精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

衡阳县四中2024-2025学年上学期高二10月月考 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 2. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，已知，则（ ） A. 5 B. 9 C. 13 D. 18 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，且该圆锥底面圆和顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 8. 现有7张分别标有的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为，剩下的2张卡片数字之和为，则的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知事件两两互斥，若，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正方体的棱长为2，E是正方形的中心，F是棱CD(包含顶点)上的动点，则以下结论正确的是（ ） A. EF的最小值为 B. 存在点F，使EF⊥ C. 三棱锥的体积是定值 D. 直线EF与平面所成角的正切最大值为 11. 如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，在某个海域，一艘渔船以海里/时的速度，沿方位角为的方向航行，行至处发现一个小岛在其东偏南方向，半小时后到达处，发现小岛在其东北方向，则处离小岛的距离为__________海里. 13. 从2011名学生中选取40名同学组成参观团，若采用下面的方法选取：先简单随机抽样从2011人中剔除11人，再将剩下的2000人按系统抽样的方法进行选取，则每个人入选的概率为______． 14. 已知的内角所对的边分别为a、b、c，，为边上一点，满足，且．则的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若的面积为，周长为8，求. 16. 已知非零向量，满足，且，. （1）求的值； （2）证明：； （3）设与的夹角为，求及的值. 17. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）； （2）若认定评分在内的学生为“运动爱好者”，评分在内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率. 18. 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出1个小球． （1）取出的3个小球上恰好有1个､2个和3个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？（注：本题中，是元音字母；是辅音字母） 19. 如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，分别是棱的中点，是的中点. （1）证明：； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县四中2024-2025学年上学期高二10月月考 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，则集合的真子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合对元素的要求，求得集合，即得其真子集个数. 【详解】由且可知，可以取，则可取， 即，故集合的真子集个数为. 故选：C. 2. 已知，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦和角公式和求出，求出，利用二倍角公式求出答案. 【详解】， ， ， . 故选：C. 3. 在平行四边形中，已知，则（ ） A. 5 B. 9 C. 13 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法、减法和数量积运算列方程来求得. 【详解】， 两式平方并相减得，所以. 故选：B 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式直接求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 5. 在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】设出复数的代数形式，利用复数的除法运算求出即可判断得解. 【详解】由在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，设， 则，显然， 所以点在第一象限，A正确. 故选：A 6. 已知圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，且该圆锥底面圆和顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形，求出外接球的半径即可求出体积. 【详解】圆锥的轴截面是边长为3的等边三角形， 边长为3的等边三角形的外接圆半径即是圆锥的外接球半径, 设球的半径为，由正弦定理得，即，故球的体积. 故选：D. 7. 已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（ ） A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由平均数及百分位数的定义求解即可. 【详解】依题意，，解得， 将数据从小到大排列可得：， 又，则分位数为. 故选：C. 8. 现有7张分别标有的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为，剩下的2张卡片数字之和为，则的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意，将转化为，再结合古典概型公式求解即可. 【详解】因为，所以， 故，而，所以，解得， 所以求的概率即可，从7张卡片抽2张， 基本事件有， ， 共有个基本事件，且设的概率为， 符合题意的事件有， ，共9种，所以，故D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查概率，解题关键是合理消元，转化条件，然后利用古典概型公式得到所要求的概率即可． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知事件两两互斥，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念、互斥事件概率加法公式得解. 【详解】对于A，因为事件两两互斥， 所以，故A错误； 对于B，由，得，故B正确； 对于D，由，得，故D正确； 对于C，因为，故C正确. 故选：BCD. 10. 已知正方体的棱长为2，E是正方形的中心，F是棱CD(包含顶点)上的动点，则以下结论正确的是（ ） A. EF的最小值为 B. 存在点F，使EF⊥ C. 三棱锥的体积是定值 D. 直线EF与平面所成角的正切最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到F为CD中点时，EF取得最小值，由勾股定理求出最小值；B选项，当点F与点C重合时，证明线面垂直，得到⊥，⊥EF；C选项，根据的面积不变，点E到平面距离不变，得到三棱锥体积不变；D选项，取的中点，证明出当与重合时，平面，由对称性可知，当点F与点C或D重合时，直线EF与平面所成角最大，故正切值最大，求出各边长，得到正切最大值. 【详解】对于A，取的中点，连接，则⊥平面， 连接FM，显然F为CD中点时，EF取得最小值， 此时，故A不正确． B选项，当点F与点C重合时，因为⊥， 又⊥平面，平面，故⊥， 又，平面， 故⊥平面，又平面，所以⊥， 所以⊥EF，所以B正确； C选项，的面积不变，点E到平面(平面)的距离不变， 所以三棱锥的体积是定值，所以C正确； D选项，取的中点，连接，， 则，， 取的中点，连接，则，故四边形为平行四边形， 故，由于平面，平面， 故平面，故当与重合时，平面， 由对称性可知，当点F与点C或D重合时， 直线EF与平面所成角最大，故正切值最大， 最大值为，所以D正确. 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值. 11. 如图，四棱柱中，为的中点，为上靠近点的五等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解. 【详解】， 即，故A错误、B正确； ， 即，故C错误，D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，在某个海域，一艘渔船以海里/时的速度，沿方位角为的方向航行，行至处发现一个小岛在其东偏南方向，半小时后到达处，发现小岛在其东北方向，则处离小岛的距离为__________海里. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，，，再利用正弦定理可得. 【详解】由题意及方位角可得，，，， 因为渔船以海里/时的速度航行，所以海里， 由正弦定理可得，即，得海里， 故答案为：. 13. 从2011名学生中选取40名同学组成参观团，若采用下面的方法选取：先简单随机抽样从2011人中剔除11人，再将剩下的2000人按系统抽样的方法进行选取，则每个人入选的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据随机抽样可知：每个个体入选的概率均等，与抽样方法和过程无关，即可得结果. 【详解】根据随机抽样可知：每个个体入选的概率均等，与抽样方法和过程无关， 所以每个人入选的概率为. 故答案为：. 14. 已知的内角所对的边分别为a、b、c，，为边上一点，满足，且．则的最小值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】由条件可得BD平分，利用三角形等面积转化可得，求出代入所求式，整理后运用基本不等式即可求得. 【详解】由得平分．因为， 故由，可得， 化简得，即， 则． 因为，故， 当且仅当，即时，等号成立， 此时取得最小值9． 故答案为：9 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若的面积为，周长为8，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边可得，由余弦定理即可求出角； （2）根据三角形面积公式可得，利用余弦定理结合完全平方公式可得，即可求. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：所以， 整理得， 所以， 因为， 所以. 【小问2详解】 因为的面积为， 所以由（1）可知，， 解得， 所以 又因为， 所以， 解得. 16. 已知非零向量，满足，且，. （1）求的值； （2）证明：； （3）设与的夹角为，求及的值. 【答案】（1）； （2）证明：因为， 所以，又， 所以， 所以， 所以； （3），. 【解析】 【分析】（1）由条件，结合数量积的运算律求； （2）由条件根据数量积运算律求，再计算，由此证明结论； （3）根据模的性质和数量积运算律求，根据向量夹角公式求. 【小问1详解】 因为， 所以，故， 又， 所以， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 所以， 因为， 又，，， 所以. 17. 某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）； （2）若认定评分在内的学生为“运动爱好者”，评分在内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率. 【答案】（1），中位数是分 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为求得，根据中位数的求法求得中位数. （2）先按分层抽样计算出、抽取的人数，然后利用列举法求得所求概率. 【小问1详解】 依题意，，解得. 前三组的频率为， 所以中位数为分. 【小问2详解】 的频率为，的频率为，两者的比例是， 所以抽取的名学生中，中的有人，记为； 在中的有人，记为； 从中抽取人，基本事件有， 共种，其中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的是： ，共种，故所求概率为. 18. 甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母和；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母和．从三个口袋中各随机取出1个小球． （1）取出的3个小球上恰好有1个､2个和3个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？（注：本题中，是元音字母；是辅音字母） 【答案】（1）（1个元音），（2个元音），（3个元音）； （2）. 【解析】 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据古典概型求得所有的结果； （2）首先求得取出的3个小球上全是辅音字母的情况，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 如图所示，所有可能出现的情况有种， 记三个小球上恰好有一个、两个和三个的元音字母为事件, 事件发生的情况有种，事件发生的情况有种，事件C发生的情况有种， 所以. 【小问2详解】 由树状图知共有12种等可能的结果， 取出的3个小球上全是辅音字母的有2种情况， 所以取出的3个小球上全是辅音字母的概率为. 19. 如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，分别是棱的中点，是的中点. （1）证明：； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 证明：由题意，分别是棱的中点，，， 所以四边形为平行四边形，又，所以为正三角形， 又是的中点，所以，因为平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，故. （2） 证明：因为，又平面，平面，所以平面， 同理平面，又平面， 所以平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）由正三角形性质得，利用直棱柱及线面垂直的性质定理得，从而利用线面垂直的判定定理得平面，最后利用线面垂直的性质定理证明即可； （2）先利用线面平行的判定定理证得平面和平面，然后利用面面平行的判定定理证明即可； （3）作与交于点.利用线面垂直的性质定理及二面角平面角的定义作出平面角，然后在直角三角形中求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作与交于点. 由（1）知，又，平面， 所以平面，而平面，所以， 故是二面角的平面角. 由，得，解得. 由于平面平面，所以. 在中，， 所以， 即二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $