精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

衡阳县四中2024-2025学年上学期高一10月月考 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知命题，总有，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 【答案】B 【解析】 【分析】直接写出命题的否定即可. 【详解】因为，总有，则为，使得 故选:B 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知集合的交运算即可求它们的交集. 【详解】由题意，集合, 则， 所以. 故选：D. 3. 下列关系中正确的个数为（ ） ①，②，③，④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由数与数域的关系判断出正确个数，求出答案. 【详解】对于①，，①错误； 对于②，，②正确； 对于③，，③错误； 对于④，，④错误， 故正确的个数为1个. 故选：A 4. 已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对ABD举反例即可判断，对C利用作差法即可判断. 【详解】对A，当时，不等式不成立，所以A不正确； 对B，当时，满足，但，所以B不正确； 对C，因为，因为，且，可得，所以，所以C正确； 对D，举例，则，则，所以D不正确. 故选：C. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原式变形为，结合不等式的加法性质利用基本不等式即可求得最值. 【详解】由得，， 则， 因为，当且仅当即时取等号. 因为，当且仅当即时取等号. 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为. 故选：D 6. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求定义域，再平方，结合二次函数求值域即可. 【详解】，先求定义域，即且，即. 函数式子两边平方，即. 当，由二次函数性质知道的值域为. 则的范围为. 开方得的值域为. 故选：D. 7. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得二次方程有解，列不等式求的范围即可. 【详解】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且. 故选：D. 8. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】由函数奇偶性，确定为周期函数，再结合，求得，即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以关于点中心对称， 又为偶函数，所以关于直线对称， 所以为周期函数且周期， ∴，∵，∴，∴. 故选:C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. ，则周期为6 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用赋值法，结合奇函数和偶函数的定义、函数周期性的定义逐一判断即可. 【详解】在中， 令中，得或，A不正确； 当时，在中， 令中，得， 因此函数既是奇函数又是偶函数，所以成立， 当时，在中， 令中，，所以函数是偶函数， 因此成立，B正确； 在中， 令中，得， 令，因为，所以，即有，显然成立，C正确； 当时，在中， 令中，得， 则有， 可得 ，因此周期为6，D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是针对不同的选项正确赋值. 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件可得，即可判断A，由作差法即可判断B，由基本不等式即可判断C，由二次函数的值域即可判断D 【详解】显然，故，A正确； 因为，则， 即，故B错误； ，且，故由均值不等式知，C正确； ，D正确. 故选：ACD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，或” C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】特殊值法判断A,特称命题的否定判断B,应用基本不等式判断C,应用恒成立得出判别式即可求参判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，命题“”的否定是“或”，故B正确； 对于C，则， 当且仅当，此时无解，故取不到等号， 所以，故C错误； 对于D，当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，，故D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的值域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数单调性求解值域. 【详解】 开口向上，对称轴为, 函数单调递减，函数单调递增， 当时，, 当时，, 所以. 故答案为： 13. 已知函数的定义域为，则的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，可得，即的定义域为，进而根据，解不等式即可得答案. 【详解】因为函数的定义域为，即， 所以，即的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 14. 若是不等式成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】解绝对值不等式，结合集合间的包含关系及充分不必要条件的定义计算即可. 【详解】易知， 因为是不等式成立的充分不必要条件， 所以且等号不能同时取得，解之得， 经检验：等号不能同时取得，显然符合题意. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知集合，，. （1）求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式，得到，根据交集和补集的概念进行求解； （2）求出，根据“”是“”的充分不必要条件，得到， 分两种情况，得到不等式，求出的取值范围. 【小问1详解】 ，解得，故， ，解得或， 故， 所以 【小问2详解】 或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件，则， 又，所以， 或， 综上所述，a的取值范围为. 16. 已知函数. （1）证明:函数在区间上单调递减; （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1） 函数，， 则， 当时，，则，即， 所以函数在区间上单调递减. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性定义，推理论证即可. （2）利用（1）的结论，利用单调性求出函数值域. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，则， 而，所以函数的值域为. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 【答案】（1）， （2） 函数在上为减函数， 证明如下：任取，且， 则， 因为，所以，，，， 所以， 即，所以函数在上为减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和单调性列方程来求得，从而求得的解析式. （2）根据单调性的定义，计算来判断的单调性. （3）利用函数的单调性和奇偶性求得不等式的解集. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 所以，而，所以，解得， 所以，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为是奇函数， 所以不等式可化为， 因为函数在上为减函数，所以． 解得，所以不等式的解集为． 18. 定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立． （1）求、； （2）试判断函数的单调性： （3）如果，试求的取值范围． 【答案】（1）；； （2）在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法可求； （2）由已知可得，设；可得，结合单调性的定义可得结论； （3）由已知可得，结合单调性求解即可. 【小问1详解】 取得，； ；； 【小问2详解】 令，可得， 设，则，所以，即， 在上单调递增； 【小问3详解】 根据满足的条件②及，由得，； 根据为增函数得：； 再由的定义域，便得到不等式组； 解得，的取值范围为． 19. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】（1） （2）当单价为元时，取得最大利润为元 （3）件 【解析】 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【小问1详解】 设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. 【小问2详解】 若， 则利润， 其开口向下，对称轴为，所以当时， 利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. 【小问3详解】 由（2）得利润， 由整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县四中2024-2025学年上学期高一10月月考 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知命题，总有，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列关系中正确的个数为（ ） ①，②，③，④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 已知a，b为非零实数，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 6. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知函数定义域为，对，恒有，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. ，则周期为6 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，或” C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的值域为__________． 13. 已知函数的定义域为，则的定义域为______. 14. 若是不等式成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知集合，，. （1）求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）证明:函数在区间上单调递减; （2）当时，求函数的值域. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解不等式. 18. 定义在上的函数满足：①，②，其中为任意正实数：③任意正实数满足时，恒成立． （1）求、； （2）试判断函数的单调性： （3）如果，试求的取值范围． 19. 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ （3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $