精品解析：广东省惠州市实验中学2024-2025学年高二上学期第一次阶段性检测（10月）数学试题

惠州市实验中学2023级高二上第一次阶段性检测（10月） 数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可. 【详解】解：因为点关于平面对称的点的坐标是， 所以点关于平面对称的点的坐标是， 故选：B. 【点睛】本题考查求点关于坐标平面对称的点的坐标，是基础题. 2. 已知空间向量，，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积求得，再根据向量的夹角公式求得答案. 【详解】由得，，解得， 则，， 所以， 故选：A． 3. 经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆的圆心坐标，根据所求直线与垂直，求其斜率，根据点斜式写出直线方程. 【详解】圆的圆心的坐标为， 设所求直线斜率为， 因为所求直线与直线垂直， 所以，故， 所以直线方程为，即 故选：D. 4. 若直线的斜率大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化一般式为斜截式得到直线的斜率，进而列出不等式求解即可. 【详解】直线，即， 则直线的斜率为， 即，解得. 所以的取值范围为. 故选：A. 5. ，，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】解：直线的斜率，直线的斜率， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是或． 故选：． 【点睛】本题考查直线斜率公式及斜率变化情况，属于基础题． 6. 已知直线的斜率是方程的两个根，则（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 与的位置关系不确定 【答案】C 【解析】 分析】由可知两直线不垂直，且知两直线不平行，由此可得结论. 【详解】设直线的斜率为，则， ，不垂直，A错误； 若，则，与矛盾，，不平行，B错误； 不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正确，D错误. 故选：C. 7. 二面角－－为60°，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，，，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件和空间向量加法可得，再根据向量模和数量积的关系可得 ，由此能求出的长． 【详解】因为二面角－－为60°，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，，， 所以，， 又 所以 . 所以的长为. 故选：D. 【点睛】本题考查空间线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 8. 已知在正方体中，P为线段上的动点，则直线与直线所成角余弦值的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正方体的棱长为1，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，可设，从而得到，，再根据向量的夹角公式即可求出，求函数值域即可． 【详解】设正方体的棱长为1，如图所示，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则有． 设，则，， 所以． 又因为，所以． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用向量解决直线与直线所成角问题，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题中正确是（ ） A. 空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示 B. 若为空间向量的一组基底，则，，全不是零向量 C. 纵坐标为0的向量都共面 D. 任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量的基底的定义：任何三个不共面的向量都可以构成空间向量的一组基底，逐次分析A、B、D三个选项，可得出结论，纵坐标为0的向量都在平面中，可以判断C． 【详解】空间的任何一个向量都可以用其他三个不共面的向量表示， A中忽略了基底必须为三个“不共面的向量”这个限制条件，故A错误； 若为空间向量的一组基底，则三者中任意两个都不共线， 故任何一个都不能为零向量，选项B正确； 纵坐标为0的向量都在平面中，所以都共面，故选项C正确； 任何三个不共面的向量可构成空间向量的一个基底，三个向量不共线时可能共面， 故D错误． 故选：BC． 10. 下列说法错误的是（ ） A. 平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示 B. 直线与y轴的交点到原点的距离为 C. 在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 D. 两条直线中，斜率越大则倾斜角越大 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，利用垂直于x轴的直线；对于B选项，根据直线与y轴的交点坐标为判断；对于C选项，利用直线过坐标原点时不满足判断；对于D选项，举例两条直线的倾斜角分别为判断. 【详解】解：对于A选项，垂直于x轴的直线不能用斜截式表示，故错误； 对于B选项，由于直线与y轴的交点坐标为，故原点的距离为，故正确； 对于C选项，当直线过坐标原点时，直线在x轴、y轴上的截距均为0，不能用方程表示，故错误. 对于D选项，若两条直线的倾斜角分别为， 则斜率分别为，显然不满足，故错误. 故选：ACD 11. 已知圆心为的圆与点，则（ ） A. 圆的半径为2 B. 点在圆外 C. 点与圆上任一点距离最大值为 D. 点与圆上任一点距离最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】把圆C的方程化为标准形式，写出圆心和半径，再逐一分析各选项并判断作答. 【详解】依题意，圆：，则圆心，半径，A不正确； 因点，则，点在圆外，B正确； 因点在圆外，在圆上任取点P，则，当且仅当点P，C，A共线，且P在线段AC延长线上时取“=”，C正确； 在圆上任取点M，则，当且仅当点C，M，A共线，且M在线段CA上时取“=”，C正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式计算得解. 【详解】点到直线的距离为. 故答案为： 13. 已知平面的法向量，直线l的方向向量，若，则________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由线面位置关系和空间直线方向向量与平面法向量的定义可解. 【详解】∵．则，即，解得． 答案： 14. 若为圆：上任意一点，点，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】判断点与圆的位置关系，利用圆的性质即可得解. 【详解】圆：化为标准方程，得， 因为， 所以点在圆内部，且， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）求直线与的交点的坐标； （2）求两条直线与间的距离. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）联立直线方程求解即可得交点； （2）将方程化为，由平行直线间的距离公式求解. 【详解】（1）联立，得， 故直线与的交点的坐标为． （2）方程可化为， 所以两条直线与间的距离. 16. 已知空间中三点，，.设，. （1）求； （2）若与互相垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出向量的坐标，然后利用向量模的计算公式求解即可； （2）先求出两向量的坐标，再利用垂直的坐标形式列式求解即可. 【小问1详解】 ，，，，， ，， 于是， . 【小问2详解】 ， ， 又与互相垂直，， 即， ，解得. 17. 圆C过点，，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程； （2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求得线段垂直平分线的方程，与直线方程联立，求得圆心的坐标，由求得半径，由此求得圆的方程. （2）设出点坐标，由此求得点坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）直线的斜率， 所以的垂直平分线m的斜率为1. 的中点的横坐标和纵坐标分别为，. 因此，直线m的方程为.即. 又圆心在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组 ， 解得 所以圆心坐标为，又半径， 则所求圆的方程是. （2）设线段的中点， M为线段的中点，则， 解得 代入圆C中得， 即线段中点M的轨迹方程为. 【点睛】本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题. 18. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）求点到直线的距离 （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出等腰三角形腰上的高即可求出点到直线的距离. （2）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）利用向量法可求出点P到平面的距离． 【小问1详解】 三棱锥中，平面，平面，则， 又，，，则， ，， 于是等腰腰上的高， 由，分别是棱，的中点，得，是的中位线， 所以点到直线的距离为. 【小问2详解】 依题意：以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 又，，分别是棱，，的中点，， 得， 则，设平面的法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，， 点P到平面的距离， 所以点P到平面的距离为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，Q为的中点，M是棱上的点，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点M，使二面角大小为？若存在，请指出点M的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，点M位于靠近点C的四等分处 【解析】 【分析】（1）由面面垂直证平面，再证平面平面； （2）以Q为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由向量法求线线角； （3）设，，由向量法利用二面角建立方程求解. 【小问1详解】 证明：因为，，Q为的中点，所以四边形为平行四边形，所以． 所以，即． 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． 平面，所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）知平面，且平面，平面， 则，． 又，Q为的中点，所以． 以Q为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，， ，， 由， ， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦． 【小问3详解】 假设存在点M， 设且，得，所以， 又，设平面法向量为， 所以，令，则，，则． 由（2）知平面的法向量为， 因为二面角为，所以，解得， 故线段上存在点M使二面角大小为，且点M位于靠近点C的四等分处． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市实验中学2023级高二上第一次阶段性检测（10月） 数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，若，则（ ）． A B. C. D. 3. 经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是（ ） A B. C. D. 4. 若直线的斜率大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. ，，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线的斜率是方程的两个根，则（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 与的位置关系不确定 7. 二面角－－为60°，A、B是棱上的两点，、分别在半平面内，，，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知在正方体中，P为线段上的动点，则直线与直线所成角余弦值的范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下四个命题中正确是（ ） A. 空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示 B. 若为空间向量的一组基底，则，，全不是零向量 C. 纵坐标为0的向量都共面 D. 任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 10. 下列说法错误的是（ ） A. 平面内所有直线方程都可以用斜截式来表示 B. 直线与y轴的交点到原点的距离为 C. 在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 D. 两条直线中，斜率越大则倾斜角越大 11. 已知圆心为的圆与点，则（ ） A. 圆的半径为2 B. 点在圆外 C. 点与圆上任一点距离的最大值为 D. 点与圆上任一点距离的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 点到直线的距离为______． 13. 已知平面的法向量，直线l的方向向量，若，则________． 14. 若为圆：上任意一点，点，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）求直线与的交点的坐标； （2）求两条直线与间距离. 16. 已知空间中三点，，.设，. （1）求； （2）若与互相垂直，求实数的值. 17. 圆C过点，，且圆心在直线上. （1）求圆C的方程； （2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程. 18. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，. （1）求点到直线的距离 （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，Q为的中点，M是棱上的点，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，求异面直线与所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点M，使二面角大小为？若存在，请指出点M的位置，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $