精品解析：北京市西城区北京市育才学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024～2025学年度第一学期阶段性测试 数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图所示的垃圾分类标志，分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意； C．选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意； D．选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 2. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，然后判断作答即可． 【详解】解：， ， ∴或， 解得，，， 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解此题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. （－1，2） B. （1，2） C. （1，－2） D. （2，1） 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵为二次函数的顶点式， ∴由顶点式可知该抛物线的顶点坐标为（﹣1，2）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要能根据顶点式直接写出顶点的坐标． 4. 在平面直角坐标系中，抛物线的示意图如图所示，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置可确定，，的符号，根据抛物线与轴交点个数可得△的符号． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 故选项A错误，不符合题意； 抛物线对称轴在轴右侧， ，即， 故选项B错误，不符合题意； 抛物线与轴交点在轴下方， ， 故选项C错误，不符合题意； 抛物线与轴无交点， ， 故选项D正确，符合题意； 故选：D 5. 将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移， 根据二次函数的图象的平移规律解答即可．对于二次函数可根据“上加，下减，左加，右减”平移． 【详解】将抛物线的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得关系式为． 故选：D． 6. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质与等腰三角形的性质结合，利用等腰三角形的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质：等边对等角，可求出的大小． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：，， 故选： 7. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，先求出抛物线的对称轴，在求出抛物线与x轴的另一个交点，最后根据抛物线与一元二次方程的关系求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为：，图象与x轴的一个交点坐标是， ∴根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点是， ∴关于x的一元二次方程的两个实数根是：，， 故选：A． 8. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，当时，下列说法一定正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，根据各点横坐标可判断，进而求解． 【详解】解：∵中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， 当时，异号， ∴， ∴，选项A正确． 当时，， ∴选项B错误， 当时，， ∴，选项C错误． 当时，中有1个值为0即可， ∴选项D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 写出一个函数，使得当自变量时，函数y随x的增大而减小，这个函数的解析式可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据自变量时，函数y随x的增大而减小，写出一个开口方向向下，对称轴为轴的二次函数解析式即可． 【详解】解：∵自变量时，函数y随x的增大而减小， ∴这个函数的解析式可以为一个开口方向向下，对称轴为轴的二次函数， ∴这个函数的解析式可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 10. 在平面直角坐标系中，点和点Q关于原点对称，则Q点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标的特点解答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， ∴Q点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了关于原点对称的点的坐标的特点：横纵坐标都互为相反数，熟记特点是解题的关键． 11. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【详解】∵关于的一元二次方程没有实数根 ∴ 即 解得 故答案为 12. 直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽为8分米，则积水的最大深度为______分米． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，先由垂径定理求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： ∵的直径为分米， ∴分米， 由题意得：，分米， ∴分米， ∴（分米）， ∴积水的最大深度（分米）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键． 13. 某学习平台三月份新注册用户为200万，五月份新注册用户为338万，设四、五两个月新注册用户每月平均增长率为，则可列出的方程是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可直接列出方程． 【详解】解：由题意得： ； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 14. 对于二次函数和．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：______，______． 【答案】 ①. 1 ②. 3 【解析】 【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以求得m和的值． 【详解】解：由表格可知，和时的函数值相等， ∵表格中的两个函数对称轴都是直线， ∴， ∴， 故答案为：1，3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 15. 二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题．根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案． 【详解】解：有两个不相等的实数根， 有两个不相等的实数根， 令，（表示与轴平行的直线）， 与有两个交点， ， ， 是整数， ， 故答案为：0． 16. 我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形，中心为O，在矩形外有一点P，，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别求出当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，；当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，即可求解． 【详解】解：如图，当过的中点E时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，， ∴； 如图，当过顶点A时，此时点P与矩形上所有点的连线中，， 矩形，中心为O， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当过顶点边中点F时，此时点P与矩形上所有点的连线中，，， ∴； 综上所述，点P到矩形的距离d的取值范围为． 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，根据题意得出临界点时点d的值是解题的关键． 三、解答题：（共6小题，共52分） 17. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查因式分解法与公式法解一元二次方程，正确使用适合的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法即可解得此一元二次方程； （2）利用公式法即可解得此一元二次方程． 【小问1详解】 解：因式分解，得， 于是得或， 解得，． 【小问2详解】 解：，，， ， ， 解得，． 18. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点A关于点O的对称点； （2）连接，将线段绕点顺时针旋转90°得点B对应点，画出旋转后的线段； （3）连接，求出四边形的面积． 【答案】（1）作图如下： （2）作图如上； （3）24． 【解析】 【分析】（1）连接AO并延长一倍即可得到； （2）由于是一个正方形对角线，再找一个以为顶点的正方形，与相对的点即为，连接线段； （3）连接，由求出四边形面积． 【详解】（1）作出点A关于点O的对称点； （2）连接，画出线段； （3）连接，过点A作于点E，过点作于点F； ． ∴四边形的面积是24． 【点睛】此题主要考查了图象的旋转以及中心对称，同时考查在网格中的面积计算问题，熟练掌握旋转变换和中心对称变换的定义作出变换后的对应点是解题的关键． 19. 抛物线过点和． （1）求b，c的值； （2）直接写出抛物线的顶点坐标； （3）当时，结合函数图象，求y的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）把点和代入得关于、的方程组，解方程组得到、的值； （2）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标； （3）利用函数图象找出在中的最小值和最大值即可． 【小问1详解】 解：把，分别代入， 得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线解析式为， 将一般式化为顶点式得：， 抛物线的顶点坐标为； 【小问3详解】 解：由函数图象可得，当时，在抛物线对称轴的左边，y随x的增大而增大， 当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值， ∴当时，． 20. 如图，用一条长的绳子围成矩形，设边的长为． （1）边的长为______________，矩形的面积为______________（均用含的代数式表示）； （2）矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由． 【答案】（1）； （2）矩形的面积不可以是 【解析】 【分析】（1）根据矩形的周长公式求得边的长度；然后由矩形的面积公式求得矩形的面积； （2）根据矩形的面积公式得到关于的方程，通过解方程求得答案． 【小问1详解】 根据题意，知边的长为：， 矩形的面积为：； 故答案为：；； 【小问2详解】 若矩形的面积是，则． 整理得： ∴， 这个方程无解． 矩形的面积不可以是． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 21. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ， 线段绕点A顺时针旋转，得到线段， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质知，由旋转的性质可知，从而得，再证，即可得答案； （2）由知为等边三角形，即，继而由，即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如下图，连接， ， 为等边三角形， ， 又， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的判定和性质，解题的关键由旋转的性质证出． 22. 设二次函数的图象过，，且顶点在第四象限． （1）求c的值及的关系式； （2）令，求t的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图象和系数的关系是解题的关键． （1）将点，代入解析式中列方程求解即可． （2）根据顶点所在象限，判断系数的符号，再根据，确定的取值范围，最后由不等式的性质求出的范围． 【小问1详解】 将点，代入， 得，解得，． 【小问2详解】 由顶点在第四象限， 可得，即， ，即， ，即， ， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期阶段性测试 数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图所示的垃圾分类标志，分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. （－1，2） B. （1，2） C. （1，－2） D. （2，1） 4. 在平面直角坐标系中，抛物线的示意图如图所示，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，当时，下列说法一定正确的是( ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 写出一个函数，使得当自变量时，函数y随x的增大而减小，这个函数的解析式可以是__________． 10. 在平面直角坐标系中，点和点Q关于原点对称，则Q点的坐标为__________. 11. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是_________． 12. 直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽为8分米，则积水的最大深度为______分米． 13. 某学习平台三月份新注册用户为200万，五月份新注册用户为338万，设四、五两个月新注册用户每月平均增长率为，则可列出的方程是_________________． 14. 对于二次函数和．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知：______，______． 15. 二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为__________． 16. 我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形，中心为O，在矩形外有一点P，，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为__________． 三、解答题：（共6小题，共52分） 17. 解方程： （1） （2）． 18. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点A关于点O的对称点； （2）连接，将线段绕点顺时针旋转90°得点B对应点，画出旋转后的线段； （3）连接，求出四边形的面积． 19. 抛物线过点和． （1）求b，c的值； （2）直接写出抛物线的顶点坐标； （3）当时，结合函数图象，求y的取值范围． 20. 如图，用一条长的绳子围成矩形，设边的长为． （1）边的长为______________，矩形的面积为______________（均用含的代数式表示）； （2）矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由． 21. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 22. 设二次函数的图象过，，且顶点在第四象限． （1）求c的值及的关系式； （2）令，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $