4.1.1 根式（教学课件）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

苏教版2019高一数学（必修一）第四章 指数与对数 4.1　指　数 4.1.1　根　式 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.理解n次方根，n次根式的概念及运算. 2.会进行根式及分数指数幂的化简求值. 3.理解根式的概念及运算性质，推导有理数指数幂的运算，提升学生的数学抽象素养和数学运算素养. 某种细胞分裂时，由 1个分裂成 2个，2个分裂成4 个，4个分裂成8个······ 如果分裂一次需要 10 min，那么，1个细胞1h后分裂成多少个细胞? 情景导入 假设细胞分裂的次数为 x，相应的细胞个数为 y，则 y＝2x. 由题中条件可知，x＝60÷10＝6， 那么，当 x＝6 时， y＝26＝64， 即1个细胞 1h 后分裂成 64 个细胞. 在上述例子中，x只能取正整数可以规定 2－x＝ 和 20＝1，使得 2x 对 x 取负整数和 0 也是有意义的.那么， ● 2x中的 x 能取分数甚至无理数吗? 情景导入 我们知道，如果 x2＝a，那么 x 称为 a 的平方根； 如果 x3＝a，那么 x 称为 a 的立方根. 新知探究 一、n 次方根 一般地，如果 xn＝a (n＞1，n∈N*)，那么称 x为 a 的 n 次方根. 当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数. 这时，a 的 n 次方根只有一个，记为 x＝. 例如， 33＝27 ⇒ 3＝ ； (－2)3＝－8 ⇒－2＝； x3＝6 ⇒ x＝. 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们为相反数. 这时，正数a的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号－ 表示，它们可以合并写成± (a＞0)的形式. 例如， x4 ＝ 6 ⇒ x ＝ ± ； x2＝3 ⇒ x ＝ ± . 可用下表表示： n为奇数 n为偶数 a∈R a＞0 a＝0 a＜0 x＝_______ x＝______ x＝0 不存在 ± 需要注意的是，0 的 n 次方根等于 0 . 二、根式 (1) 式子 叫作根式， n叫作根指数，a 叫作被开方数. 例 1 求下列各式的值： (1) ()2； (2) ()3 ； (3) ； (4) . ＝ 5. ＝ －2. ＝ ＝2. ＝＝π－3. 课本例题 观察下列各式： ＝2，＝2＝∣－2∣； ＝2，＝2＝∣－2∣； ＝2，＝2＝∣－2∣； ＝3，＝－3； ＝3，＝－3； ······ (2) 性质：当n＞1，n∈N* 时， ① ()n＝________； a，n 为奇数 ② ＝ ______＝ n为偶数. a，a ≥0， －a，a＜0， a ∣a∣ 可以发现： 1. 计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； ＝ ＝ 5 ＝＝ ＝ ＝ 2 ＝＝ 课本练习 (1) ； (2) ()3； (3) . ＝∣－2∣＝2－ ＝4 ＝＝∣－1∣＝－1 2. 求下列各式的值： 3. 化简： (1) (a＞4)； (2) ； ＝ ∣a－4∣＝a－4 ＝ 2 － a (3) (a＞－1)； ＝＝ ∣a＋1∣＝a＋1 (4) ＋ (a ＜1). ＝ ∣a－1∣＋a ＝1－a＋a ＝1 易错点　忽略偶次根式成立的条件而致错 D 错因分析 B D 一、选择题 1.已知m10＝2，则m等于(　　) 解析　∵m10＝2，∴m是2的10次方根. 又∵10是偶数， ∴2的10次方根有两个，且互为相反数. 分层练习-基础 19 A A.xy<0 B.xy>0 C.x>0，y>0 D.x<0，y>0 3.(多选题)下列说法正确的是(　　) CD 当x<2时，x－2<0， B C A.5－2a B.2a－5 C.1 D.－1 解析　∵2<a<3，∴2－a<0，3－a>0， ＝a－2＋3－a＝1. 1 －1 所以x＝－1，y＝－3. 所以(x2 021)y＝[(－1)2 021]－3＝(－1)－3＝－1. R 三、解答题 9.化简： 解　(1)因为x<π，所以x－π<0， 解　当n为奇数时，原式＝a－b＋a＋b＝2a. 当n为偶数时，∵a<b<0，∴a－b<0，a＋b<0， ∴原式＝|a－b|＋|a＋b|＝b－a－a－b＝－2a. 3 分层练习-巩固 27 ∴5－x≥0，且x＋5≥0，∴－5≤x≤5. [－5，5] 13.计算： D A.a＋b 　　 　 B.－(a＋b) C.a－b 　 　　 D.b－a 解析　由题意x＝－1时，y＜0， 即a×(－1)2－b＋0.1＜0， 即a＜b－0.1，∴a＜b， 分层练习-拓展 课堂小结 10．式子aeq \r(－\f(1,a))经过计算可得(　　) A.eq \r(－a) 　 B.eq \r(a) C．－eq \r(a) D．－eq \r(－a) 因为eq \r(－\f(1,a))成立，所以a＜0，所以aeq \r(－\f(1,a))＝aeq \r(－\f(a,a2))＝－eq \r(－a).故选D. 11．若eq \r(4a2－4a＋1)＝eq \r(3,（1－2a）3)，则实数a的取值范围是(　　) A．[eq \f(1,2)，＋∞) B．(－∞，eq \f(1,2)] C．[－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)] D．R ∵eq \r(4a2－4a＋1)＝eq \r(3,（1－2a）3)，∴|2a－1|＝1－2a，则2a－1≤0，解得a≤eq \f(1,2)，故选B. ∴m＝±.故选D. A.eq \r(10,2) B.－eq \r(10,2) C.eq \r(210) D.±eq \r(10,2) 2.已知xy≠0，且eq \r(4x2y2)＝－2xy，则有(　　) 解析　＝|2xy|＝－2xy，∴xy<0. ＝3，故B错误； ＝|x＋y|，故C正确； ∴eq \r(8,（x－2）8)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x－\r(2))))eq \s\up12(3)＝2－x＋x－eq \r(2)＝2－eq \r(2).故D正确. A.eq \r(3,－27)＝3 B.eq \r(4,81)＝±3 C.eq \r(（x＋y）2)＝|x＋y| D.若x<2，则eq \r(8,（x－2）8)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x－\r(2))))eq \s\up12(3)＝2－eq \r(2) 解析　＝－3，故A错误； 解析　原式＝eq \r(（1－\r(2)）2)＋1－eq \r(2)＋|1－eq \r(2)| ＝|1－|＋1－＋－1＝－1. 5.若2<a<3，则化简eq \r(（2－a）2)＋eq \r(4,（3－a）4)的结果是(　　) ∴eq \r(（2－a）2)＋eq \r(4,（3－a）4)＝|2－a|＋|3－a| 4.eq \r(3－2\r(2))＋eq \r(3,（1－\r(2)）3)＋eq \r(4,（1－\r(2)）4)＝(　　) A.1－eq \r(2) B.eq \r(2)－1 C.eq \r(2) D.0 7.若eq \r(x2＋2x＋1)＋eq \r(y2＋6y＋9)＝0，则(x2 021)y＝________. 解析　因为eq \r(x2＋2x＋1)＋eq \r(y2＋6y＋9)＝0， 所以eq \r(（x＋1）2)＋eq \r(（y＋3）2)＝|x＋1|＋|y＋3|＝0， 解析　∵x<0，∴原式＝－x－(－x)＋eq \f(－x,－x)＝－x＋x＋1＝1. 二、填空题 6.若x<0，则|x|－eq \r(x2)＋eq \f(\r(x2),|x|)＝________. 若eq \r(5,2x＋5)有意义，则2x＋5∈R，即x∈R. 解析　若eq \r(4,2x＋5)有意义，则2x＋5≥0，∴x≥－eq \f(5,2)； 8.若eq \r(4,2x＋5)有意义，则x的取值范围是_______________；若eq \r(5,2x＋5)有意义，则x的取值范围是________. 当n为偶数时，eq \r(n,（x－π）n)＝|x－π|＝π－x； 当n为奇数时，＝x－π. 综上，当x＜π时，eq \r(n,（x－π）n)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(π－x，n为偶数，n∈N*，,x－π，n为奇数，n∈N*.)) (2)因为a≤，所以1－2a≥0. 所以eq \r(4a2－4a＋1)＝eq \r(（2a－1）2)＝|2a－1|＝1－2a. (1)(x<π，n∈N*)；(2). ∴eq \r(n,（a－b）n)＋eq \r(n,（a＋b）n)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a，n为奇数，,－2a，n为偶数))(n>1，n∈N*). 10.已知a<b<0，n>1，n∈N*，化简eq \r(n,（a－b）n)＋eq \r(n,（a＋b）n). ∴≤x≤2， 故eq \r(4x2－4x＋1)＋2eq \r(4,（x－2）4)＝eq \r(（2x－1）2)＋2eq \r(4,（x－2）4)＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3. 解析　由eq \r(2x－1)＋eq \r(2－x)有意义，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,2－x≥0，)) 11.若代数式eq \r(2x－1)＋eq \r(2－x)有意义，则eq \r(4x2－4x＋1)＋2eq \r(4,（x－2）4)＝________. ＝|x－5|＝(5－x)， 解析　eq \r(（x－5）（x2－25）)＝eq \r(（x－5）2（x＋5）) 12.使等式eq \r(（x－5）（x2－25）)＝(5－x)eq \r(x＋5)成立的x的取值范围是________. ＝－＋＝. (2)原式＝－8＋|－2|－(2－) ＝－8＋2－－2＋＝－8. (1)eq \r(6\f(1,4))－eq \r(3,3\f(3,8))＋eq \r(3,0.125)； (2)eq \r(3,（－8）3)＋eq \r(4,（\r(3)－2）4)－eq \r(3,（2－\r(3)）3)； 解　(1)原式＝－＋ ＝×(＋1)＋1 ＝(－1)×(＋1)＋1 ＝(3－1)＋1＝1＋1＝2. (3)eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(3,4))－\r(\f(1,4))))\s\up12(3))×(eq \r(3)＋1)＋(eq \r(2 019)－eq \r(2 018))0. 解　原式＝×(＋1)＋1 ∴＝|a－b|＝b－a. 14.已知二次函数y＝ax2＋bx＋0.1的图象如图所示，则eq \r(4,（a－b）4)＝(　　) 1.掌握2个知识点 (1)n次方根的概念，表示与性质； (2)根式的性质. 2.注意2个易错点 (1)注意eq \r(n,an)与(eq \r(n,a))n的区别； (2)一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数或偶数这两种情况. $$