河北定州中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

数学参考答案 1.c 2.B 3.B 4.C 5.A 6.A 7.D 8.C 9.BCD 10.AD 51 2+2W7 8 11.BCD 12.3或2 13.3 14.17 15. 【解题分析】(1)设等差数列a,}的公差为d 因为2a,-a1=2n-3 2a,-a2=-1∫a-d=-l a1=1 所以2a,-a=1,即a=1,解得d=2 …3分 则8=2150420-》 2 …5分 6=2=-2 (2)当n=1时，a6=I=2,则a ;…7分 当≥2时.ab=7.-7=(n-3+3-2-[u-2)3”+3-(a-1] =(3n-3)3+3-n2-(n-2)3”-3+n2-2n+1=(2n-1)3”-(2n-1)=(2n-10(3”-1) .-=2m-1-.2-16-l-r-1 可得 an 2n-1 …11分 将n=1代入上式得6=2，则n=1也符合上式， 故数列也，}的通项公式为b.=3”- …13分 16. 【解题分析】(1)补充2×2列联表，如下所示： 球队 球员 总计 胜 负 未上场 30 30 60 上场 40 20 60 总计 70 50 120 …3分 零假设H:球队胜利与该球员上场无关。 2=120x30x20-30x40-24 2.706 则 60×60×50×70 7 故依据小概率值(=0.1的独立性检验，我们推断Ho不成立， 即认为球队胜利与该球员上场有关，该推断犯错的概率不超过01.…6分 402 (2)由题意可知，该球员上场时，球队获胜的概率为603： 301 该球员不上场时，球队获胜的概率为602 …8分 X的可能取值为0,1,2， Px=o=-1-引g.px=)号》1-8 (X-2) …11分 故X的分布列为 X 0 2 1 9 3 …13分 (x=0x写*1x2x{- 1 故 9 39 …15分 f()=-x-x1-x) 17.【解题分析】(1) er …1分 令f()=0,得x=0或x=1: 令f'()<0,得x<0或x>1:令f'(>0,得0<x<1 故(x)在区间-，0），（山，+0）上单调递减，在区间(0，)上单调递增。 所儿台版小位为0)-，复大位为0-是 …4分 (2)证明：由(1)可知1 f(x)=+x+1 e一在区间(0，上单调递增， 所以当a∈(0，)时，f(a)>f(0)=l, ItatazI 故e …6分 mc<ltata2=I-a 1-a,… 。。。。。。。。。。。。。。 7分 故0-ae<1-a,即d2-ae+e2<1. …8分 (3)由思意知，对任意的r∈(0，+o）,e +x+nx≤x(x2+x+1) 即lnx≤x+el :9分 当0<x≤l时，nx≤0<xe,不等式显然成立. …10分 当x>l时，lhr≤re等价于h(血x)s(k+l)lnx+x-1 令lhx=(>0),则x=e, 子是rk+0+e-1,司+1er,g t」 1,则80-0-e-n, 令)=血t-e+1 .…12分 当0<t<1时，8'(>0,8()在(0,1)上单调递增， 当t>1时，g'()<0,8()在(，+0)上单调递减。 所以8(0≤g()=1-e 当k+l≥1-e,即k≥-e时，不等式成立. 综上，实数k的取值范围是-e,+o∞) …15分 18.【解题分析】(1)如图，因为DM⊥平面EBC,BCC平面EBC, 所以DM⊥BC. …1分 因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥CD, 又CD∩DM=D,CD,DMc平面CDE, 所以BC⊥平面CDE. …3分 因为DEc平面CDE,所以BC⊥DE …4分 2》(i)由DE=2,F-D证 2 ,知AF=l…5分 由(I)知，BC⊥平面CDE,则AD⊥平面CDE, 故在平面CDE内过点D作DC的垂线，交直线CE于点G,以D为坐标原点，分别以DA,DC,DG 为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， G B i设DC=t,0<t<3,则D(0,0,0),A(3-40,0),C(0,t0).B(3-tt,0).E(0,2cosa,2sina) F(3-t,cosa,sina） …6分 在平面EFB中，BF=(0,cosa-4,sina）,EF=(3-4,-cosa,-sina)】 设平面EFB的一个法向量为元=（任，少，2）， i.BF=y(cosa-t)+zsina=0 EF=(3-t)x-ycosa-zsina=0 t x=- -sin a 令y=sina,则z=t-cosa, 3- =tsina,sina,t-cosa 所以 3-t …8分 在平面EBC中，CB=(3-40,0),C正=(0,2cosa-4,2sinx) 设平面EBC的一个法向量为m=(,,)】 {m.CB=(3-t)x=0 则m.CE=y(2cosa-4）+名2sina=0 令片=2sinw,则3=1-2cosa,,=0,所以m=(0,2sina,t-2cosa） …10分 因为平面EFB和平面EBC垂直，所以i:m=O, 2sa-0-2a-0.提a-+月引 222W2 因为0∈(0，，0<t<3,所以 当且仅当t=V2时，等号成立， 2W2 故cos的最小值为3. 12分 (i)由题意知，几何体EFABCD的体积V='g-ABcn+'E-Ar, 正-)D正-e=a-g=n 1 1 由 ,知 2'D-ABE=。V E-ABD E-ABCD 4 …13分 cosa=2 因 3,t=2,a∈(0，)，所以 Γ3 km写6-小2sna-65-4 9, …15分 "-m-155-10 15N2-10_2-152-2<0 所以4 18,又18 318 2 所以几何体EFABCD的体积小于3.…17分 19.【解题分析】(1)由题意知，点P与直线1是双曲线「广的一对极点和极线， -+0(x+x)+0(0y+⅓)-1=0 故直线1的方程为a2b2 …2分 xx_y义=1 即a2b2 …3分 (2)如图，F(c,0),F(c,0) IG\F -+et)+ies+a 同理可得PF引=ex,-a …4分 1 Xox_yoy=1 Ga.o GRl-+ 由直线a2 b2 ,知（ lGRJ-c-a ),则 七 , a2 GF C+ =。= exo+a 。a2 exo-a PF exo +a GF C-- 所以 Xo PF e-a,所以lPF】 GF3 …6分 在△PGf中，sin /PGF sin ZGPF, PF GF 在△PGE中，sin∠PGE,sin∠GPE, 又∠PG+∠PGS=元，联立上式可得sin∠GPF=sin∠GPF, 因为∠GPF+∠GP5,=∠FPR∈(O,) 所以∠GPF=∠GPE,所以直线1为∠FPE的平分线. 分 中2y02P4c0四c3 163 x2 故4b2二，即b=1,故双曲线的方程为4二” …9分 假设存在点(：，少），使得过点Q的双曲线「的两条切线互相垂直。 由双曲线的几何性质可知，切线的斜率不为0，则两条切线的斜率都存在且不为0， 设切点分别为M(,出），N(3,乃)≠0)， 则切线 M:号-w=1Qw￥-gw=l 由点O和直线MN是双曲线Γ的一对极点和极线， x3x 得直线N的方程为4y+0x+5t00y+)0,侧=D .…11分 房指学名-器品 又 ￥x3xx216 因特在我w等w=上，-=1极 ,切点M(:,)在双曲线上， 16g+-%+-4=0 同理可得 6好+)-+写-4=0 …13分 上2 则与是方程16(+小r-8xy·x+写-4=0的两个解 上五=x好-4 1 由市达定理可行号16（好+刊16，得5+时=3 故点0的轨迹方程为x2+y2=3 …15分 又直线：m2x-y-2m2-2m2=0,即m(-2)-n2(0+2)=0 m2 >0 易知直线过定点(2，-2)，又由mm≠0，知直线的斜率为>0， 易知直线%与曲线x+y=3无交点， 故不存在点K,使得过点K作双曲线「的两条切线互相垂直.…17分 高三数学考试 本试卷共150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数的最小正周期为 A． B． C． D． 2．设，，…，是变量x和y的n个样本点，通过最小二乘法得到经验回归方程为，则“点在经验回归直线上”是“，”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合，，则 A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则向量在上的投影向量为 A． B． C． D． 5．函数的大致图象为 A． B． C． D． 6．已知点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为M，N，则四边形的面积的最小值为 A． B． C． D． 7．排序题是考研英语中难度较高的题型之一，也是考生普遍认为挑战较大的题型．现有A，B，C，D，E，F6段话，需要将它们按正确的顺序排列，已知正确答案为，某考生将段落B排在第1段后，因时间来不及，只能将后5段进行随机排序，则该名考生恰好对一个的情况有 A．22种 B．24种 C．36种 D．44种 8．在等腰中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，则 A．2 B．4 C．6 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数z满足，其中i是虚数单位，则 A．z的虚部为3 B．在复平面内，z对应的点在直线上 C． D． 10．抛物线的焦点为F，点F关于坐标原点O的对称点为E，过点E的直线与抛物线在第一象限内的交点为A，B，已知A恰为的中点，且，则下列说法正确的是 A． B．抛物线的准线方程为 C． D． 11．已知，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为__________． 13．如图，在棱长为3的正四面体中，M是棱上一点，且，过点M作平面，，且平面分别交，，于点N，G，H．若四边形的周长为7，则__________． 14．第二届杭州国际人形机器人与机器人技术展览会将于2026年5月在杭州大会展中心举办，某公司计划让自己的展出机器人在该次大会期间进行一场表演活动．现在给表演机器人编排一个动作，如图，机器人从点M出发，每一次等可能地沿着格线移动一个单位长度，共移动3次，则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点N位置的条件下，沿着左右方向恰好移动了2次的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知等差数列满足，记数列的前n项和为． （1）求； （2）若数列的前n项和，求数列的通项公式． 16．（15分） 首届江苏省城市足球联赛（俗称“苏超”）已于2025年11月1日圆满收官，自开赛以来，“苏超”凭借其独特魅力迅速爆火，关注度甚至超过部分职业联赛．统计显示，继“苏超”之后，“赣超”“湘超”“川超”“渝超”“蒙超”“辽超”“青超”“琼超”“滇超”等不少于10个省、自治区和直辖市也在举行城市联赛，这无疑体现出当前城市联赛的火爆程度．某地组建球队参加业余比赛，该队教练统计了球员的数据．为了调查某球员对球队的贡献，作出如下数据统计（比赛结果中没有平局）： 球员 球队 总计 胜 负 未上场 30 上场 40 总计 50 120 （1）将上表补充完整，依据小概率值的独立性检验，分析球队胜利是否与该球员上场有关． （2）考虑到赛程比较密集，主教练决定在接下来的两场比赛中，第一场安排该球员上场，如果获得胜利，那么第二场比赛该球员不上场，以便能够获得充分的休息，否则第二场继续上场比赛．已知每场比赛是胜是负相互独立，利用频率估计概率，设X表示这两场比赛中该球队胜利的场数，求X的分布列和数学期望．附：，． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17．（15分） 已知函数． （1）求的极值． （2）若，证明：． （3）已知对任意的，恒成立，求实数k的取值范围． 18．（17分） 如图，四边形是周长为6的矩形，四边形满足，且，现将四边形以直线为轴旋转，记二面角的大小为．点M在直线上，且平面． （1）求证：． （2）已知平面和平面垂直． （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当取最小值时，证明：几何体的体积小于． 19．（17分） 若圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．当点P在圆锥曲线上时，其极线l是曲线在点P处的切线；当P在圆锥曲线外时，其极线l是圆锥曲线从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）．已知点是双曲线（，）上第一象限内的一点，，分别为的左、右焦点，直线l为点P处的切线，直线l与x轴的交点为G． （1）证明：直线l的方程为． （2）证明：直线l为的平分线． （3）若点，，直线上是否存在点K，使得过点K作双．曲线的两条切线互相垂直？若存在，请写出一个符合条件的直线的方程；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $