精品解析：山东省临沂市临沭县青云初级中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

“迎国庆，向祖国献礼”知识竞赛 九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数为，一次项系数、常数项分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】由得： ， ∴一次项系数是，常数项是． 故选A. 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解： 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：C． 3. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 【答案】A 【解析】 【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入，得， ∴二次函数解析式为． ∴所给四点中，只有（2，4）满足．故选A． 4. 已知x=1是一元二次方程的解，则b的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=1代入x2+bx+1=0得关于b的一次方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：把x=1代入x2+bx+1=0 得1+b+1=0，解得b=-2． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 5. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（　　） A. -2 B. 2 C. 4 D. -3 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根． 【详解】设一元二次方程的另一根为x1， ∵关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1， ∴﹣1+x1=﹣3， 解得：x1=﹣2． 故选A． 6. 将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线y= -2x2向左平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=-2（x+1）2， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 7. 如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【 】 A. 3 B. ﹣3 C. 13 D. ﹣13 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根， ∴x1+x2=﹣4，x1x2=a． ∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=a﹣2×（﹣4）﹣5=0， 即a+3=0，解得，a=﹣3． 故选B 8. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k＜ B. k＜且k≠0 C. ﹣≤k＜ D. ﹣≤k＜且k≠0 【答案】D 【解析】 【详解】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k≠0； 根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；解得 根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0，解得 三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0． 故选D． 9. 若A(－，y1)，B(－1，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝－x2－4x＋5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1 C. y3＜y1＜y2 D. y2＜y1＜y3 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象的对称轴，然后判断出A（，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在抛物线上的位置，再求解． 【详解】∵二次函数y=﹣x2﹣4x+5中a=﹣1＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为x2． ∵B（﹣1，y2），C（1，y3）中横坐标均大于﹣2，∴它们在对称轴的右侧，且y3＜y2． ∵A（，y1）中横坐标小于﹣2，∴它在对称轴的左侧，它关于x=﹣2的对称点为2×（﹣2）﹣（），． ∵a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∴y3＜y1＜y2． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质．解答本题的关键是找到二次函数的对称轴． 10. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 将抛物线先向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可． 【详解】函数向右平移2个单位，得：； 再向上平移3个单位，得：； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 12. 已知 ，是方程的两实数根，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加1人向外转发，经过两轮短信的发送，共有35人次手机上收到该短信，则小明发送短信给了__________个好友 【答案】5. 【解析】 【分析】本题可设第一轮中某人向x人发短信，那么在第二轮中获得短信的这x人每人又发出了（x+1）条信息，即在第二轮中共发出了x（x+1）条短信，进而我们可列出方程，求出答案． 【详解】设第一轮中某人向x人发短信,获得短信的x人,每人向外发(x+1)条短信， 由题意得， x+x(x+1)=35， 整理x2+2x−35=0， 解得：x1=5,x2=−7(不合题意,舍去) 故答案为5. 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于理解题意列出方程. 14. 如图所示的图形是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3m3，则根据图中的条件，可列出方程：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中所给的图，可得无盖长方体的宽为x，长为x+1，高位1，根据题意找出等量关系列方程即可． 【详解】解：根据题中所给的图，可得无盖长方体的宽为x，长为x+1，高位1， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系． 15. 把二次函数配方成的形式，得，它的顶点坐标是_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数的顶点式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 16. 如图，一条抛物线与轴相交于两点，其顶点P在折线上移动，若点的坐标分别为，点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题是一道二次函数综合题，解答该题的关键在于读透题意，要注意的是抛物线在平移过程中形状并没有发生变化，改变的是顶点坐标．首先，当点B横坐标取最小值时，函数的顶点在C点，根据待定系数法可确定抛物线的解析式；而点A横坐标取最大值时，抛物线的顶点应移动到E点，结合前面求出的二次项系数以及E点坐标可确定此时抛物线的解析式，进一步能求出此时点A的坐标，即点A的横坐标最大值． 【详解】解：由图知：当点B的横坐标为1时，抛物线顶点取， 设该抛物线的解析式为：，代入点B坐标，得： ， 解得：， 即：B点横坐标取最小值时，抛物线的解析式为：． 当A点横坐标取最大值时，抛物线顶点应取，则此时抛物线的解析式：， 即与x轴的交点为或（舍去）， 故点A的横坐标的最大值为2． 故答案为：2． 三、解答题（共7题，共72分） 17. 解方程 （1） （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可； （2）先移项，然后把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 18. 向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率． 【答案】10%． 【解析】 【分析】设这两年的平均增长率为x，根据等量关系“2010年的人均收入×（1+平均增长率）2=2012年人均收入”列方程即可． 【详解】解：设这两年的平均增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意舍去），． 答：这两年的平均增长率为10%． 19. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根． 【答案】（1） （2），（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴　　＞0． 　　　　即　，解得，．　　　　　　　　　　 （2）若k是负整数，k只能为－1或－2．　　　　　　　　　　　　　 　　如果k＝－1，原方程为　． 　　解得，，．　　　　　　　　　　　　　 　　（如果k＝－2，原方程为 ，解得，，．） 20. 如图所示，已知平行四边形的周长为，，若边长． 写出的面积与的函数关系式，并求自变量的取值范围． 当取什么值时，的值最大？并求最大值． 【答案】(1) ；(2) 当时，有最大值，其最大值为． 【解析】 【分析】(1)由题可知BC=4-x，再由sin30°可求解BC边上的高，再利用“面积=底×高”即可求解函数关系式，再由周长为8可知0＜x＜4； (2)将上问中所求解析式化为顶点式，在x的范围内求最值即可. 【详解】解：过作于，如图， ∵，， ∴， 又∵平行四边形的周长为， ∴， ∴； （2） ， ∵， ∴当时，有最大值，其最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用. 21. 如图所示，现有两道互相垂直的墙，墙的东西方向长10米、南北方向长6米．张大爷想利用这两道墙围出一个面积为24平方米的矩形牛栏ABCD，牛栏的两边利用墙，另两边用长 11米的篱笆围起来，问牛栏东西方向的长BC为多少米？ 【答案】长为米 【解析】 【分析】设BC长为x米，CD长为（11﹣x）米，根据题意得方程，即可求得结果． 【详解】设BC长为x米，则CD长为（11﹣x）米，依题意得： x（11﹣x）=24 解得：x1=3 x2=8． 当x=3时，CD=11﹣x=8＞6，不合题意，舍去． 答：BC长为8米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是分别表示出矩形的长和宽，难度不大． 22. 已知二次函数y=2x2+m． （1）若点（-2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1_________y2（填“＞”、“=”或“＜”）； （2）如图，此二次函数的图象经过点（0，-4），正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和． 【答案】（1） ＜；（2）8． 【解析】 【详解】解：（1）由二次函数图象知：其图像关于轴对称 又∵点在此二次函数的图象上 ∴也在此二次函数的图象上 ∵当时y随x增大而增大， ∴ 故答案为：<； （2）∵二次函数的图象经过点（0，-4） ∴m = -4 ∵四边形ABCD为正方形 又∵抛物线和正方形都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴， ∴OD=OC，， 设点B的坐标为（n，2n）（n >0） ∵点B在二次函数的图象上 ∴ 解得,（舍去） ∴点B的坐标为（2，4） ∴=24=8． 【点睛】本题考查二次函数的图象． 23. 某企业决定投资生产某种产品，已知投资生产该产品的有关数据如下： 年固定成本（万元） 每件成本（万元） 每件售价（万元） 每年最大产销量（件） 50 8 18 110 其中年固定成本与生产的件数无关，另外年销售x件该产品时需上交万元的特别关税． （1）若产销该产品的年利润分别为y万元，每年产销x件，直接写出y与x的函数关系式； （2）问年产销多少件产品时，年利润为370万元； （3）当年产销量为多少件时，获得最大年利润？最大年利润是多少万元？ 【答案】（1） （2）年产销60件产品时，年利润为370万元； （3）当年产销量为100件时，获得最大年利润，最大年利润是450万元 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式求解是解题关键． （1）根据题意直接列出函数关系式即可； （2）根据（1）中结果得出方程求解即可； （3）根据（1）中结果化简为顶点式即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得： ； 【小问2详解】 由（1）得，当时， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴年产销60件产品时，年利润为370万元； 【小问3详解】 由（1）得，， ∵， ∴开口向下，存在最大值， 当时，最大值为450， ∴当年产销量为100件时，获得最大年利润，最大年利润是450万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ “迎国庆，向祖国献礼”知识竞赛 九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数为，一次项系数、常数项分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 4. 已知x=1是一元二次方程的解，则b的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 5. 若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-1，则另一个根为（　　） A. -2 B. 2 C. 4 D. -3 6. 将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【 】 A. 3 B. ﹣3 C. 13 D. ﹣13 8. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ） A. k＜ B. k＜且k≠0 C. ﹣≤k＜ D. ﹣≤k＜且k≠0 9. 若A(－，y1)，B(－1，y2)，C(1，y3)为二次函数y＝－x2－4x＋5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1 C. y3＜y1＜y2 D. y2＜y1＜y3 10. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 将抛物线先向右平移2个单位长度再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式是 _____． 12. 已知 ，是方程的两实数根，则的值为____． 13. 小明向一些好友发送了一条新年问候的短信，获得信息的人也按小明发送的人数再加1人向外转发，经过两轮短信的发送，共有35人次手机上收到该短信，则小明发送短信给了__________个好友 14. 如图所示的图形是一无盖长方体铁盒的平面展开图，若铁盒的容积为3m3，则根据图中的条件，可列出方程：___________． 15. 把二次函数配方成的形式，得，它的顶点坐标是_________________． 16. 如图，一条抛物线与轴相交于两点，其顶点P在折线上移动，若点的坐标分别为，点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为________． 三、解答题（共7题，共72分） 17. 解方程 （1） （2）； 18. 向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元，求人均收入的年平均增长率． 19. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围． （2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根． 20. 如图所示，已知平行四边形的周长为，，若边长． 写出的面积与的函数关系式，并求自变量的取值范围． 当取什么值时，的值最大？并求最大值． 21. 如图所示，现有两道互相垂直的墙，墙的东西方向长10米、南北方向长6米．张大爷想利用这两道墙围出一个面积为24平方米的矩形牛栏ABCD，牛栏的两边利用墙，另两边用长 11米的篱笆围起来，问牛栏东西方向的长BC为多少米？ 22. 已知二次函数y=2x2+m． （1）若点（-2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1_________y2（填“＞”、“=”或“＜”）； （2）如图，此二次函数的图象经过点（0，-4），正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，求图中阴影部分的面积之和． 23. 某企业决定投资生产某种产品，已知投资生产该产品的有关数据如下： 年固定成本（万元） 每件成本（万元） 每件售价（万元） 每年最大产销量（件） 50 8 18 110 其中年固定成本与生产的件数无关，另外年销售x件该产品时需上交万元的特别关税． （1）若产销该产品的年利润分别为y万元，每年产销x件，直接写出y与x的函数关系式； （2）问年产销多少件产品时，年利润为370万元； （3）当年产销量为多少件时，获得最大年利润？最大年利润是多少万元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $