__________； 14. 如图，抛物线与轴只有一个公共点，与轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为______________． 15. 已知二次函数的图象L如图所示，点O是坐标系的原点，点P是图象L对称轴上的动点，图象L与y轴交于点C，则周长的最小值是______． 三、解答题：（每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：不论m为何值，方程总有实数根 （2）若该方程有两根为，，且，求的值 18. 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个面积为矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料，求长各为多少m？ 四、解答题：（每小题9分，共27分） 19. 已知二次函数． 列表： （1）将二次函数化为顶点式_______； （2）在平面直角坐标系中，列表描点法画出该二次函数的图象； （3）根据图象回答：当 时， 的取值范围是_______． 20. 某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． （1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每个商品售价为20元时，平均每天能够售出40个，当销售单价每降1元时，平均每天就能多售出10个．在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品应降价多少元？最大利润是多少？ 21. 在矩形中，，点P从点A出发，沿边向点B以的速度移动，同时，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果两点分别到达两点后就停止移动，回答下列问题： （1）运动开始后第几秒时，的面积等于？ （2）设运动开始后第t秒时，五边形的面积为，写出S关于t的关系式，并求出t的取值的范围； 五、解答题：（2小题，共27分） 22. 阅读材料：若，求的值． 解：， ， ， ， ． 根据你的观察，探究下面的问题： （1），则_______．_______． （2）已知，求的值． （3）已知等腰的三边长都是正整数，且满足，求的周长． 23. 综合与实践： 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值； （3）小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $